2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一模）（学生版+解析版）.docx

1、2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知xR，则“x1”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（5分）已知角的终边上有一点P的坐标为（2，1），则cos的值为（）A55B-55C255D-2553（5分）若复数z（1+2i）（ai）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A（-12，2）B（2，12）C（12，2）D（，2）（12，+）4（5分）函数f（x）=x32x+2-x的部分图象大致是（）ABCD5（5分）与

2、直线x+2y+10垂直，且与圆x2+y25相切的直线方程是（）A2x+y+5=0或2x+y-5=0B2x+y+50或2x+y50C2xy+5=0或2xy-5=0D2xy+50或2xy506（5分）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字：比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒若用8根火柴棒以适当的方式全部放入的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）A8B12C16D207（5分）九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时

3、世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知在“堑堵”ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA1=6，动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动，且AM2，则MAB的最大值为（）A4B512C2D38（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0），过原点O的直线交C于A、B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足BABP=0，直线PA交x轴于点D，若ADOAOD，则双曲线C的离心率为（）A2B2C3D3二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项

4、符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）正态分布N（1，2）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）A12-P（X0）B12-P（X2）C12P（X2）-12P（X0）D12-P（1X2）（多选）10（5分）已知a、b分别是方程2x+x0，3x+x0的两个实数根，则下列选项中正确的是（）A1ba0B1ab0Cb3aa3bDa2bb2a（多选）11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是棱A1D1、AB的中点，则下列选项中正确的是（）AMCDNBA1C1平面MNCC异面直线MD与NC所成的角的余弦值为15D平

5、面MNC截正方体所得的截面是五边形（多选）12（5分）已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1Sn+n2，则下列选项中正确的是（）Aan+an+12n1（n2）Ban+2an2C若a10，则S1004950D若数列an单调递增，则a1的取值范围是（-14，13）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则ab= 14（5分）已知角(0，2)，tan12=sin-sin12cos+cos12，则 15（5分）设点M是椭圆C：x29+y28=1上的动点，点N是圆E：（x1）2+y21上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最

6、小值是 16（5分）若x0，2，使不等式（e1）lnaaelx+e（x1）x成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知等差数列an各项均为正数，公差d3，若分别从右表第一、二、三行中各取一个数，依次作为a3，a4，a5，且a3，a4，a5中任何两个数都不在同一列第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129（）求数列an的通项公式；（）设bn=8(an+1)(an+1+3)，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn3218（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知3

7、acosCasinC=3b（）求角A的大小；（）若a2，求BC边上的中线AD长度的最小值19（12分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(

8、b+d)P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828（）根据所给数据，完成下面22列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计（）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望20（12分）如图，在梯形ABCD中，BAD为直角，ADBC，ABAD=12BC22，

9、将三角形ABD沿BD折起至PBD（）若平面PBD平面BCD，求证：PBPC；（）设E是PC的中点，若二面角EBDC为30，求二面角PBDC的大小21（12分）已知抛物线C：y22px（p0），过点T（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在B的左侧），M为线段AB的中点，当直线l斜率为1时，中点M的纵坐标为-12（）求抛物线C的方程；（）若线段AM上存在点N，使得|MA|2|MN|MT|，求点N的轨迹方程22（12分）已知函数f（x）2x-kx-（k+1）lnx，k0（）当k1时，过坐标原点O作曲线yf（x）的切线，求切线方程；（）设定义在I上的函数yh（x）在点P（x0，y0）处的切线

10、方程为yl（x），对任意xx0，若（h（x）l（x）（xx0）0在I上恒成立，则称点P为函数yh（x）的“好点”，求函数yf（x）在（0，+）上所有“好点”的横坐标（结果用k表示）2022年河北省石家庄市高考数学质检试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知xR，则“x1”是“x21”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由x210得x1或x1，则“x1”是“x210”的充分不必要条件，故选：A2（5分）已知角的终边上有一点P的坐标为（2，1），则co

11、s的值为（）A55B-55C255D-255【解答】解：角的终边上有一点P的坐标为（2，1），cos=-2(-2)2+12=-255故选：D3（5分）若复数z（1+2i）（ai）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（）A（-12，2）B（2，12）C（12，2）D（，2）（12，+）【解答】解：z（1+2i）（ai）a+2+（2a1）i，复数z在复平面内对应的点（a+2，2a1），位于第四象限，a+202a-10，解得2a12，故实数a的取值范围为（2，12）故选：B4（5分）函数f（x）=x32x+2-x的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：根据题意，函数f（x）=x32x

