2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数zi（1i），则|z|（）A2BC5D2（5分）已知集合Ax|2x，Ba，a+4，2，则a（）A2B1C2D53（5分）某商场举办返利活动，凡购物满200元的顾客，可有机会进行一次抽奖已知每次抽奖获得一等奖的概率为，获得三等奖的概率为若一位顾客连续抽奖两次（）ABCD4（5分）已知a3，blg100，c20.99，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca5（5分）已知点A为抛物线y24x上的动点，

2、以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，则|PF|（）A4B2C1D6（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件7（5分）函数f（x）2f（1）x+xlnx在x1处的切线方程为（）Ay2x2By2x+1Cyx1Dyx18（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0，）（）f（2），则（）ABCD9（5分）在的展开式中，含x2项的系数为（）A12B10C9D810（5分）奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸若向图（1），则此点取自图中黑

3、色部分的概率约为（）A0.108B0.237C0.251D0.52611（5分）如图，三棱锥PABC的展开图为四边形ADFE，已知DFEF2，BC2，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）cosx+ex+ex，则关于x的不等式f（2x1）f（3+x）（）A（1，2）BC（，1）（2，+）D（，）（4，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知x，y满足约束条件则zx+2y的最大值为 14（5分）已知非零向量，满足，则 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左，B，若该双曲线上存在点P，使得直线PA，则该双曲线离心率的取值范围为 1

4、6（5分）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切设该正四棱台的外接球半径为R，则 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等比数列an的公比q（0，1），且a1+q1，设数列an的前n项和为Sn（1）证明：Sn1；（2）若a1q，bn，求数列bn的前n项和Tn18（12分）甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方

5、得1分，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望19（12分）如图，O，O1是圆柱底面的圆心，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，AB是底面直径，E为AA1的中点已知AB4，BC2，AA12（1）证明：AC1平面BCE；（2）求锐二面角CBEA的大小20（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（ab0）1，F2，直线l：ykx+t与椭圆C交于A，B两点已知ABF2周长的最大值为8，且当k1，t0时（1）求椭圆C的标准方程；（2）设ABO的面积为S，若|AB|2，

6、求S的取值范围21（12分）已知函数f（x）ex+x2+ax（aR），其中e是自然对数的底数（1）设f（x）的极小值为g（a），求g（a）；（2）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）f（x2），且x1+x22，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t是参数，0，2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为24cos+30（1）证明：曲线C1过定点；（2）若曲线C1与曲线C2无公共点，求cos的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|+|x1|（1）求函数f（x）的最小值；（2）

7、若a4时，证明：对任意的x2，1，f（xa）（x）恒成立2022年河南省豫北重点高中高考数学质检试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数zi（1i），则|z|（）A2BC5D【解答】解：zi（1i）1+i，|z|故选：B2（5分）已知集合Ax|2x，Ba，a+4，2，则a（）A2B1C2D5【解答】解：集合Ax|2xx|x1，a+4，7，a+42，且a3故选：C3（5分）某商场举办返利活动，凡购物满200元的顾客，可有机会进行一次抽奖已知每次抽奖获得一等奖的概率为，获得三等奖的

8、概率为若一位顾客连续抽奖两次（）ABCD【解答】解：每次抽奖获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为一位顾客连续抽奖两次，则恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为：P故选：D4（5分）已知a3，blg100，c20.99，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca【解答】解：，又blg100lg1026，又12520.99412，4c2，abc，故选：A5（5分）已知点A为抛物线y24x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，抛物线的焦点为F，则|PF|（）A4B2C1D【解答】解：点A为抛物线y24x上的动点，以点A为圆心的圆M与y轴相切，线段AF与圆M相交于点P， 

9、;所以故选：C6（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由正弦定理可得：sinB2sinAcosC，在ABC中，A+B+C，所以sin（A+C）2sinAcosC，即：sinCcosAsinAcosC，所以sin（CA）7，所以CA，同理，当ac时故选：A7（5分）函数f（x）2f（1）x+xlnx在x1处的切线方程为（）Ay2x2By2x+1Cyx1Dyx1【解答】解：f（x）2f（1）x+xlnx，f（x）2f（1）+lnx+4，f（1）1，由题意可知，曲线在（1，则f（1）6，所以切点（1，所

