第二章-线弹性断裂力学课件.ppt

1、第二章第二章 线弹性断裂力学线弹性断裂力学 第一节 裂纹及其分类 第二节 裂纹尖端的应力场 第三节 应力场强度因子 第四节 裂纹扩展的能量理论 第五节 平面应变断裂韧性的测量 第六节 复合型裂纹的断裂理论第一节第一节 裂纹及其分类裂纹及其分类 在实际的构件中常存在各种缺陷，除了裂纹外还可能是冶炼中产生的浃渣、气孔、加工中引起的刀痕、刻槽、焊接中的气泡、未焊透等，在断裂力学中，常把这些缺陷都简化为裂纹，并统称为“裂纹”。1）按缺陷在结构中的位置（a）穿透裂纹：贯穿构件厚度的裂纹称为穿透裂纹。（b）表面裂纹：裂纹位于构件表面，或裂纹深度相对于构件厚度比较小，简化为半椭圆片状裂纹。（c）深埋裂纹：裂

2、纹位于构件内部，常简化为椭圆片状裂纹或圆片状裂纹。（a）穿透裂纹（b）表面裂纹（c）深埋裂纹2）按裂纹的受力情况 （a）张开型（I型）：在与裂纹表面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移而形成的一种裂纹（位移与裂纹面正交即沿拉应力方向（图a）。（b）滑开型（II型）：在平行于裂纹面而裂纹尖端线垂直方向的剪应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面（即沿作用的切应力方向）的相对滑动而形成的一种裂纹。（图b）。（c）撕开型（III型）：在平行于裂纹面而与裂纹尖端线平行方向的切应力作用下，使裂纹面产生沿裂纹面外（即沿作用的切应力方向）的相对滑动而形成的一种裂纹（图c） （a）张开型裂纹（b）滑开型裂纹（c）撕

3、开型裂纹 3）按缺陷的形状 根据缺陷的真实形状确定。可简化为圆型、椭圆型，表面缺陷的半圆型、半椭圆型及贯穿型直裂纹等。 4）按缺陷的密集程度 单个缺陷、多个缺陷和密集缺陷。 多个缺陷及密集缺陷又分为共面缺陷及非共面缺陷。 5）按裂纹的方向 直裂纹、斜裂纹和曲裂纹。 表面平面缺陷 埋藏平面缺陷 多个平面缺陷 6）裂纹的模型及特征尺寸 （1）模 型：圆型及椭圆型平面裂纹。 （2）特征尺寸： * 裂纹长度l ：穿透裂纹的评定尺寸，是缺陷分类的主要特征尺寸。 * 裂纹深度a：表面裂纹的主要特征尺寸，是判别裂纹是否为允许的主要参数。 * 裂纹间距s（或理解纹中心距2b）：是区分多个裂纹是否相互干涉的特征

4、尺寸之一。 * 裂纹距自由表面的最小距离s：由其确定是埋藏裂纹还是表面裂纹。 7）裂纹的方向和位置 （1）方 向：与最大主应力方向的关系（垂直或平行） （2）位 置：表面或浅埋裂纹等。 8）单个与密集缺陷 多个裂纹存在时，裂纹对材料的影响受相邻裂纹间距的影响，会产生干涉。 9）裂纹特征的验证 可用超声波探伤方法探测缺陷的面积和形状。第二节第二节 裂纹尖端的应力场裂纹尖端的应力场1）I 型裂纹尖端的应力场 对于“无限大”板具有长为2a的中心穿透裂纹，在无限远处受双向等值的拉伸应力作用。 （1）裂纹尖端的应力场3cos1 sinsin22223cos1 sinsin22223sincoscos22

5、2200()()()IxIyIxyxzxzzzxyKrKrKr 平面应力平面应变IKYa 式中 ，为名义应力（结构中无缺陷时该处的应力）；a为裂纹尺寸；Y为形状修正系数（随裂纹尺寸、形状、裂纹处结构的几何参数、边界条件而变化）。 说 明： （a）对于裂纹尖端附近区域内某一定点（r，），其应力大小取决于KI的大小， KI越大，该点的应力也越大。因此，是表征裂纹尖端区域应力强弱程度的参量，而且是唯一的参量。 （b）因为 ，故当r0时， ，称为应力具有 的奇异性。只要是I型裂纹问题裂尖区域的应力场都具有相同的奇异性，它远比其它附加项要大得多。 （c）适用于裂纹尖端附近区域，即要求ra。 应力分量由两

6、部分组成：一部分是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过的奇异性及角分布函数 来体现；另一部分是关于场强度的描述，由应力强度因子KI来表示，它与裂纹体的几何及外加载荷有关。 1ijrij 1r ijf （2）裂纹尖端的位移321 coscos4222321 sinsin42220()()()IIxyKrukGKrkGwwdzE 平面应变平面应力3134k 平面应力平面应变其中：（3）有限尖端半径（）的裂纹端部区域的应力场33cos1 sinsincos222222233cos1 sinsincos222222233sincoscossin2222222IIxIIyIIxyKKrrrKKrr

