2022年湖南省常德市高考数学模拟试卷（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年湖南省常德市高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|x21，Bx|x2mx+20，若AB1，则AB（）A1，0，1Bx|1x1C1，0，1，2Dx|1x22（5分）若复数z满足z（1+i）2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，若a44，S3S2+2，则a1（）AB1CD24（5分）已知直线l1：ax4y30，l2：xay+10，则“a2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充

2、要条件D既不充分也不必要条件5（5分）函数的图象大致是（）ABCD6（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左焦点到渐近线距离等于实轴长（）ABC2D37（5分）已知，cos24sin2+sin，则tan（）ABCD8（5分）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生；B表示事件“医生乙派往村庄”；C表示事件“医生乙派往村庄”，则（）A事件A与B相互独立B事件A与C相互独立CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知函数，则（）A函数f（

3、x）的周期为B函数f（x）的图象关于原点对称Cf（x）的最大值为2D函数f（x）在区间上单调递增（多选）10（5分）下列不等式一定成立的是（）Alog1.11.3log1.11.2B0.71.30.71.2CD（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F到准线l的距离为2，则（）A焦点F的坐标为（1，0）B过点A（1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C直线x+y10与抛物线C相交所得弦长为8D抛物线C与圆x2+y25交于M，N两点，则|MN|4（多选）12（5分）如图所示，三棱锥PABC中，ACBC，D为线段AB上的动点（D不与A，B重合），且ADPD，则（）APA

4、CDBDPC45C存在点D，使得PABCD三棱锥PBCD的体积有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面向量，（1，2），（3，t），则| 14（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，4），从中随机取一件（2，4）内的概率为 （附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6827，P（2+2）15（5分）已知A，B，C，D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，且ABBC，ABBC2 16（5分）设函数f（x）x（x+1）（x2m）的两个极值点为x1，x2，若f（x1）+f（x2）0，则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共6小题

5、，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，ABC中，角A，B，b，c，且2ac2bcosC（）求角B的大小；（）已知b3，若D为ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值18（12分）设各项非负的数列an的前n项和为Sn，已知2Snan+12n（nN*），且a2，a3，a5成等比数列（）求an的通项公式；（）若bn，数列bn的前n项和Tn19（12分）为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，20），20，40，60），80），80，得到该项指标值频率分布直方图

6、如图所示同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人（）填写下面的22列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计（）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数X的分布列及期望附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面

7、是等边三角形，平面ABB1A1平面ABC，A1BAB，AC2，A1AB60，O为AC的中点（）求证：AC平面A1BO；（）试问线段CC1是否存在点P，使得二面角POBA1的平面角的余弦值为，若存在，请计算；若不存在，请说明理由21（12分）已知M（x0，0），N（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|3，若动点G满足（）求曲线E的方程；（）过点G作直线MN的垂线l，交曲线E于点P（异于点G），求PMN面积的最大值22（12分）已知函数（e2.71828是自然对数底数）（）当ae时，讨论函数f（x）的单调性；（）当ae时，证明：f（x）（a1）e2022年湖南省常德市高考数学模拟试卷（

8、3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|x21，Bx|x2mx+20，若AB1，则AB（）A1，0，1Bx|1x1C1，0，1，2Dx|1x2【解答】解：集合AxZ|x212，0，15mx+20，AB4，1B，1m+20，Bx|x25x+206，2，AB1，3，1，2故选：C2（5分）若复数z满足z（1+i）2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：因为z（1+i）2+i，所以zi，所以复数z在复平面内对应的点为（，），在第四象限故选：

9、D3（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，若a44，S3S2+2，则a1（）AB1CD2【解答】解：因为等比数列an中，a44，S5S2+2，所以q8，a32，所以，则a8故选：A4（5分）已知直线l1：ax4y30，l2：xay+10，则“a2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：直线l1：ax4y30，l2：xay+20，则由“a2”，可得1l2”，故充分性成立由“l8l2”，可得，不一定是“a5”故“a2”是“l1l7”的充分不必要条件，故选：A5（5分）函数的图象大致是（）ABCD【解答】解：f（x），则f（x）是奇函数，排

10、除A，B，当0x1时，sinx7，排除D，故选：C6（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左焦点到渐近线距离等于实轴长（）ABC2D3【解答】解：左焦点F（c，0）到渐近线y，2a，2ab，e65+，e，故选：B7（5分）已知，cos24sin2+sin，则tan（）ABCD【解答】解：因为cos24sin6+sin，所以12sin44sin2+sin，所以7sin2+sin14，可得（3sinl）（2sin+2）0，因为，sin3，所以sin，cos，tan故选：B8（5分）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生；B表示事件“医生乙派往村庄”；C表示