12、+2-x，其定义域为R，有f（x）=-x32x+2-x=-f（x），函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，当x+时，f（x）0，排除C，故选：A5（5分）与直线x+2y+10垂直，且与圆x2+y25相切的直线方程是（）A2x+y+5=0或2x+y-5=0B2x+y+50或2x+y50C2xy+5=0或2xy-5=0D2xy+50或2xy50【解答】解：所求直线与直线x+2y+10垂直，所求直线斜率k=-1-12=2，可设所求直线方程为y2x+b，直线y2x+b与圆x2+y25相切，圆心到直线的距离d=|20-0+b|22+(-1)2=5，解得b5，故所求直线方程为2xy+50或2

13、xy50故选：D6（5分）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字：比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒若用8根火柴棒以适当的方式全部放入的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（）A8B12C16D20【解答】解：由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位

14、数个数为：C21C21A22+C21C31A22=20故选：D7（5分）九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是算经十书中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知在“堑堵”ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA1=6，动点M在“堑堵”的侧面BCC1B1上运动，且AM2，则MAB的最大值为（）A4B512C2D3【解答】解：因为直棱柱ABCA1B1C1，作AOBC于O，所以AO平面BCC1，所以AOM为直角三角形，又因为ABAC，ABACAA1=

15、6，所以O为BC的中点，且ABC是等腰直角三角形，所以AO=3，动点M在侧面BCC1B1上运动，且AM2，则M在以A为球心，半径为2的球面上，结合AO平面BCC1，则M在以O为圆心，半径为MO=AM2-AO2=1的圆上，如图所示，直径为PQ，所以PMQ90，PMBPMQ90，所以BMPB，又AM2，AB=6，则当BM取最大值BP时BAM最大，此时BP=23-(3-1)=3+1，所以cosBAP=AB2+AP2-PB22APAB=6-24=cos512故选：B8（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0），过原点O的直线交C于A、B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B

16、）满足BABP=0，直线PA交x轴于点D，若ADOAOD，则双曲线C的离心率为（）A2B2C3D3【解答】解：由题意设A（x0，y0），B（x0，y0），（x00），P（x1，y1），则x02a2-y02b2=1x12a2-y12b2=1，两式相减得x12-x02a2=y12-y02b2，(x1+x0)(x1-x0)(y1+y0)(y1-y0)=a2b2，kAP=y1+y0x1+x0，kBP=y1-y0x1-x0，kAPkBP=a2b2，BABP=0，ABBP，kAPtan（ADO），kBPtan（2-AOD），tan（ADO）tan（2-AOD）=a2b2，tanADO（-1tanADO）=

17、a2b2，ADOAOD，a2b2=1，b2a2，c2b2+a22a2，e=ca=2，故双曲线C的离心率为2故选：A二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）正态分布N（1，2）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）A12-P（X0）B12-P（X2）C12P（X2）-12P（X0）D12-P（1X2）【解答】解：正态分布N（1，2）的正态密度曲线关于直线x1对称，对于A，由对称性可得，P（0X1）P（X1）P（X0）=12-P（X0），故A正确，对于

18、B，由对称性可得，P（X0）P（X2），故P（0X1）=12-P(X0)=12-P(X2)，故B正确，对于C，由对称性可得，P（0X1）P（1X2），P（0X1）=12P(X2)-P(X0)，故C正确，对于D，由对称性可得，12-P(1X2)=P(X0)=P(X2)，故D错误故选：ABC（多选）10（5分）已知a、b分别是方程2x+x0，3x+x0的两个实数根，则下列选项中正确的是（）A1ba0B1ab0Cb3aa3bDa2bb2a【解答】解：函数y2x，y3x，yx在同一坐标系中的图象如下：所以1ab0，所以2a2b，3a3b，0ba，所以b2a（a）2b，b3a（a）3b，所以a2bb2a

19、，a3bb3a，故选：BD（多选）11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是棱A1D1、AB的中点，则下列选项中正确的是（）AMCDNBA1C1平面MNCC异面直线MD与NC所成的角的余弦值为15D平面MNC截正方体所得的截面是五边形【解答】解：以点D为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则M（1，0，2），C（0，2，0），N（2，1，0），D（0，0，0），A（2，0，0）因为MC=（1，2，2），DN=（2，1，0），MCDN=（2）+20，所以MCDN，故A正确；因为MC=（1，2，2），MN=（1，1，2），设平面MNC的法向量为n=（x，y，z），所