10、以切线方程为：y+2（x2），化简得x+y+10故选：C8（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0，）（）f（2），则（）ABCD【解答】解：因为f（x）sin（2x+），所以f（）sin（2+）sin7，f（2）sin（4+）sin4，因为f（）f（2），所以sin3sin4，因为，所以，所以83，解得故选：B9（5分）在的展开式中，含x2项的系数为（）A12B10C9D8【解答】解：（x+5）3，（1+x）6的通项公式为Tk+1xk，要求x4项的系数，即求（1+x）8的展开式中x4项的系数，即6，则x2项的系数为8，故选：D10（5分）奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图

11、（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸若向图（1），则此点取自图中黑色部分的概率约为（）A0.108B0.237C0.251D0.526【解答】解：最大圆的面积，黑圈面积，每个黑色三角形，黑色面积与总面积的比值为0.237，也可以借助7找到最接近的答案）故选：B11（5分）如图，三棱锥PABC的展开图为四边形ADFE，已知DFEF2，BC2，则三棱锥PABC的体积为（）ABCD【解答】解：如图所示，连接AF，且AFBCM，由已知，得ADAE，故BDDFCFCE，DE2BC7，则ADE与FDE均为等腰三角形，且AFDE，故点M为BC的中点，点N为DE的中点FN6，又ABAC，

12、所以AM3，故ADAE，还原三棱锥如图所示，可得PAPBPC，ABAC，所以PA2+PC2AC7，PA2+PB2AB5，即APPB，APPC，故VSPBCAPBCPMAP故选：D12（5分）已知函数f（x）cosx+ex+ex，则关于x的不等式f（2x1）f（3+x）（）A（1，2）BC（，1）（2，+）D（，）（4，+）【解答】解：f（x）的定义域是R，f（x）sinx+exexx，f（x）cosx+ex+ex1280，f（x）在R单调递增，而f（x）0，x（，5）时，f（x）递减，x（0，+）时，f（x）递增，而f（x）cosx+ex+exx2f（x），故f（x）是偶函数，由f（2x6）f

13、（3+x）得|2x4|3+x|，解得x4，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知x，y满足约束条件则zx+2y的最大值为 5【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，由zx+6y，得y，当直线y，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为1+715故答案为：714（5分）已知非零向量，满足，则【解答】解：因为，所以|+|7|，即+2+2+），所以103，所以+，且0，又因为16，所以+8，即+3，解得或0（不合题意，所以故答案为：15（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左，B，若该双曲线上存在点P，使得直线PA，则该双曲线离心率的取值范围为

14、【解答】解：设点P（x0，y0），其中x3a，易知点A（a、B（a，且有，则，当点P在第一象限时，x0a，y40，则，且kPAkPB，由基本不等式可得，因为存在点P，使得直线PA，则，即，故答案为：16（5分）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B1，且存在一个半径为r的球，与该正四棱台的各个面均相切设该正四棱台的外接球半径为R，则【解答】解：如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设HMa，而HGKGQGr，易得MQHMa，MF3a2a3+r2，FG24a2+r2，且MGF90，所以MG4+FG2MF2，即a4+r2+4a3+r29a2，解得，从而可知，连接A1C1，B6D1，交

15、于点O1，连接AC，BD7，可知，从而有，所以，即，解得，所以故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知等比数列an的公比q（0，1），且a1+q1，设数列an的前n项和为Sn（1）证明：Sn1；（2）若a1q，bn，求数列bn的前n项和Tn【解答】证明：（1）由已知得a11q，且q（5，所以，所以Sn1；解：（2）由数列an为等比数列，且a4q，a1+q1，所以a8q，所以（）n，则bn，所以Tnb1+b4+bn（1）+（）+（18（12分）

16、甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望【解答】解：（1）设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队（1分）为事件A，则；（2）由题意可知X的取值为0，1，5，3，4，5，随机变量X的分布列为：X012347P所以 19（12分）如图，O，O1是圆柱底面的圆心，AA1，BB1，CC1均为圆柱的母线，AB是底面直径，E为AA1的中点已知AB4，BC2，AA12（1