11、事件“医生乙派往村庄”，则（）A事件A与B相互独立B事件A与C相互独立CD【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往三个村庄义诊的试验有，它们等可能，事件A含有的基本事件数为12，同理P（B）P（C），事件AB含有的基本事件个数为5，事件AC含有的基本事件数为8，对于A，P（A）P（B），即事件A与B相互不独立；对于B，P（A）P（C），即事件A与C相互不独立；对于C，P（B|A）；对于D，P（C|A）故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知函数，则（）A函数f（x）

12、的周期为B函数f（x）的图象关于原点对称Cf（x）的最大值为2D函数f（x）在区间上单调递增【解答】解：函数，故函数的最小正周期为，故A正确；函数的图象不关于原点对称，故B错误；当（kZ）时（kZ）时，故C正确；由于，所以，故D错误故选：AC（多选）10（5分）下列不等式一定成立的是（）Alog1.11.3log1.11.2B0.71.30.71.2CD【解答】解：根据对数函数ylog1.1x为增函数可知A成立；根据指数函数y8.7x为减函数可知B错；当x0时，x+，所以C错；+，当且仅当sin2xcos2x时等号成立故选：AD（多选）11（5分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F到准线

13、l的距离为2，则（）A焦点F的坐标为（1，0）B过点A（1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C直线x+y10与抛物线C相交所得弦长为8D抛物线C与圆x2+y25交于M，N两点，则|MN|4【解答】解：焦点F到准线l的距离为2，p264x，焦点F的坐标（1，故A正确；过点A（3，0）有抛物线的2条切线，共6条直线与抛物线C有且只有一个公共点；由，得y2+2y40，弦长为1y2|8；由，得x2+6x50，解得x3或x5（舍去），2），故D正确故选：ACD（多选）12（5分）如图所示，三棱锥PABC中，ACBC，D为线段AB上的动点（D不与A，B重合），且ADPD，则（）APACDBDP

14、C45C存在点D，使得PABCD三棱锥PBCD的体积有最大值【解答】解：对于A选项：在三棱锥PABC中，取PA中点E，CE，因为ACBCPC1，ADPD，CEPA，而DECEE，DE，则有PA平面CDE，又CD平面CDE，所以PACD，故A正确；对于B选项：因为ACBC，ACBCPC1，又ADPD，则PCDACD，于是得DPCCAB45，故B正确；对于C选项：假设存在点D，使得PABC，PACD，CD，则PA平面ABC，而AC平面ABC，必有PCAC，与ACPC6矛盾，故C不正确；对于D选项：令PDADx，则，令PD与平面ABC所成角为，因此，点P到平面ABC的距离hPDsinxsin，而，则

15、三棱锥PBCD的体积，当且仅当，且时，取等号，所以当D是AB中点，且PD平面ABC时，最大值为，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面向量，（1，2），（3，t），则|【解答】解：（1，（3，且，8t2（3）3，解得t6（3，则|故答案为：14（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，4），从中随机取一件（2，4）内的概率为 0.1359（附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（+）0.6827，P（2+2）【解答】解：设长度误差为随机变量，则由题意得：N（0，0，6，P（5+2）P（+），（0.95450.6827）3.135

16、9，故答案为：0.135915（5分）已知A，B，C，D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，且ABBC，ABBC2【解答】解：依题意，O是BD中点1，延长BO1到点E，使O4EBO1，连接OO1，DE，AE，如图，则有DEOO5，且四边形ABCE是平行四边形，AEBC2，则ABBC，则O1是平面ABC截球O所得截面小圆的圆心，于是得OO5平面ABC，DE平面ABC，DAE是直线AD与平面ABC所成角，由球心的表面积为16的球半径OA2，而AB与BC2，则AO5，而OO1AC，从而得到OO6，DE2OO22，RtADE中，AD，sinDAE，直线AD与平面ABC所成角的正弦值是故答案为：16

17、（5分）设函数f（x）x（x+1）（x2m）的两个极值点为x1，x2，若f（x1）+f（x2）0，则实数m的取值范围是 m|m1或【解答】解：f（x）x（x+1）（x2m）x5+（12m）x52mx，由题意得，x1，x7为f（x）3x2+2（12m）x8m的两个零点，所以16m2+8m+20恒成立，x1+x2，x1x2，则f（x1）+f（x4）+（12m）（1+x2）（x1+x2）（x8+x2）24x1x2+（52m）（x1+x6）22x7x22m（x4+x2）（）2+2m+（12m）（）8+8m（2m6）（4m2+6m+1）0，所以（3m1）（4m8+5m+1）2，所以或，解得m1或故答案为