20、以由MCn=0，MNn=0可得-x+2y-2z=0x+y-2z=0，所以可取n=（2，4，3），因为AC=（2，2，0），ACn=-4+880，所以A1C1不与平面MNC平行，故B错误；因为DM=（1，0，2），NC=（2，1，0），所以cos（DM，NC）=-255=-25，所以异面直线MD与NC所成的角的余弦值为25，故C错误；连接CN，在D1C1上取靠近D的四等分点为Q，则MQCN，连接CQ，在AA1上取靠近A1的三等分点为P，则NPCQ，所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故D正确，故选：AD（多选）12（5分）已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1Sn+n2，则下列

21、选项中正确的是（）Aan+an+12n1（n2）Ban+2an2C若a10，则S1004950D若数列an单调递增，则a1的取值范围是（-14，13）【解答】解：对于A，因为 Sn+1=-Sn+n2，当n2，Sn=-Sn-1+(n-1)2，两式相减得：an+an+12n1（n2），所以A正确对于B，因为an+an+12n1（n2），所以an+1+an+22（n+1）12n+1，两式相减得：an+2an2（n2），所以B不正确对于C，Sn+1=-Sn+n2，令n1，则S2S1+1，a1+a2a1+1，因为a10，所以a21，令n2，则S3S2+4，a1+a2+a3a1a2+4，所以a32因为an

22、+2an2（n2），而a3a12，所以an+2an2所以an奇数项是以a10为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a21为首项，2为公差的等差数列，则：S100a1+a2+a3+a99+a100（a1+a3+a99）+（a2+a4+a100）=(500+504922)+(501+504922)=4950，所以C正确对于D，Sn+1=-Sn+n2，令n1，则S2S1+1，a1+a2a1+1，则a22a1+1，又因为an+1+an+22n+1，令n1，则a2+a33，所以a33a23（2a1+1）2a1+2，同理：a45a35（2a1+2）2a1+3，a57a47（2a1+3）2a1+4，因为数列

23、an单调递增，所以a1a2a3a4an，解a1a2得：a113，解a2a3得：a1-14，解a3a4得：a114，解a4a5得：a1-14，解a5a6得：a114，所以a1的取值范围是(-14，14)，所以D不正确故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则ab=5【解答】解：将a，b平移至同一起点O且a=OA，b=OB，并构建如下图的直角坐标系，所以a=(-1，2)，b=(-1，-3)，故ab=(-1)(-1)+2(-3)=-5，故答案为：514（5分）已知角(0，2)，tan12=sin-sin12cos+co

24、s12，则4【解答】解：因为tan12=sin12cos12=sin-sin12cos+cos12，所以sin12（cos+cos12）cos12（sinsin12），所以sin12cos+sin12cos12=cos12sincos12sin12，所以sin12cos12+cos12sin12=cos12sinsin12cos，所以sin6=sin（-12），因为(0，2)，所以-12（-12，512），所以6=-12，则=12+6=4故答案为：415（5分）设点M是椭圆C：x29+y28=1上的动点，点N是圆E：（x1）2+y21上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是 3【解

25、答】解：由题可知E（1，0），|NE|1，设M(x0，y0)，x029+y028=1y02=8(1-x029)，-3x03，则|MN|=|ME|2-|NE|2=|ME|2-1=(x0-1)2+y02-1=x02-2x0+8(1-x029)=x029-2x0+8=x02-18x0+723=(x0-9)2-93，当x03时，|MN|min=36-93=3故答案为：316（5分）若x0，2，使不等式（e1）lnaaelx+e（x1）x成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是 1e，e2【解答】解：由题aelxelna+1x，原式变形：elnalnaelna+1x+exex，移项且两边同时加

26、1得e（lna+1x）+1elna+1x+lna+1x，令lna+1xt，原式可得et+1et+t，令f（t）et+t，g（t）et+1，因为g（0）f（0）1，g（1）f（1）e+1，由下图图像可知，当f（x）g（x）时，可得t0，1，故0lna+1x1，所以x1lnax，因为题目中为存在性命题，且x0，2，所以1lna2，解得1eae2，即实数a的取值范围是1e，e2故答案为：1e，e2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知等差数列an各项均为正数，公差d3，若分别从右表第一、二、三行中各取一个数，依次作为a3，a4，a5，且a3，a4

