2022年北京市海淀区高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|1x2，Bx|x0，则AB（）Ax|x2Bx|x1Cx|x1Dx|x02（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，1），则z（1+i）（）A2B2iC2iD23（4分）双曲线y21的离心率为（）ABCD4（4分）在（x）4的展开式中，x2的系数为（）A1B1C4D45（4分）下列命题中正确的是（）A平行于同个平面的两条直线平行B平行于同一条直线的两个平面平行C垂直于同一个平面的两个平面平行D垂直于同一条直线的两个平面平行6（4分）已知直线l

2、：ax+by1是圆x2+y22x2y0的一条对称轴，则ab的最大值为（）ABC1D7（4分）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且cos（+），则的取值可以为（）ABCD8（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x），则不等式g（x）log2x的解集是（）A（，2）B（2，+）C（0，2）D（0，1）9（4分）在ABC中，A，则“sinB（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）0，20

3、）20，40）40，60）60，80）80，）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人用X在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；X，Y的取值范围都是（0，）；E（X）E（Y）其中，正确结论的个数为（）A1B2C3D4二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）已知抛物线y22px的准线方程为x1，则p 12（5分）已知an是等比数列，Sn为其前n项和若a2是a

4、1，S2的等差中项，S415，则q ，a1 13（5分）若函数f（x）|2xa|1的值域为1，+），则实数a的一个取值可以为 14（5分）已知，是单位向量，且0+， ；当+2时，|的最小值为 15（5分）已知函数f（x），给出下列四个结论：f（x）是偶函数；f（x）有无数个零点；f（x）的最小值为；f（x）的最大值为1其中，所有正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（14分）设函数f（x）2sinxcosx+Acos2x（AR）已知存在A使得f（x）条件：f（0）0；条件：f（x）的最大值为；条件：x是f（x）图象的一条对称轴（1）请写出f

5、（x）满足的两个条件，并说明理由；（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点17（14分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A，A1ADD1平面ABCD，AD2，AA1A1D（1）求证：A1DAB；（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度18（14分）黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）相关数据表明，人睡时间越晚，睡眠指数也就越低根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10，51）0.1%9.2%251，66）11.1%4

6、7.4%366，76）34.6%31.6%476，90）48.6%11.8%590，1005.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间76，90）内的人群中，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数（X）；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间76，并说明理由19（14分）已知函数f（x）ex（ax2x+1）（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线的方程；（2）若函数

7、f（x）在x0处取得极大值，求a的取值范围；（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围20（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y（x2）上（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点B的直线l2：ykx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E若E，B，Q三点共线2经过定点21（14分）设m为正整数，若无穷数列an满足|aik+i|aik+i|（i1，2，m；k1，2，），则称an为Pm数列（1）数列n是否为P1数列？说明理由；（2）已知an其中s，t为常数若数列an为P2数列，求s，t；（3）已知P3数列an满

8、足a10，a82，a6ka6k+6（k1，2，），求an2022年北京市海淀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|1x2，Bx|x0，则AB（）Ax|x2Bx|x1Cx|x1Dx|x0【解答】解：Ax|1x2，Bx|x5，ABx|x1故选：B2（4分）在复平面内，复数z对应的点为（1，1），则z（1+i）（）A2B2iC2iD2【解答】解：在复平面内，复数z对应的点为（1，z（1+i）（3i）（1+i）1i72故选：A3（4分）双曲线y21的离心率为（）ABCD【解答】解：双曲线

9、y31可得a，b28，所以e故选：C4（4分）在（x）4的展开式中，x2的系数为（）A1B1C4D4【解答】解：由（x）4的展开式的通项公式为（1）r，令，解得r5，即x2的系数为（1）48，故选：B5（4分）下列命题中正确的是（）A平行于同个平面的两条直线平行B平行于同一条直线的两个平面平行C垂直于同一个平面的两个平面平行D垂直于同一条直线的两个平面平行【解答】解：对于A，平行于同个平面的两直线相交，故A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面相交或平行；对于C，垂直于同一个平面的两个平面相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故D正确故选：D6（4分）已

10、知直线l：ax+by1是圆x2+y22x2y0的一条对称轴，则ab的最大值为（）ABC1D【解答】解：圆x2+y25x2y0的圆心（7，1），直线l：ax+by1是圆x6+y22x3y0的一条对称轴，可得a+b1，则ab，当且仅当ab时，所以ab的最大值为：故选：A7（4分）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且cos（+），则的取值可以为（）ABCD【解答】解：由于角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，故；由于cos（+）1，所以，整理得（kZ），故（kZ）；当k3时，故选：C8（4分）已知二次函数f（x）的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g（x），则不等式g