7、rKKrrr 把极坐标原点移动一个距离，这个距离等于裂纹尖端半径 的一半。 必须注意，因为在裂纹尖端处，r是有限的（ ），所以，应力也是有限的，没有裂纹尖端的奇异性。 2r（4）单向拉伸“无限大”裂纹板3cos1 sinsin22223cos1 sinsin22223cossincos2222IxIyIxyKrKrKr2）II型裂纹尖端的应力场 对无限大板，中心有一长为2a的裂纹，无穷远处受剪切应力的作用。3sin2coscos22223cossincos22223cos1 sinsin222200()()()IIxIIyIIxyxzxzzzxyKrKrKr 平面应力平面应变323 sinsi

8、n4222323 coscos42220()()()IIIIxyIIKrukGKrkGwwdzEKa 平面应变平面应力3134k 平面应力平面应变其中：3）III型裂纹尖端的应力场 对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹，由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移u=0，v=0，只有z方向的位移w0，显然这一问题不属于平面问题，它是反平面问题。 sin22cos220IIIxzIIIyzxyzxyIIIKrKrKa 2sin20IIIKrwGu第三节第三节 应力场强度因子应力场强度因子 1）不同裂纹下的应力场强度因子 （1）无限大板中的I型裂纹 (a) “无限大”

9、平板具有长为2a的中心穿透裂纹，并在“无限远”处受到双向拉应力作用。 IKa （b）“无限大”平板，在长为2a的中心穿透裂纹表面上，距裂纹中心点为x=b处，各作用一对集中力P（单位厚度上承受的压力） 222IP aKab（c）“无限大”平板，在裂纹面上从x=-a到x=-a1，从x=a1到x = a到受到均匀分布的张力P作用。 推论： “无限大”平板，在裂纹面上x=-a到x = a到受到均匀分布的张力P作用。12cosIaaKparcaIKpa（d）“无限大”平板，具有长为2a的中心穿透裂纹，并在无穷远处受到单向均匀拉应力的作用。 0IK IKa （e）“无限大”平板，受二向均匀拉伸应力作用，在

10、x轴上有一系列长度为2a，间距为2b的穿透裂纹。 1/222IbaKtgaab 当ba时，则 ：IKa 表明当相邻的两个裂纹之间的间距相对于裂纹长度足够较大时，裂纹之间的相互影响可忽略不计。 （2）有限宽平板I型裂纹 （a）有限宽板条受单向均匀拉应力作用。1/222IbaKatgaab（b）有限宽板条，在双边具有穿透裂纹，受均匀拉应力作用 。1/222IbaKtgaab（c）有限宽板条受单向均匀拉应力作用。1.12IKa IKa 2341.120.23110.5521.7030.35aaaabbbb （3）“无限大”体内深埋裂纹 IKa 222201sincosac1 22222020sinc

11、osadc * 若a=c，则椭圆片状裂纹成为圆片裂纹 * 若ac，则 ， 当=/2时，即椭圆短轴端点处，KI有最大值，即 2IKa/0a c sinIKa maxIKa /0a c 可见，当ac，则 ，无限大体内的椭圆片状裂纹可近似按无限大板内的中心穿透裂纹来处理。（4）半无限体表面椭圆片状裂纹1001.12IaaKM 2）裂纹尖端的塑性区 根据线弹性力学，由应力场公式，当r0,ij 。但实际上对一般金属材料，当应力超过材料的屈服强度，将发生塑性变形，在裂纹顶端将出现塑性区。 因塑性区带来的问题： * 一方面这是因为断裂是裂纹的扩展过程，裂纹扩展所需的能量主要支付塑性变形功，材料的塑性区尺寸越

12、大，消耗的塑性变形功也越大，材料的断裂韧性KIC相应地也就越大。 * 另一方面，由于我们是根据线弹性断裂力学来讨论裂纹顶端的应力应变场的，当塑性区尺寸增大时，线弹性断裂理论是否适用就成了问题。 以I型裂纹问题为例来讨论裂纹尖端的塑性区。我们知道，对于I型裂纹问题，裂纹尖端附近区域的应力分量为：3cos1 sinsin22223cos1 sinsin22223sincoscos222200()()()IxIyIxyxzxzzzxyKrKrKr 平面应力平面应变 裂纹顶端的主应力，可由下式求解： 21/2121/223312()22()220()()()xyxyxyxyxyxy 平面应力平面应力