27、，a5中任何两个数都不在同一列第一列第二列第三列第一行356第二行748第三行11129（）求数列an的通项公式；（）设bn=8(an+1)(an+1+3)，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn32【解答】解：（）由题意，易知a35，a47，a59，则da4a3752，a1a32d541，所以an1+2（n1）2n1（nN*）；（）证明：bn=82n(2n+4)=2n(n+2)=1n-1n+2，所以Tn1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=1+12-1n+1-1n+2=32-2n+3(n+1)(n+2)，由于nN*，故Tn=32-2n+3(n+1)(n+2)32

28、18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知3acosCasinC=3b（）求角A的大小；（）若a2，求BC边上的中线AD长度的最小值【解答】解：（I）3acosCasinC=3b，由正弦定理可得，3sinAcosC-sinAsinC=3sinB，A+B+C，3sinAcosC-sinAsinC=3sin(A+C)=3(sinAcosC+cosAsinC)，-sinAsinC=3cosAsinC，sinC0，tanA=-3，A（0，），A=23（II）在ABC中，由余弦定理可得，a2b2+c22bccos120，则4b2+c2+bc，AD为BC边上的中线，AD=12(AB

29、+AC)，|AD|2=AD2=14(AB+AC)2=14(c2+b2-bc)，由得，b2+c24bc，代入得，|AD|2=1-12bc，由得4bcb2+c22bc，解得bc43，当且仅当bc=233时，等号成立，代入可得，|AD|2=1-12bc13，故AD33，即AD长度的最小值为3319（12分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分

30、层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828（）根据所给数据，完成下面22列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计（）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成

31、绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望【解答】解：（I）由题可得，22列联表如下： 达标 不达标 合计 男生 1080 120 1200 女生 840 120 960 合计 1920 2402160K2=2160(1080120-840120)219202409601200=3.3753.841，没有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关（II）由题意可得，男生体质测试优良率P1=100+200100+200+780+120=14，女生体质测试优良率P2=120+200120+200+520+120=13，

32、X所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X0）=(1-14)2(1-13)2=14，P（X1）=C21(14)34(1-13)2+(34)2C21(13)(1-13)=512，P（X3）=(14)2C21(13)(1-13)+C21(14)(1-14)(13)2=572，P（X4）=(14)2(13)2=1144，P（X2）1P（X0）P（X1）P（X3）P（X4）=37144，故X的分布列为：X 0 1 2 3 4P 14 512 37144 5721144 故E（X）=014+1512+371442+3572+11444=7620（12分）如图，在梯形ABCD中，BAD为直角，ADBC，A

33、BAD=12BC22，将三角形ABD沿BD折起至PBD（）若平面PBD平面BCD，求证：PBPC；（）设E是PC的中点，若二面角EBDC为30，求二面角PBDC的大小【解答】（1）证明：由题设知：PBD为等腰直角三角形且PBPD，PBPD=22，则BD4，又DBC45，BC=42，在BCD中由余弦定理得：CD4，所以BD2+CD2BC2，即BDCD，法一：又面PBD面BCD，面PBD面BCDBD，CD面BCD，所以CD平面PBD，PB面PBD，则CDPB，又PDCDD，所以PB面PCD，PC面PCD，则PBPC法二：取BD中点Q，连接CQ，在RtCDQ中CQ2DQ2+CD220，连接PQ，则P

34、Q2且PQBD，又面PBD面BCD，面PBD面BCDBD，PQ面PBD，所以PQ面BCD，CQ面BCD，则PQCQ，在RtPQC中PC2PQ2+CD224，又BC232，所以，在PBC中BC2PB2+PC2，即PBPC（2）解：法一：设M、N分别是BD、BC的中点，连接PM、MN，则PMBD，MNBD，又PMMNM，则BD面PMN，所以PMN是二面角PBDC的平面角在面PMN上过M作MzMN，如图以M为原点，直线MB为x轴，直线MN为y轴，直线Mz为z轴，建立空间直角坐标系则B（2，0，0），C（2，4，0），D（2，0，0），设PMN，（0，），则P（0，2cos，2sin），E（1，cos

35、+2，sin），故BE=(-3，cos+2，sin)，DB=(4，0，0)设面BDE的法向量为n=(x，y，z)，则nBE=-3x+(cos+2)y+sinz=0nDB=4x=0，取ysin，得n=(0，sin，-cos+2)显然平面BCD的一个法向量为n1=(0，0，1)因为，二面角EBDC为30，则|cosn，n1|=|nn1|n|n1|=|2+cossin2+(2+cos)2|=32，整理得4cos2+4cos+10，解得cos=-12，所以=23，所以，二面角PBDC的大小为23法二：由（1）法二：PQBD，取BC中点F，连接QF，则QFCD且QF=12CD2，所以QFBD，又PQQF