11、（x）log2x的解集是（）A（，2）B（2，+）C（0，2）D（0，1）【解答】解：设f（x）ax2+bx+c（a0），由图象可得f（0）8，f（2）0，则c4，4a2b+70，所以f（x）ax2+（5a+）x+2，将f（x）的图象向右平移2个单位长度得到函数g（x）a（x2）6+（2a+）（x2）+1的图象由g（2）8，又ylog2x在（0，4）上递增218，log222，所以由图像可得不等式g（x）log2x的解集为（0，3）故选：C9（4分）在ABC中，A，则“sinB（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC中，由sinB或，又A

12、，则0，即C，即ABC是钝角三角形，由ABC是钝角三角形，当B时，sinB，即“ABC是钝角三角形”不能推出“sinB”，即“sinB”是“ABC是钝角三角形”的充分而不必要条件，故选：A10（4分）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）0，20）20，40）40，60）60，80）80，）总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人用X在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；在第二种

13、抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；X，Y的取值范围都是（0，）；E（X）E（Y）其中，正确结论的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：对于：98人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，错误；对于：排除组中小于20岁的人有7人，抽取2人小于20岁的概率为；对于：第一种0，80）有96人，+）有6人，第二种0，80）有82人，+）有2人，故设抽取80岁以上的人数为M，则M7，1，2，当M6时，XY0，当M1时，当M2时，故正确；对于：，E（X）E（Y），E（X）E（Y），故正确；故选：B二、第二部分（非选择题共110分）填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）已知

14、抛物线y22px的准线方程为x1，则p2【解答】解：由抛物线y22px，得直线方程为x，由题意，得p5故答案为：212（5分）已知an是等比数列，Sn为其前n项和若a2是a1，S2的等差中项，S415，则q2，a11【解答】解：设，由题意知，即，解得q2，a61；易知q1故答案为：2；113（5分）若函数f（x）|2xa|1的值域为1，+），则实数a的一个取值可以为 1（答案不唯一，符合a0即可）【解答】解：令g（x）|2xa|，函数f（x）|2xa|3的值域为1，+），g（x）|2xa|的值域为4，+），又y2x的值域为（0，+），a5a的一个值可以为1故答案为：1（答案不唯一，符合a7即可

15、）14（5分）已知，是单位向量，且0+，；当+2时，|的最小值为 【解答】解：当1时，|22|2，cos，0，；当+2时，（1）+（2），则|（1）4+（2）25（）6+，当时，|的最小值为故答案为：；15（5分）已知函数f（x），给出下列四个结论：f（x）是偶函数；f（x）有无数个零点；f（x）的最小值为；f（x）的最大值为1其中，所有正确结论的序号为 【解答】解：函数f（x），f（x）f（x），故正确；令函数f（x）7，（kZ），（kZ）；f（x），f（x），f（1），f（1），函数的最小值不可能为，故错误；|cosx|7，当xk（kZ）时取等号1，当且仅当x0时取等号，1，当且仅当x7时

16、取等号，f（x）故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（14分）设函数f（x）2sinxcosx+Acos2x（AR）已知存在A使得f（x）条件：f（0）0；条件：f（x）的最大值为；条件：x是f（x）图象的一条对称轴（1）请写出f（x）满足的两个条件，并说明理由；（2）若f（x）在区间（0，m）上有且只有一个零点【解答】解：（1）函数，其中，对于条件：若f（0）0，则A0，对于条件：f（x）的最大值为，则，得A1，当A0时，当A1时，即满足条件，当A1时，即不满足条件，综上可得，存在A1满足条件；（2）由（1）得，当0xm时，由于f（x）在区间（

17、0，m）上有且只有一个零点，则，解得，即m的取值范围是17（14分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A，A1ADD1平面ABCD，AD2，AA1A1D（1）求证：A1DAB；（2）若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度【解答】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，则ABAD，因为平面A1ADD1平面ABCD，平面A6ADD1平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面AA1D4D，A1D平面AA1D3D，所以1D（2）解：取AD的中点O，连接A1O，AA5A1D，O为AD的中点1OAD，因为平面AA6D1D平面ABCD，平面AA1D7

18、D平面ABCDAD，A1O平面AA1D5D，所以，A1O平面ABCD，以点O为坐标原点，、的方向分别为x、y，设A2Oa，其中a0，则A（0，3、B（2，0）、A3（0，0，a）、C4（2，2，a），8，0），设平面A1C1D的法向量为，则，取xa，则，由题意可得，a0，解得，则18（14分）黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）相关数据表明，人睡时间越晚，睡眠指数也就越低根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10，51）0.1%9.2%251，66）11.1%47.4%366，76）34