18、：m|m1或四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，ABC中，角A，B，b，c，且2ac2bcosC（）求角B的大小；（）已知b3，若D为ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值【解答】解：（I）2ac2bcosC6b，整理得，a2+c8b2ac，由余弦定理得，cosB，由B为三角形内角得B60；（II）由圆内角四边形性质可得，D120，则CAD（60），在ADC中，由正弦定理得，所以AD2sinsin（60），所以AD+CD2sin+6（）2，当30时，AD+CD取得最大值818（12分）设各项非负的数列an的前n项和为Sn，已知2

19、Snan+12n（nN*），且a2，a3，a5成等比数列（）求an的通项公式；（）若bn，数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）当n1时，当n2时，2Sn3an2（n1），得，即，an5，an+1an+1，数列an从第2项起是公差为1的等差数列，ana2+n6（n2）又a2，a2，a5成等比数列，即，解得a21，an1+n7n1（n2），a16，适合上式，数列an的通项公式为ann1（），数列bn的前n项的和为：，得，19（12分）为了研究注射某种抗病毒疫苗后是否产生抗体与某项指标值的相关性，研究人员从某地区10万人中随机抽取了200人，对其注射疫苗后的该项指标值进行测量，20），20，40，

20、60），80），80，得到该项指标值频率分布直方图如图所示同时发现这200人中有120人在体内产生了抗体，其中该项指标值不小于60的有80人（）填写下面的22列联表，判断是否有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”指标值小于60指标值不小于60合计有抗体没有抗体合计（）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，求产生抗体的人数X的分布列及期望附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21、【解答】解：（）由该项指标值频率分布直方图，可得该项指标值不小于60的人共有（0.025+0.005）20200120，填写下面的72列联表，指标值小于60指标值不小于60合计有抗体4080120没有抗体404080合计80120200K25.5563.841，有95%的把握认为“注射疫苗后产生抗体与指标值不小于60有关”（II）以注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率，则概率P若从该地区注射疫苗的人群中随机抽取4人，产生抗体的人数X的可能取值为2，1，2，2，4，），P（Xk），k0，1，6，3，4，同理可得：P（X1），P（X7），P（X3），可得X的分布列， X&

22、nbsp;0 5 2 3 8 P     则X的数学期望E（x）420（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1平面ABC，A1BAB，AC2，A1AB60，O为AC的中点（）求证：AC平面A1BO；（）试问线段CC1是否存在点P，使得二面角POBA1的平面角的余弦值为，若存在，请计算；若不存在，请说明理由【解答】解：（）证明：ABC是等边三角形，O是AC的中点，平面ABB1A1平面ABC，平面ABB5A1平面ABCAB，A1BAB，A6B平面ABC，AC平面A

23、BC，A1BAC，ACOB，A1BOBB，AC平面A2BO（）存在线段CC1的中点P满足题意理由如下：A1B面ABC，OBAC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，BA3所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，6），0），7，0），0，2），A1（0，2），设t（t，4），0t2，则（1t，），平面A1OB的一个法向量（5，0，设平面POB的法向量（x，y，则，取x2t，则（2t，5，由题意得|cos|，3t1，解得t，线段CC1上存在点P，使得二面角POBA5的平面角的余弦值为，21（12分）已知M（x0，0），N（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|3，若动点G满足（

24、）求曲线E的方程；（）过点G作直线MN的垂线l，交曲线E于点P（异于点G），求PMN面积的最大值【解答】解：（）依题意，设G（x，则，因，则，解得，而|MN|3，即，于是得，即，所以曲线E的方程为（）依题意，直线l垂直于MN且与曲线E交于G，则直线l的斜率存在且不为6，设直线l：ykx+t，G（x1，y1），P（x5，y2），由消去y并整理得：（2k2+1）x2+8ktx+4（t21）0，64k5t216（4k7+1）（t23）16（4k2t7+1）0，由（1）知，直线MN的斜率，则，即y1kx3+t，而点G在曲线E上，于是得，即，即，当且仅当时取，则有，所以PMN面积的最大值为22（12分）

25、已知函数（e2.71828是自然对数底数）（）当ae时，讨论函数f（x）的单调性；（）当ae时，证明：f（x）（a1）e【解答】解：（）当ae，x（0，所以，令h（x）lnxex，所以，h（x）单调递减，因为，当时，h（x）2，当时，h（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）证明：，令（x）1lnaxex，所以（x）单调递减，因为，有（x5）0，即1lnax5ex00，所以x（4，x0）时，（x）0，f（x）单调递增，当x（x8，+）时，（x）0，f（x）单调递减，所以函数f（x）在xx0时有极大值，所以，因为函数在单调递减，所以，要证f（x）（a6）e，即证（1e）a+elna0，令F（a）（2e）a+elna，则F（a）单调递减，F（a）F（e）（1e）e+e2ee50，所以（1e）a+elna4成立，即f（x）（a1）e得证第21页（共21页）