13、将Irwin应力场代入上式得：11/221/2331/2cos1 sin(2)22cos1 sin(2)220()2cos()(2)2IIIKrKrKr平面应力平面应变（1）按第四强度理论（Mises准则） 其中1、2、3为主应力。 将上述的主应力代入到第四强度理论中，可计算得到裂纹顶端塑性区的边界方程为： 22132322212)()()(S平面应力 平面应变 2221cos13sin222IsKr 22221cos123sin222IsKr （2）第三强度理论 即： 于是有裂纹尖端的塑性区为： 2231maxs13S 2221cos1 sin222IsKr平面应力 平面应变 2221cos

14、12sin222IsKr 塑性区的特征尺寸：在裂纹延长线=0上的尺寸：20222021() ()2(1 2 )0.16 ( 0.3)22IsIIssKrKKr 平面应力平面应变取 平面应变的塑性区只有平面应力的16%。这是因为在平面应变状态下，沿板厚方向有较强的弹性约束，使材料处于三向拉伸状态，材料不易塑性变形的缘故，这实际上反映了这两种不同的应力状态，在裂纹顶端屈服强度的不同。 可知平面应变的塑性区比平面应力的塑性区小得多。对于厚板，表面是平面应力状态，而心部则为平面应变状态。 * 有效屈服应力与塑性约束系数 通常将引起塑性变形的最大主应力，称为有效屈服应力，以 ys记之。 有效屈服强度ys

15、与单向拉伸屈服强度s之比，称为塑性约束系数C(ys /s)。 根据最大切应力理论：2231maxs * 平面应力状态时： 3=0 ，则有 ys=1=s，C=1 * 平面应变状态时，因3=21，按 故有： 如以=1/3代入，可得在平面应变状态下，ys=3s ，C=3。12syss31， C=1/（1-2） 实际上平面应变状态下的有效屈服强度并没有这么大，对具有环形缺口的圆柱形试样进行拉伸试验，所得到的ys为： ssys7 . 1)22(2/12/1 因此，最常用塑性区的表达式为：)( 241)( )(2122/1020平面应变平面应力sIsIKrKr即C=1.7 3）应力场强度因子的塑性区修正

16、当弹性应力超过材料的效屈服强度ys。便产生塑性变形，使应力重新分布。其原始塑性区就是上面公式所表示的r0 。 在塑性区r0范围内如不考虑形变强化，其应力可视为恒定的， 则高出ys的部分势必要发生应力松驰。应力松驰的结果，使原屈服区外周围弹性区的应力升高，相当于BC线向外推移到EF位置。应力松驰后的塑性区 应力松驰的结果使塑性区从r0扩大到R0。扩大后的塑性区R0如何计算呢？ 从能量角度直观地看，阴影线面积DBA=矩形面积BGHE，或者用积分表示为：0002/1)2(rysIRdrrK * 平面应力状态 下，把 代入上式得 ： * 平面应变状态下，考虑应力松驰后，也同样可得到扩大后的塑性尺寸R0

17、为：2021sIKr02021rKRsI022/102221rKRsI 当塑性区一经产生并且修正之后，原来裂纹顶端的应力分布已经改变。原来的应力分布为DBC线，现改变为ABEF线。 此时便产生了如下的问题： （1）线弹性力学是否还适用？ （2）在什么条件下才能近似地运用？ （3）此时的应力强度因子该如何计算？ Irwin认为，如果裂纹顶端塑性区尺寸远小于裂纹尺寸( r0/a1/10时，线弹性断裂力学已不适用了。 4） 应力场强度因子断裂准则 K是描述裂纹尖端附近应力场强弱程度的参量。裂纹是否会发生失稳扩展取决于K值的大小，因此可用K因子建立断裂准则（亦称K准则）即K= KC ，其含意是：当含裂

18、纹的弹性体在外载荷的作用下，裂纹尖端的K因子达到KC裂纹发生失稳扩展时材料的临界值时，裂纹就发生失稳扩展而导致裂纹体的断裂。 对于I型裂纹，在平面应变条件下，其断裂准则为： K= KIC 用K准则可解决如下的问题： （a）确定带裂纹构件的临界载荷。若已知构件的几何因素、裂纹尺寸和材料韧度值，运用“K准则”可确定带裂纹构件的临界载荷。 （b）确定裂纹容限尺寸。当给定载荷，材料的断裂韧度值以及裂纹体的几何形状以后，运用“K准则”可以确定裂纹的容限尺寸，即裂纹失稳扩展时对应的裂纹尺寸。 （c）确定带裂纹构件的安全度。 （d）选择与评定材料。按照传统的设计思想，选择与评定材料主要依据屈服极限或强度极限

19、，对于疲劳破坏则为持久极限。但按断裂观点应选用高KIC的材料。 一般情况下，材料的 越高， KIC反而越低，所以选择与评定材料应该两者兼顾，全面考虑。 s第四节第四节 裂纹扩展的能量理论裂纹扩展的能量理论 研究裂纹扩展有两种观点，一种是应力场强度观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力强度因子KI达到材料的临界值KIC ，由此建立的脆性断裂准则，称为K准则； 另一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出来的能量，提供产生新裂纹表面所消耗的能量，由此建立的脆性断裂准则，称为G准则。 1）Griffith 理论 在两端固定的无限大板中，沿垂直于方向切开一条长度为2a的贯