17、）证明：AC1平面BCE；（2）求锐二面角CBEA的大小【解答】（1）证明：连接AC，因为AB为直径，因为AB4，所以，因为，且E为AB中点，所以，则可知AC6CE，因为CC1平面ABC，BC平面ABC1BC，又ACBC，ACCC5C，AC1平面ACC1，所以BC平面ACC3，因为AC1平面ACC1，所以AC2BC，又因为AC1CE，CEBCC，BC平面BCE1平面BCE；（2）解：作ON平面ABB6A1，以为x，y，建立空间直角坐标系，则B（4，2，0），设平面BCE的法向量为，则取，则y1，设二面角CBEA为，由图可知，因为平面ABE的法向量，所以可得锐二面角CBEA的大小为6020（12

18、分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1（ab0）1，F2，直线l：ykx+t与椭圆C交于A，B两点已知ABF2周长的最大值为8，且当k1，t0时（1）求椭圆C的标准方程；（2）设ABO的面积为S，若|AB|2，求S的取值范围【解答】解：（1）由椭圆定义可知|AF2|2a|AF2|，|BF2|2a|BF4|，故三角形ABF2的周长|AF2|+|BF6|+|AB|4a（|AF1|+|BF6|）+|AB|，又|AF1|+|BF1|AB|，当直线l经过点F7时，等号成立，故|AF2|+|BF2|+|AB|3a（|AF1|+|BF1|）+|AB|7a|AB|+|AB|4a8，即a3，故椭圆方程为，又当

19、k8，t0时，设点A（x0，x5），x00故，解得，故点，代入椭圆方程得，解得b82，故椭圆方程为；（2）联立椭圆与直线方程得（1+2k3）x2+4ktx+6t246，0，即4k2+2t25，则，化简可得，点O到直线l的距离为，所以，设，则，所以21（12分）已知函数f（x）ex+x2+ax（aR），其中e是自然对数的底数（1）设f（x）的极小值为g（a），求g（a）；（2）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）f（x2），且x1+x22，求a的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）ex+2x+a，则f（x）ex+25，所以f（x）单调递增，设，即，当xx5时，f（x）0，当xx0时，f

20、（x）5，所以，f（x）的极小值为，即，设h（x）（1x）exx6，则h（x）x（ex+2），当x0时，h（x）5，当x0时，h（x）单调递减，所以h（x）maxh（0）1即g（a）的最大值为4；（2）不妨设x11t，x31+t（t0），所以关于t的方程f（3t）f（1+t）有正实数解，所以e1t+（8t）2+a（1t）e8+t+（1+t）2+a（2+t），整理得e1+te1t+（2a+4）t0，设F（t）e7+te1t+（2a+7）t（t0），则F（t）e1+t+e6t+2a+4，F（x）e7+te1t0，所以F（t）单调递增，所以F（t）F（0）6e+2a+4，当ae4时，F（t）0，所以

21、F（t）F（0）0；当ae2时，存在t10，使得F（t3）0，列表可知，t1）上单调递减，在（t7，+）上单调递增，所以F（t1）F（0）0，所以存在t8t1，使得F（t2）4，符合题意；综上，a的取值范围为（选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t是参数，0，2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为24cos+30（1）证明：曲线C1过定点；（2）若曲线C1与曲线C2无公共点，求cos的取值范围【解答】（1）证明：曲线C1的参数方程为（其中t是参数，2）6+（ysin）21，即x8+y22cosx2siny0，当x

22、y0时，即曲线C3过点（0，0）；（2）解：曲线C6的直角坐标方程为（xcos）2+（ysin）27，因为2x2+y7，cosx，ysin，所以曲线C2的直角坐标方程为x2+y84x+37，即（x2）2+y81，因为曲线C1，C6无公共点，所以（cos2）2+sin3（1+1）84，解得，即cos的范围为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|+|x1|（1）求函数f（x）的最小值；（2）若a4时，证明：对任意的x2，1，f（xa）（x）恒成立【解答】（1）解：因为函数f（x）|2x+4|+|x4|，所以当x2时，f（x）2x8x+13x83；当x1时，f（x）8x+4+x14x+36；当6x1时，f（x）2x+3x+1x+57，综上，f（x）的最小值为3；（2）证明：当x2，5时，x10，若a6，f（xa）|2（xa）+4|+|xa5|2x2a+3|+|xa1|（2a2x4）+（a+1x）2a33x，又由f（xa）f（x）（3a33x）（x+7）3a87x3a863a123（a4）0，所以f（xa）f（x）第19页（共19页）