19、.6%31.6%476，90）48.6%11.8%590，1005.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间76，90）内的人群中，90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数（X）；（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间76，并说明理由【解答】（1）解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组（2）解：由题意可知，随机变量X的可能取值有

20、6、1、2、6，X的分布列为： X 0 8 2 3 P    ；（3）解：这种说法不正确，理由如下：当第1组的均值为2，第2组的均值为51，第4组的均值为76，则睡眠指数的均值为50.001+510.111+664.346+760.486+910.0565+510.12+660.35+765.5+910.0672.687619（14分）已知函数f（x）ex（ax2x+1）（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线的方程；（2）若函数f（x）在x0处取得极大值，求a的取值范围；（3）若函数f

21、（x）存在最小值，直接写出a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）ex（ax2x+1），f（0）3f（x）ex（ax2x+1+7ax1）ex（ax2x+6ax），f（0）0，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线的方程为y70（2）f（x）xex（ax1+4a），f（0）0若a0，则f（x）xex，x7时，f（x）0；x0时，此时函数f（x）单调递减6是函数f（x）的极大值点a0时，f（x）axex（x），令f（x）013，x2，下面对a分类讨论：a时，f（x）x2ex2，函数f（x）在R上单调递增，舍去a时，x40，列出表格： x （，x2） x8 

22、;（x2，0） 7 （0，+） f（x）+ 0 8+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增0为函数f（x）的极小值点，舍去a0时，x40，列出表格： x （，x2） x4 （x2，0） 5 （0，+） f（x） 0+ 2 f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减0为函数f（x）的极大值点，满足题意0a时，x

23、28，列出表格：列出表格： x （，0） 0 （2，x2） x2 （x5，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增3为函数f（x）的极大值点，满足题意a的取值范围是（，）（3）结合（2）：a6，或a时例如a或a0，且f（0）7，f（x）0，舍去0a时，x时x2是极小值点，x70，满足：a2+2ax30，x2，需要f（x2）f（）x2+2）（14ax2）72（16a）0因此函数f（x）存在最小值，a的取值范

24、围是（0，20（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的下顶点A和右顶点B都在直线l1：y（x2）上（1）求椭圆方程及其离心率；（2）不经过点B的直线l2：ykx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交l1于点D，点P关于点D的对称点为E若E，B，Q三点共线2经过定点【解答】（1）解：因为下顶点A和右顶点B都在直线上，故A（0，3），0）其离心率为（2）证明：设P（x1，y5），Q（x2，y2），则x72，x26则，故E（x6，x1y14），因为E，B，Q三点共线，故，整理得到：x5y2+x2y62（y1+y6）+x1x27（x1+x2）+6，即（2k1）x7x2+（m2k+3）（x1+x2

25、）3m40由可得（1+4k7）x2+8kmx+5m244，故16（4k2+8m2）0且，故，整理得到：（m+2k）（m+2k+3）0，若m2k，则l8：ykx2k，故l2过B，与题设矛盾；若m3k1，则l2：ykx3k1，故l2过定点（3，1）21（14分）设m为正整数，若无穷数列an满足|aik+i|aik+i|（i1，2，m；k1，2，），则称an为Pm数列（1）数列n是否为P1数列？说明理由；（2）已知an其中s，t为常数若数列an为P2数列，求s，t；（3）已知P3数列an满足a10，a82，a6ka6k+6（k1，2，），求an【解答】解：（1）ana1（n1）+3（n1）+1a5（

26、n1）+1（n7），|a1（n1）+4|a|（n1）+1|，（2）依题意，a3t，a1a3s，因为an是P8数列，|a2|a16+1|a1+7|t+1|t|，t1，|a4|a21+8|a2+1|t+7|s|，s0；（3）an是P3数列，|a8|a17+4|a7+1|，|a7|a23+2|a6+2|，|a5+1|a6+4|2（1），|a9|a41+1|a8+1|3，|a4|a32+5|a6+3|6，由（1）（2）得a60，a61，猜想an是首项为5，公差为3的等差数列nn6，检验：|a1k+5|ak+1|k6+8|ak+1|，是P数列；|a2k+3|a2k+2|4k+26|7k6+2|a3k+2|，是P2数列；|a6k+3|3k+86|3k7+3|a3k+7|，是P3数列，并且，a6ka3k+6，a130符合题意，故ann6第19页（共19页）