20、穿裂纹。应变能的改变量为： 形成两个自由表面的表面能为： 根据势能极值原理，可得：22aaUE4reUa2ecEa 2）Irwin-Orowan理论 1948年Irwin提出，理想脆性材料的Griffith理论需要修正，修正后的理论既适用于脆性材料，又适用于发生塑性变形的金属材料。Irwin- Orowan理论认为，裂纹扩展系统所释放的能量不仅用于形成新裂纹表面所需要的表面能，而且还有裂尖区产生塑性变形所需的塑性功。 裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的“塑性功”称为“塑性功率”，用 表示。于是有：p22epaE2epcEa 对金属材料，通常 比 大三个数量级，因而 可忽略不计，于是可写为

21、：pee2pcEa 注意，以上都是以薄平板为例的，属于平面应力的情况。对属于平面应变的厚板，只要将上式中的E用 代替即可。21E 3）能量释放率及其断裂准则 设有一裂纹体，其裂纹面积A，若其裂纹面积扩展了dA ，在这个过程中，载荷所做的功为dW ，体系弹性应变能变化了dUa ，塑性功变化了d ，裂纹表面能的增加为dUr 。 假定这一过程是绝热和静态的，既不考虑热功间的转换，也不考虑动能的变化，于是，根据能量守恒和转换定律，体系内能的增加应等于外力功，即：ardWdUddU 式中， d与dUr表示裂纹扩展时所需的塑性功和表面能，它们可视为裂纹扩展所需要消耗的能量，也即是阻止裂纹扩展的能量。 因此

22、要使裂纹扩展，系统必须提供能量。若裂纹扩展时弹性系统释放（耗散）的能量（势能）记为 。则由上式可得： * 定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，用G表示，则有：addWdU arddWdUddU aUWGAAA 它表示裂纹扩展单位面积时系统势能的减小。如果裂纹体厚度B=1，裂纹长度为a，则 ，上式变为： * 定义裂纹护展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，用R或Gc表示，则： 裂纹扩展所消耗的塑性功和表面能都与材料性质有关，都是材料常数，而与外载及裂纹几何形状无关，因此， Gc （或R）反映了材料抵抗断裂的能力，称为材料的断裂韧度，它可以由材料实验测定。dABda1

23、GBa 2()rcepURGAA 当G达到Gc时，裂纹将失去稳定，开始失稳扩展。因此，能量释放率断裂准则（亦称G准则）为： G=Gc （1）恒位移情况 对含裂纹体施加载荷P作用，产生位移后，固定上下两端，构成恒位移的能量封闭系统。此时，在裂纹扩展过程中，外载荷作用点处无位移变化，即d= 0 ，故外力功dW=0的改变，于是G变为：aIUGAA 说明在恒位移条件下，系统释放的应变能用于推动裂纹扩展。因此，裂纹扩展的能量率是弹性体的应变能释放率，式中括号外下标表示固定位移。 1aIUGABA 在线弹性情况下， 又知 式中，c为弹性体的柔度，它是裂纹长度a的函数。 所以有： 代入后可得： 12aUPc

24、P 0dPdccdP 211112222ad UP dd PcP d PPd c 2211122aUccGPPAAABa （2）恒载荷情况 对含裂纹的弹性体施加载荷P作用，当裂纹扩展da时，载荷保持恒定不变（dP=0），位移变化为d，故应变能变化为： 外力所做的功为： 于是有： 可见在恒载荷条件下，用于裂纹扩展的能量是外力功在扣除弹性应变能的增加后，所剩余的能量。 2111()222adUPdP PdccdPP dc 2122adWPdPdP dcdU 221122aaIPUUWccGPPAAAAABa 该式为恒位移和恒载荷情况下，GI的统一表达式，它反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关

25、系，称为Irwin-Kies关系。该关系在用柔度法确定应力强度因子时有重要作用。 4）G与K的关系 从裂纹尖端附近区域应力场的分析给出裂纹失稳扩展的准则K=Kc ，与从能量的观点给出裂纹失稳扩展的准则G = Gc，这两种准则描述的是同一问题，因此，它们之间必须有内在的联系。 221122aIPUWccGPPAAAABa 对于I型裂纹板，沿裂纹延长线（x轴）上，有=0，r=x，其应力分布为： 假设当裂纹扩展时a，系统所释放的能量等于迫使裂纹闭合回到原始状态所应支付的形变功： 式中可由=，r=a-x时I型裂纹的位移公式求得： 考虑到 ，于是有：002IyKx0001limlim22aaaaydUU