36、Q，则BD面PQF，则PQF为二面角PBDC的平面角，连接PF交BE于M，连接QM，且QM平面PQF，所以BDQM，则MQF为二面角EBDC的平面角，且MQF30，易知：M是PBC的重心，则FMPM=12，即SQFMSQPM=12QFQMsin3012QPQMsinPQM=12，所以PQM90，故PQF120，即二面角PBDC的大小是12021（12分）已知抛物线C：y22px（p0），过点T（1，1）的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在B的左侧），M为线段AB的中点，当直线l斜率为1时，中点M的纵坐标为-12（）求抛物线C的方程；（）若线段AM上存在点N，使得|MA|2|MN|MT|，求点

37、N的轨迹方程【解答】解：（）由题意可得直线l的方程为y1（x+1），即xy，联立x=-yy2=2px，可得y22py，解得y0或2p，则M的纵坐标为12（02p）p=-12，解得p=12，所以抛物线C的方程为y2x；（）设直线l的方程为x+1m（y1），联立y2=xx=my-m-1可得y2my+m+10，m24（1+m）0，解得m22+2或m222，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2m，y1y21+m，因为|MA|2|MN|MT|，且yTy1yNyM，所以（1+m2）（y1yM）2=1+m2（yNyM）1+m2（1yM），即yN=y12-2y1yM+yM1-yM，yM=12（y

38、1+y2）=12m，所以yN=12(y1+y2)-y1y21-12(y1+y2)=m+2m-2，又xNm（yN1）1，消去参数m，可得xN2yN+1，故N的轨迹方程为x2y10其中1-2y122（12分）已知函数f（x）2x-kx-（k+1）lnx，k0（）当k1时，过坐标原点O作曲线yf（x）的切线，求切线方程；（）设定义在I上的函数yh（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为yl（x），对任意xx0，若（h（x）l（x）（xx0）0在I上恒成立，则称点P为函数yh（x）的“好点”，求函数yf（x）在（0，+）上所有“好点”的横坐标（结果用k表示）【解答】解：（1）当k1时，f(x)=2x-

39、1x-2lnx，f(x)=2+1x2-2x，设切点坐标为（x0，f（x0），则切线方程为y=(2+1x02-2x0)(x-x0)+2x0-1x0-2lnx0，因为切线过原点，代入原点坐标可得-1x0-lnx0+1=0，令g(x)=-1x-lnx+1，则g(x)=1x2-1x=1-xx2，当x（0，1）时，g（x）0，即g（x）在x（0，1）上单调递增，当x（1，+）时，g（x）0，即g（x）在x（1，+）上单调递减，所以g（x）g（1）0，且当x1时，g（1）0，所以-1x0-lnx0+1=0的解唯一，即x01，所以切点坐标为（1，1），切线斜率为kf（1）1，所以切线方程为yx（）设点P（x

40、0，y0）是函数yf（x）上一点，且在点P（x0，y0）处的切线为yl（x），则l(x)=(2+kx02-k+1x0)(x-x0)+2x0-kx0-(k+1)lnx0，令F（x）f（x）l（x），所以F（x0）f（x0）l（x0）0，F(x)=f(x)-l(x)=(2+kx2-k+1x)-(2+kx02-k+1x0)=k(1x2-1x02)-(k+1)(1x-1x0) =k(1x-1x0)(1x-(k+1)x0-kkx0)=(x-x0)(k+1)x0-k)x-kx0x2x02，k0当（k+1）x0k0，即x0kk+1时，（k+1）x0k）xkx00，则x（x0，+）时，F（x）0，所以F（x）

41、在x（x0，+）单调递减，故F（x）F（x0）0，即f（x）l（x），不满足（f（x）l（x）（xx0）0，所以x0kk+1时，P（x0，y0）不是函数yf（x）在（0+）上的好点当（k+1）x0k0，即x0kk+1时，F(x)=(k+1)x0-k)(x-x0)x-kx0(k+1)x0-kx2x02i）若x0kx0(k+1)x0-k，即x02kk+1，当x(x0，kx0(k+1)x0-k)时，F（x）0，所以F（x）在x(x0，kx0(k+1)x0-k)单调递减，F（x）F（x0）0，不满足（f（x）l（x）（xx0）0，所以当kk+1x02kk+1时，P（x0，y0）不是函数yf（x）在（0+）上的好点ii）x0kx0(k+1)x0-k，即x02kk+1，当x(kx0(k+1)x0-k，x0)时，F（x）0，所以