概率论与数理统计课件.pptx
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- 概率论 数理统计 课件
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1、12关键词:关键词:数学期望数学期望方差、变异系数方差、变异系数协方差、相关系数协方差、相关系数 其它数字特征其它数字特征第四章 随机变量的数字特征3在一些实际问题中,我们需要了解随机变在一些实际问题中,我们需要了解随机变量的分布函数外,更关心的是随机变量的量的分布函数外,更关心的是随机变量的某些特征。某些特征。问题的提出:问题的提出:4 例:例: 在评定某地区粮食产量的水平时,最关心的是平在评定某地区粮食产量的水平时,最关心的是平均产量;均产量; 在检查一批棉花的质量时,既需要注意纤维的平在检查一批棉花的质量时,既需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离均长度,又需要注意纤
2、维长度与平均长度的偏离程度;程度; 考察杭州市区居民的家庭收入情况,我们既知家考察杭州市区居民的家庭收入情况,我们既知家庭的年平均收入,又要研究贫富之间的差异程度。庭的年平均收入,又要研究贫富之间的差异程度。5,甲乙两个射手 他们的某次射击成绩分别为试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例: 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数次数1098206515甲射手甲射手击中环数击中环数次数10981080106 解:计算甲的平均成绩:解:计算甲的平均成绩: 计算乙的平均成绩:计算乙的平均成绩: 所以甲的成绩好于乙的成绩。所以甲的成绩好于乙的成绩。 8 10 9 80 10
3、 1010801089109100100100100 8 209 65 10 1520651589108.95100100100100 7定义:定义:111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXEx pE Xx pX绝对收敛设离散型随机变量 的分布律为:若级数则称级数的值为随机变量的,记为即 数学期望,1 1 数学期望数学期望(expectation)8定义:定义: , 0!的分布律为:keXP Xkkk()E X由上节例子中已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值与方差相等,都等于参数(1)()E X XE X(1)E X XX22
4、2(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。设,求 56例:例:( , )() XU a bD X。设,求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其它21(),22bbaaxxabE Xdxbaba21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解:解:X X的概率密度为:的概率密度为:57例:例:设随机变量设随机变量X X服从指数分布,其概率密服从指数分布,其概率密度为:度为: 0( ) 0()0 0 xexf xD Xx,求.()1/ ,E X解:由前面
5、的例子知22()( )E Xx f x dx20 xxedx2200|22/,xxx exedx 22()() ()D XE XE X于是 2222/1/1/.58方差的性质:方差的性质: 22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y综合上述三项,设相互独立,是常数,则( )0CD C 1. 设 是常数,则2()( )XCD CXC D X2. 设 是随机变量, 是常数,则有,()( )( ) 2( )( ),()( )( )X YD X YD XDYE XE XYE YX YD X YD XDY3. 设是两个随机变量, 则有 特别,若相互独立,则有594. ()
6、0()1 ()D XP XCCE X且推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况2011()()nniiiiiiD cc Xc D X60证明:证明:21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4. 证略。,()( )()( )() ( )
7、0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y当相互独立时,与相互独立故所以61例例 ( , )(),()Xb n pE XD X。设,求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-pp121 易知:nniiXXXXX解:随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数,设P(A)= . 引入随机变量:XnAp12,0 1nX XX于是相互独立,服从同一分布:6211()()()nniiiiE XEXE Xnp故知:()()(1)E XnpD Xnpp即,11()()()(1)nniiiiD XDXD Xn
8、pp,0 1n pnp以为参数的二项分布变量,可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的分布的随机变量之和。63例:例: 解:解:2( ,)(),()XNE XD X 。设,求XZ先求标准正态变量的数学期望和方差221( )2tZte的概率密度为:221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )XZE XEZD XDZD Z因为,故2( )()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。65表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望数学期望 方差方差 分布率或 密度函数
9、分布01分布 p p(1-p)二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )Exp,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2201122222222011112212(,) 1,2, (,) ,iiinnnnnnnXNinCC XC XC XN CCCCCCC CC 若且它们相互独立则它们的线性组合:是不全为0的常
10、数 (1,3)(2,4),23如:,且相互独立,则XNYNX YZXYn独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布:( 4,48)N67例:例: 2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.04 ),)YNXYP XY和 相互独立,计算(()P XY解:2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772 (0)P XY68 定义:设随机变量定义:设随机变量X X具有数学期望具有数学期望()E X*()0()1E XD XX显然,且无量纲.*11()() ()0E XE XE X证:2*()0XD XX方差,记2*22
11、2222 ()() ()() 1() 1XD XE XE XEE X *XX则称为 的标准化变量.69 定义:设随机变量定义:设随机变量X X具有数学期望具有数学期望()E X2()0D X方差,则称X为 的(coefficient of variati变异系数on).vC703 协方差与相关系数协方差与相关系数定义:定义: (, )()( )()( )(, ),(.)()XYXYCov X YEXE XYE YCov XEXE XYE YXYCovYD X DYYX YX量称为随机变量 与 的,协方差相关记为:,即称为随机变量 与 的.是一个无系数量纲的量71协方差的计算公式:协方差的计算公
12、式:(,() ( )E XYE XCov XE YY方差性质的补充:方差性质的补充:()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y111()()2(,)nniiijiiij nDXD XCov XX 推广到任意有限个随机变量之和的情况推广到任意有限个随机变量之和的情况72协方差的性质:协方差的性质:1212(, )( ,);(,)(2.3.1. );(4,)(, ),(, )(, )() .,; Cov X YCov Y XCov X XD XCov aX bYab Cov X Ya bCov XXYCov X YCov XY其中为两个实数;73(,)? ()?Cov aXbY c
13、XdYD aXbY22()( )()(, ) ()( )2(, )acD XbdD Yadbc Cov X Ya D Xb D YabCov X Y答案:思考题:思考题:741,()1 0.102 1XYXYXYa bP YabXbb 存在常数,使 特别的,时,;时,1. 1XY2()( )0(, )()( ),()12D X D YCov X YD X D YXYa bP YabX“ ”其实也可以写成:当时,有 其中等号当且仅当 与 之间有严格的线性关系,即存在常数,使说明:说明:相关系数的性质相关系数的性质752( , )()( , )XabXYe a bEYabXabXYe a babX
14、Y证明:考虑以 的线性函数来近似表示 我们以均方误差来衡量 以近似表达 的好坏程度,越小,与 的近似 程度越好。00,(,)( , )a be a bmine a b下面来求最佳近似式:22220020( , )()()2()2()2( )( , )( )()22()2 ( )0 (, )( , )2()2 ()2()0()e a bE Yb E XabE XYabE XaE Ye a baE Yb E XabE XE YaCov X Ye a bbbE XE XYaE XD Xb计算得: 续76001(,)0.e a b 由00(, )0(, )00() 0(, )00特别,当时,当时,XY
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