26、Bdx 2242IKaxkG 2 1EG 根据公式 ，可得： 将 （平面应变）或 （平面应力）代入可得：201 (1)lim4aaIkdUBa KE aIPUGA21 (1)4IIkGKE34k31k2IIKGE221IIKGE（平面应力） （平面应变） 对II型裂纹，有： 对III型裂纹，有： 2IIIIKGE221IIIIKGE（平面应力） （平面应变） 21IIIIIIGKE 5）裂纹扩展阻力（R）曲线的概念 对于I型裂纹的平面应变情况，裂纹失稳扩展的临界条件为： GI=GIC，其中GI是裂纹扩展的推动力。 由GI与K的关系及K的表达式有： 如果固定应力，则GI正比于裂纹半长a，在GI

27、a坐标系中，可以用通过原点一条射线OA表示。 221IGaE GIC是I型裂纹平面应变情况下裂纹扩展的阻力率，是一个材料常数。在坐标系中为一条水平线。这里R也就是GIC。 （对脆性材料） OA射线与水平线R=GIC的交点A，即代表在给定= 1下，裂纹失稳扩展的临界条件。如果给定的应力为2 ，且12 ，则当初始裂纹半长为a1时，在GI a坐标系中对应于B点，此时的GI GIC ，裂纹就不扩展。只有当裂纹半长达到a2时，对应于OB射线与R=GIC的水平线交于点C，才满足条件G=GIC ，这时裂纹才失稳扩展。 对塑性的金属材料，即是在平面应变情况下，裂纹开始扩展，也并不一定使裂纹立即就断裂。也就是说

28、，裂纹开始扩展，并不一定是失稳扩展。这是因为在裂纹尖端附近存在塑性区，裂纹扩展要产生塑性变形，由于材料的形变硬化，要继续变形必须增大外应力，即随着裂纹的扩展，塑性变形更为困难，从而使裂纹继续扩展需要消耗的塑性功p更大。这就表明，随着裂纹扩展，材料抵抗裂纹扩展的阻力R（2 e +2p ； 而p远大于 e ）也将随着裂纹长度的增大而增大。 描述R随的变化曲线，称为裂纹扩展阻力曲线或称R曲线。 金属材料在平面应力条件下的R曲线 由 知，对于某一特定的应力，能量释放率GI正比于裂纹尺寸a，是一条过原点O的斜直线，该线称为动力曲线。因此，当=0时，动力曲线为OA0B1曲线，在动力曲线与阻力R曲线交点A处

29、， GI=R，裂纹开始扩展。 假设裂纹a0扩展到a1，则在0条件下的GI= B1 a1，它比a1条件下的裂纹扩展阻力要R =AI a1 小，即GI= R ，或者 ，因此，在a0的极限条件下，有 ，这就是说，这时随着裂纹的增长，动力增长率小于阻力增长率，故在0作用下裂纹不可能自由地从a0扩展到a1。 要使裂纹a0扩展到a1，必须把外力从0条增大到1，使1下的动力曲线为OA1B2曲线与R曲线交点AI。裂纹扩展到a1 。又不能继续自由向前扩展了。22IIKaGEE IGRaaIGRaa 要使裂纹能失稳扩展，必须要求动力曲线增长率 ，只有这样，才能保证随着裂纹的扩展，永远有GIR，可见裂纹失稳扩展的临

30、界条件就是动力曲线与阻力曲线相切，即： 切点就是临界点，切点对应的裂纹长度就是临界裂纹长度ac 。这就是说，在一般情况下，不能用裂纹刚开始扩展的开裂点作为裂纹失稳扩展的临界点。 临界点对应的GI就是材料的临界能量释放率Gc，通常亦把Gc称为材料的断裂韧度。 IGaRaIGRIGRaa 对于金属材料在平面应变情况下，由于裂纹尖端处于三向拉应力状态，当裂纹扩展量还很小（ ）的时候，R曲线就趋于平坦。实验证明，临界点（动力曲线GI与R曲线的切点）与裂纹相对扩展2%的点相对应，即 。 因此，在平面应变小范围屈服条件下，一般都不从GI与R曲线的切点来定临界点，而是用 的点作为裂纹失稳扩展的临界点。 要使

31、裂纹失稳扩展，必须使裂纹扩展力GI大于或等于临界点的阻力R ，即GI GIC，称为断裂准则（G准则）。 0.2 0.5amm0/2%aa0/2%aa第五节第五节 平面应变断裂韧性的测量平面应变断裂韧性的测量 KIC是材料在平面应变状态下抵抗裂纹失稳扩展能力的度量，称为材料的平面应变断裂韧度，是材料本身的一种性质。 材料断裂韧度KIC的测试，有多种方法，视具体条件而定，主要有:三点弯曲法紧凑拉伸法Vicker压痕法 表面裂纹法1）三点弯曲法 * 试 样：三点弯曲法又称单边切口梁或直通切口梁法，试样的几何形状如下：三点弯曲法测定KIC用的标准试样 试样为矩形截面的长条状，经切、磨、抛光后，开缺口和

