高中数学多元函数的最值问题15页ppt课件.ppt

1、多元函数的最值问题多元函数的最值问题 带约束条件的多元函数的范围（最值）问题在各级各类的模拟试题和今年的高考试题中时有出现，解决这类问题往往有一定的难度，而且由于约束条件与目标函数的不同，其解法往往也有些出入。因此，掌握一些解决此类问题的方法很有必要。 常见的一般为二元或三元函数居多。常见的一般为二元或三元函数居多。方法一、消元法方法一、消元法221.,34,2x yxyxyx例 设实数满足求最小值。22.,34,2x yxyxyx变式设正数满足求最小值。多元函数的最值问题多元函数的最值问题小结：小结： 1.运用此方法题目的结构特征，约束条件是一次形式；运用此方法题目的结构特征，约束条件是一次

2、形式； 2.注意字母本身的取值范围，结合二次函数的图像与性质或注意字母本身的取值范围，结合二次函数的图像与性质或者基本不等式解决者基本不等式解决22.,234,yx y zRxyzxz例 设实数，,满足则最小值22.,340,212x y zRxxyyzxyzxyz 变式设实数，,满足则当最小值时，的最大值多元函数的最值问题多元函数的最值问题221.,421,2x yxyxyxy例 设实数满足求的取 值范围。方法二、判别式法方法二、判别式法22.,421,2x yxyxyxy变式设正数满足求的取 值范围。多元函数的最值问题多元函数的最值问题222.,22,842 2 2. 2.553x yxy

3、xxyABCD例 设正数满足则的最小值（ ）223.3(),xyay xyx yRa例 不等式对任意恒成立，则实数 的最小值方法二、判别式法方法二、判别式法多元函数的最值问题多元函数的最值问题小结：小结： 1.运用此方法题目的结构特征，目标函数、约束条件为运用此方法题目的结构特征，目标函数、约束条件为二次形式或者一次形式；二次形式或者一次形式； 2.注意字母本身的取值范围，如果求最值只需进行检验；注意字母本身的取值范围，如果求最值只需进行检验；如果求范围，结合一元二次方程根的分布解决如果求范围，结合一元二次方程根的分布解决22224.,2 31,x yxxyyxy例 已知正数满足则的最小值方法

4、二、判别式法方法二、判别式法配凑齐次式、整体代换配凑齐次式、整体代换多元函数的最值问题多元函数的最值问题221.,1,-x yxyxy xy例 设正实数满足求的取 值范围。方法三、换元法方法三、换元法222.,421,2x yxyxyxy例 设实数满足求的取 值范围。多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法三、换元法方法三、换元法小结：小结： 1.运用三角代换题目的结构特征，约束条件为二次形式；运用三角代换题目的结构特征，约束条件为二次形式； 2.可以通过配方，利用椭圆或圆的参数方程形式，进行换可以通过配方，利用椭圆或圆的参数方程形式，进行换元，转化为三角函数最值问题元，转化为三角函数最值问题

5、2222.,421,x yxyxyxy变式设实数满足求的取 值范围。多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法三、换元法方法三、换元法.,(2)(2 )36,45x yRxy xyxy例3设实数,满足则的最小值2222.,231 2x yRxxyyxy变式设实数,满足则的最小值2.,31 0 x yRxxyxy 变式设实数,满足则的最小值.114,abab a b 变式已知则的最大值与最小值和多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法三、换元法方法三、换元法., ,()36,2a b cRa a b cbca b c 例4设实数,满足则的最小值., ,lnlnlnln()0,ln() ln()a

6、b cRabca b ca ba c 变式设实数,满足则的最小值.,2aba bRaba b例5设实数,则的最小值多元函数的最值问题多元函数的最值问题.,1,=11-aba bRababa b 变式设实数,则1，则的最小值方法三、换元法方法三、换元法11.,+2 =1,3 +43a bRababab变式设实数,则的最小值., ,345 =6,1422 +a b cRabzbcb cac变式设实数,则的最小值小结：小结：先将约束条件进行因式分解，而后进行换元。目的是利用基先将约束条件进行因式分解，而后进行换元。目的是利用基本不等式。本不等式。多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法四、配凑法方法

7、四、配凑法12.,1,x yRxyxy例1设实数,则的最小值222.,1,xyxx yRxyxy变式设实数,2则的最小值2.,1,1,12(2)1a bRca bacabc 变式设实数,则的最小值多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法四、配凑法方法四、配凑法3322.,2- ,a bRaba bakbk变式设实数,则使不等式1恒成立的 最大值小结：小结：先将约束条件或目标函数配凑成齐次式（整式、分式）。目先将约束条件或目标函数配凑成齐次式（整式、分式）。目的是利用基本不等式、柯西不等式。的是利用基本不等式、柯西不等式。多元函数的最值问题多元函数的最值问题方法四、配凑法方法四、配凑法11.0ababa b 例2设实数,则使不等式 +的最小值2222.+ +1332abcabbcc例3设实数,则的最大值222., ,02abca b cabbc变式设实数,则的最小值小结：小结： 利用待定系数法进行配凑。目的是利用基本不等式、柯西利用待定系数法进行配凑。目的是利用基本不等式、柯西不等式。不等式。多元函数的最值问题多元函数的最值问题