高等数学-第七章-微分方程课件.ppt

1、微分方程 第七章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 引例引例1. 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21xy由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x

2、, 求该曲线的方程求该曲线的方程 .引例引例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶的速度行驶, 获得加速度获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,已知已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分由前一式两次积分, 可得可得2122 . 0CtCts利用后两式可得利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住

3、, 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程 . 即求即求 s = s (t) .制动时制动时常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或,00ts 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.

4、 .通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同的阶数相同. .特解特解21xy200ddtts引例引例24 . 022ddtsxxy2dd引例引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解通解:tts202 . 0212 xy特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线. .例例

5、1. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解的通解,0Axt00ddttx的特解的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明这说明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解 . 是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .例例2. 已

6、知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyOx解解: 如图所示如图所示, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标yyxX,xyyx即即02 xyy点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设

7、设 y (x) 是方程的解是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分两边积分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式则有恒等式 方程方程的解满足关系式的解满足关系式。则有则有设左右两端的原函数分别为设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(CxFyG)()(反之，当反之，当G(y)与与F(x) 可微且可微且 G (y) g(y) 0 时时, 的隐函数的隐函数 y (x) 是的解是的解. 称为方程的称为方程的隐式通解隐式通解, 或或通积分通积分.同样同样, 当当 F (x) = f (x)0 时

8、，时，由确定的隐函数由确定的隐函数 x (y) 也是的解也是的解. 说明由确定说明由确定例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量

9、得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:练习练习:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量分离变量xyxydedeCxyee即即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu

10、令yu1则故有故有uue1积分积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分积分例例4. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即即tCMe利用初始条件利用初始条件, 得得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分然后积分:td)(已知已知 t =

11、0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO例例5.成正比成正比,求求解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分然后积分 :得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件利用初始条件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化简代入上式后化简, 得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为速度为0,)e1 (tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设

12、降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系. kgmv t 足够大时足够大时m1例例6. 有高有高 1 m 的半球形容器的半球形容器, 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变r解解: 由水力学知由水力学知, 水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即即thgSkVd2d求水求水小孔横截面积小孔横截面积化规律化规律.流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速

13、度重力加速度设在设在d,ttt内水面高度由内水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhhhdhhO对应下降体积对应下降体积hrVdd222)1 (1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thhh 10th将方程分离变量将方程分离变量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO两端积分两端积分, 得得2tk Sg 2334( h)5225Ch 利用初始条件利用初始条件, 得得,1514C则得容则得容10th器内水面高度器内水面高度 h 与时间与时间 t 的关系的关系:(s)737101(10068. 125234

14、hht可见水流完所需时间为可见水流完所需时间为(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一个解但不包含前一个解 .例如例如, 方程方程分离变量后积分分离变量后积分; 根据定解条件定常数根据定解条件定常数 .解解; 阶阶;

15、通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = C (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程根据几何关系列方程 ( 如如: P298 题题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解求通解, 并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤例例4例例5例例6思考与练习

16、思考与练习 求下列方程的通解求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量分离变量(2) 方程变形为方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln作业P 298 5(1); 6P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程 第七章 一、齐次方程一、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(

17、dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )0C此处例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,ln

18、ln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. x由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO = OMOPAP xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性而 AO 于是得

19、微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) yxAO顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:)(222CxCy2,2dyhCx则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2C一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线

20、性微分方程*二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程齐次方程 ;xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xx

21、QxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(两端积分得例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解.,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(令在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例2. 有一电路如图所示

22、, ,sintEEm电动势为电阻 R 和电. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件: 00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一阶线性方程解的公式可得LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLRE

23、mtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义: LERQ),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第五节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第七章 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分

24、方程 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxCtFO,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 Ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 )(tF

25、)1(dd022TtmFtx0FT120)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xx

26、xpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得H

27、AyxO211yya , aOA 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCy

28、y例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppddM : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向地面, (不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面时的速度和

29、所需时间122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有lylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号由于 y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x

30、 yQ xx方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式( ) d( ) de( )edP xxP xxyQ xxC内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般

31、情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例例6例例7作业作业P309 2 (2);P315 1 (3), (6); 2 (5);P323 1 (5), (7); 2 (3); 4 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链

32、线和对数螺线都有深入的研究 .高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxO解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动

33、情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mHh 则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,sintEEm所满足的微分方程 .cu解解: 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) , 自感电动势为,LE由电

34、学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板上 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0q LERQCqi,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 q LERQCqi如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得0dd2dd2022CCCututun 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 (二阶线性

35、微分方程)例例1例例2( )( )( )yP x yQ x yf x 可归结为同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得

36、 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0

37、)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)0

38、1k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, )()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性

39、无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC则三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解x

40、y *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1则)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyx

41、ayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方

42、程( )( )( )yP x yQ x yf x个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常数因而线性无关, 故原方程通解为)(e)(e221xCxCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解为有三 作业作业 P 331 2， 3，4(1) 常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它

43、的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重

44、根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qr

45、pr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特

46、征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为ttse)24(22C例例3.xxO解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问

47、题为由第六节例1 (P323) 知, 位移满足方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1k

48、nnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期:;2T振幅: tnAe衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 无振荡现象; trtrCCx21ee21222,1

49、knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; :,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象 ;此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i

50、21, 04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出, 原方程有特解)e, 132xxxx02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:0