32、预制裂纹。 金属试样需先在钼丝线切割机床上开切一缺口再在高频疲劳试验机上预制裂纹；陶瓷试样可直接用内圆切割机开出长度为a的裂纹。 * 要 求： 由于KIC是材料在平面应变或小范围屈服下裂纹失稳扩展时KI的临界值，因此测定KIC用的试样尺寸必须保证裂纹顶端处于平面应变或小范围屈服状态。 因为平面应变下裂纹顶端塑性区的最大值为： 220)(11. 0)(221yICyICKKR 25 . 2 )(yICKaWaB 可保证裂纹顶端处平面应变或小范围屈服状态。因为此时R0/B、R0/a、R0/(W-a)=0.044，小于0.1。* 试验装置与过程 若将试样在z向的厚度B、在y向的宽度W与裂纹长度a之差

33、（即W-a，称为韧带宽度）和裂纹长度a设计成如下尺寸:三点弯曲试验装置示意图1-活动横梁；2-支座；3-试样；4-载荷传感器；5-引伸仪；6-应变仪；7-记录仪 在加载过程中，随载荷P的增加，裂纹嘴张开位移V增大。用记录仪记录曲线P-V，进而用P-V曲线确定裂纹失稳扩展时的载荷PQ。 典型的P-V曲线 * 有效载荷的确定：有效载荷的确定： 做一直线与弹性部分的斜率少5%，以确定与裂纹扩展2%时相对应的载荷P5。 如P5前无比P5大的载荷，则PQ = P5 ； 如P5前有比P5大的载荷，此最高载荷为PQ 。 理论依据： （1） 裂纹扩展的最大值应为0.5R0，而0.5R0 /a= 0.5*0.1

34、1/2.5 =2%； （2）实验证明，裂纹长度扩展2%，相当于裂纹嘴扩展5%。 （3）P/（V+5%V）=（1-5%）P/V。裂纹长度测量示意图 * * 裂纹长度的确定：裂纹长度的确定： 按下图所示的位置测量裂纹的长度a1、a2、a3、a4、a5，并计算平均的裂纹长度a。 * KIC值的公式与计算 三点弯曲试样加载时， KI值的计算可用下式:)(12/3WaYBWSPKI（4-21） 式中Y1(a/W)与a/W有关的函数。求出a/W之值后即可查表或由下式求得Y1(a/W)值。2/ 3222/ 11)/1)(/21 ( 2)/( 7 . 2)/(93. 315. 2)/1)(/(99. 1 )/

35、( 3)(WaWaWaWaWaWaWaWaY 将测定的裂纹失稳扩展的临界载荷PQ及试样断裂后测出的裂纹长度a代入式（4-21），即可求出KI的条件值，记为KQ。然后再依据下列规定判断KQ是否为平面应变状态下的KIC，即判断KQ的有效性。 * 有效性判断：有效性判断： 当KQ满足下列两个条件时,则KQ=KIC。 2max)/(5 . 2)2(10. 1/) 1 (yQQKBPP 如果试验结果不满足上述条件之一，或两者均不满足，试验结果无效，建议加大试样尺寸重新测定KIC，试样尺寸至少应为原试样的1.5倍。 2） 紧凑拉伸法紧凑拉伸试样 用边界配位法导出的这一构型的应力场强度表达式为:)(2/1W

36、afBWPKI（4-23） 式中2/97/22/52/32/163910177 .6555 .1856 .29WaWaWaWaWaWaf 3） Vicker压痕法 对陶瓷类脆性材料，裂纹可由接触过程产生，为认识这类缺陷的断裂行为，对压痕断裂行为进行了大量研究，形成了压痕断裂力学。 压痕断裂力学的发展使得可以借助压痕裂纹进行脆性材料断裂韧性的测试。由于引入裂纹容易和试样制备简单等特点，压痕法测断裂韧性在陶瓷材料领域被广泛使用。 （1）选择与构件的成分、工艺相同的材料制备试件； （2）在Vicker硬度试验机上，在适当荷载下，用Vicker压头，在抛光的陶瓷材料试件上压出压痕。由于陶瓷性脆，在正方

37、形压痕的四角，沿辐射方向出现裂纹（如下图所示）。若选用荷载适当，在压痕对角线方向的剖面接近半圆形。这一般要求c2.5a。 2a2c2a2cVicker压痕及裂纹示意图 根据压痕断裂力学理论，处于平衡状态的压痕裂纹尖端的残余应力强度因子在数值上等于材料的断裂韧性。根据此理论，Evans等用各种材料实验的结果，总结出a和c的关系为：0.43/2/0.129/ICKHaH Ec a(4-24) 式中KIC、H、E、a、c分别是材料的断裂韧性、维氏硬度、弹性模量、压痕对角线与裂纹的长度，为约束因子（3）。 （3）通过压痕法求一系列的c，a值，按式（4-24）的通式 0.4/VICKHaH Eu c a

38、(4-25) 以lna和lnc为变量进行拟合，求得u、V值。应用所得u、V值于待测的同类材料上，再测a、c值，并利用已知的H、E，可求得KIC 。第六节第六节 复合型裂纹的断裂理论复合型裂纹的断裂理论 实际构件中的裂纹往往不是单一型的。 由于载荷的不对称、结构的不对称或者是裂纹方位的不对称以及材料的各向异性等情况，使裂纹尖端附近的应力场I型、型、型裂纹应力可能同时存在，这种同时受到两种或两种以上类型裂纹应力作用的裂纹称为复合型裂纹。 复合型裂纹扩展与单纯型张开裂纹扩展的主要不同之处，在于裂纹的扩展往往不是沿着原裂纹面方向，而是沿着与原裂纹面成某一角度方向进行，需要解决如下问题： 裂纹开始沿何方

39、向扩展？即需要确定开裂角(开裂方向与原裂纹面方向的夹角)。 裂纹在何条件下开始扩展？即需要确定临界状态。 1） 最大周向应力理论（准则） (1) 两个基本假设： (a) 裂纹沿周向应力取最大值的方向开始扩展； (b) 裂纹的扩展是由于最大周向应力达到了临界值而产生的。 (2) 周向应力计算 （a）任意斜截面上的应力 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（1） 裂纹尖端附近应力的直角坐标和极坐标分量 （b）极坐标与直角坐标的变换cos2sin222cos2sin222cos2sin22xyxyrxyxyxyxyxyrxy（2）对于I-复合型裂纹，应力分布为： 213cosc

40、os3cos1 sin222 213coscossin2222 21cossin3cos122 2rIIrIKKrKKrKKr（3） （3）开裂角的计算 对裂纹尖端一微小距离r=r0的圆周上各点的周向应力加以比较，确定最大周向应力，并由此得到开裂角0。 周向应力取得极值的条件为： 将式（3）中的第二式对求导，得 若令=0时，能使 ，则有:01cos3sin2cos243KKrI001cos3sin2cos000KKI 其中由 ，得 无实际意义。因此，裂角决定于方程 由方程式（4）求出开裂角0后，代入式（3）中的第二式，即可求得r=r0圆周上的最大周向应力为： （4）断裂准则（假设2） 式中，

41、()c为最大周向应力的临界值，它可以通过I型裂纹的断裂韧度KIC来确定。 0cos02001cos3sin00KKI（4）2200max013coscossin2222IKKr（5）Cmax（6） 由于I型裂纹的的扩展总是沿着原裂纹面的方向进行，因此，开裂角0 =0。将KII =0， 0 =0 ， KI =KIC代入式（5），即可得最大周向应力的临界值为： 将式（5）、（7）代入式（6）得I-复合型裂纹的断裂准则 ： （5）对纯II型裂纹 由于KI=0，由（4）式得： ，于是有：02 rKICC（7）20003coscossin222IIIICKKK（8）01cos30K2370,31cos0

42、0 对于剪应力为正号的型裂纹，其开裂角0为负角。于是与 相对应，有： 当裂纹扩展时， KII =KIIC ，由断裂准准则式(8)得:31cos0982cos2sin2sin322cos12cos312cos12sin0000000CICKK00sin2302cosCICICICKKKK87. 023sin2cos2300（9）即：（6）实 例 下图为一受单向拉伸作用的“无限大”平板，板中含有一长度为2a的穿透斜裂纹，裂纹与位伸方向的夹角为（称为裂纹角），设板材的断裂韧度为已知KIC，试确定开裂角0和临界应力C。 a）单向拉伸下的斜裂纹b） 0与的关系曲线 解：首先求出裂纹位置处的“当地应力”。

43、利用材料力学求轴向拉伸时斜截面上的应力公式cossincos2并注意到此处 可得：2cossincos2由此可以看出，这是I-复合型裂纹问题，其 cossinsin22aaKaaKI将KI、KII代入确定型裂角0的式（4），则有: 由上式可作出0与与的关系曲线(图b)。当给出裂纹角值时，就可由曲线确定开理解角0 。确定了开裂角0后，与KI、KII一起代入式(8)，便可确定临界应力：00sincos31tgcossinsin3sincos12cos20200aKCIc 2）能量释放率理论（G准则） （1）基本假设： （a）裂纹沿着能产生最大能量释放率的方向扩展。 （b）裂纹的扩展是由于最大能量释

44、放率达到了临界值而产生的。 这个理论的物理概念比较清楚，它是将Griffith用于I型裂纹扩展的能量平衡原理推广到复合型裂纹。不过，由于复合型裂纹一般不沿着原裂纹面方向扩展，因而，扩展时就出现一个折线裂纹，而且开裂角还是未知的。 要计算这样一个带有任意夹角的折线裂纹沿新的分支扩展所释放的能量，在数学上是相当复杂的。这里仅对I-复合裂纹作一些介绍。 （2）模 型 假设裂纹沿=0的方向产生一个长度为 的支裂纹如下图。原裂纹尖端的应力场由式(3)表示。然而，只要将式(3)中的r、KI和KII分别换成 和 ，就可以得出支裂纹尖端的极坐标应力分量表达式。 对I-II复合型裂纹，沿本身平面扩展时能量释放率

45、为： 同理，对支裂纹沿其本身平面扩展时的能量释放率为：aK、rK22201KKEGGG22201KKEGGG（10） （11）支裂纹及其有关坐标系 而支裂纹的应力强度因子为：203coscossin2221cossin3cos122ooOIIoII OoIIoKKKKKK（14） 于是根据式（11）可以把原有裂纹沿 （即沿支裂纹）的方向开始扩展瞬间的能量释放率表达为：o22210OOKKEG（15） （3）根据第一个假设，裂纹起始扩展的方向应是能量释放率最大的方向。为此，起始扩展方向应满足下列方程：022 10oooGKKKKE （16） 将式（3）与（14）代入，则式（16）可以写成： 0o

46、rr（17）另外，由式（3）可以得出：r23（18）于是式（17）变为：023orr（19） 解1：由 ，有：302or 02sin2cosooKKKKtgo2（20） 于是有：221222222122120221202sin2sincos22cos2sin2sin2112cos2122sinKKKKKKKKKKKtgKKKtgtgoooooooooo 将上述关系式代入式（14），再用式（15）求得相应在于这个方向的能量释放率：22421KKKEGo（21） 将式（21）与式（10）比较，由于 显然 。这表明，由式（20）所给定的根 ，不能使 达到最大值，故在确定裂纹扩展方向时应舍去这个根。2

47、2222222211KKKKEKKEGoooGGooG解2：0or（22）0or0oo再由式（18）知，当 时， 。可见，按能量释放率理论推测的裂纹扩展的起始方向就是最大周向应力理论所确定的 方向。 在这个方向上，周向应力取得最大值；同时，在这个方向上能量释放率也达到最大值，而剪应力 等于零。再由式(22)、(12)、(14)得出， =0。因此，由式（15）得最大能量释放率为rK221KEGo（23） （4）根据第二个假设，当最大能量释放率达到临界值时，裂纹开始扩展，由此可建立相应的断裂准则 ：式中， 是最大能量释放率的临界值，可以通过I型裂纹的断裂韧度 来确定。CooGG（24）CoGCK

48、由于I型裂纹的开裂角0=0，因此，将代入式KII=0， KI = KIC，0=0 代入（23）中，可得最大能量释放率的临界值为：CCKEGo221（25）于是，又可将断裂准则式（24）改写成：CKK（26）K用 的计算式，即式（14）中的第一式代入上式，可以得到最大能量释放率理论建立的断裂准则为：CoooKKKsin232cos2cos2 可以看出这与最大周向应力理论建立的断裂准则完全相同。 对于I-复合型裂纹，由于实验表明扩展是沿着原裂纹面方向进行的（即开裂角0 =0），因而，这类复合型裂纹的断裂准则可以直接表示为: 将式（21）、（22）和（23）所描述的GI、 GII与KI、 KIII的

49、关系式，以及(G0 )C与KIC的关系式（25）代入上式，便得 如果是单纯型裂纹，则KI=0，而且当裂纹扩展时， KIII=KIIIC的，这样CooGGGG（28） （29） CKEKEKE22222111CIIIKKK22211CCIIIKK10.84(0.3)III CCKK（30） 3）应变能密度因子理论（S准则） 应变能密度因子理论是一种基于局部应变能密度场的断裂理论。该理论计算简单，适用性广，其最大特点是可以处理全复合型裂纹的扩展问题。 弹性体受力后要发生变形，同时在其内部储存在应变能。单位体积内的应变能称为“应变能密度”（或应变比能），其表达式为： ijijdW（31） （32）

50、对于线弹性体，应变能密度：zxzxyzyzxyxyzzyyxxijijW2121 将应力与应变之间的关系（即广义Hooke定律）代入，并用应力分量来表示应变分量，则式（32）可改写成：（33） 2222222121zxyzxyxzzyyxzyxGEEW 将、型裂纹尖端附近区域的力场进行迭加，就可得到-复合型裂纹尖端附近区域的应力场。在平面应变情况下，其表达式为： 133cos1 sinsinsin2coscos2222222133cos1 sinsinsincoscos22222222cossin22213cossinsincos1 sin22222xyzxyxyKKrKKrKKrKKr 3s