2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数z在复平面内对应的点为（1，2），则5z=（）A1+2iB12iC12iD2+i2（5分）已知集合Ax|x25x60，Bx|4x4，则AB（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|1x4Dx|4x13（5分）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A1：1B1：2C2：1D2：34（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A（1，3）在角的终边上，则sin2（）A310B35C-310D-35

2、5（5分）已知向量a=(2，1)，|b|=10，|a-b|=5，则a与b的夹角为（）A45B60C120D1356（5分）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AFx轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|AF|，则C的离心率e（）A41515B233C52D27（5分）已知函数f（x）x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，则b（）A3B1C1D38（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2（V1V2），则V1V2=（）A519B13C717D12二、选

3、择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）正态分布N（1，2）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）A12-P（X0）B12-P（X2）C12P（X2）-12P（X0）D12-P（1X2）（多选）10（5分）已知a、b分别是方程2x+x0，3x+x0的两个实数根，则下列选项中正确的是（）A1ba0B1ab0Cb3aa3bDa2bb2a（多选）11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是棱A1D1、AB的中点，则下列选项中正确的是（）A

4、MCDNBA1C1平面MNCC异面直线MD与NC所成的角的余弦值为15D平面MNC截正方体所得的截面是五边形（多选）12（5分）已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1Sn+n2，则下列选项中正确的是（）Aan+an+12n1（n2）Ban+2an2C若a10，则S1004950D若数列an单调递增，则a1的取值范围是（-14，13）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）ln（ax）若f（e2）2，则a 14（5分）已知向量a=（1，-7），|b|3，ab=36，则a与b的夹角为 15（5分）函数f(x

5、)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为 16（5分）若函数ytan（x+4）在-3，3上单调递减，且在-3，3上的最大值为3，则 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程17（10分）已知数列an1是递增的等比数列，a25且a3+a426（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Sn18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知BAC60，a=23（1）若C45，求b；（2）若D为BC的中点，且AD=5，求ABC的面积19（12分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研

6、结果根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780120女生120200520120附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828（）根据所给数据，完成下面22列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有

7、关（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计（）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及数学期望20（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点CBA30，AB2PA（1）证明：平面ABD平面PBC（2）若G为AD的中点，求二面角PBCG的余弦值21（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2c，左、右焦点分

8、别是F1，F2，其离心率为32，圆F1：(x+c)2+y2=1与圆F2：(x-c)2+y2=9相交，两圆交点在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为2，证明：直线l过定点22（12分）已知函数f（x）lnx+2，g（x）=1ae2x-ln2a（a0）（1）设函数h（x）f（x+1）x2，求h（x）的最大值；（2）证明：f（x）g（x）2022年河北省保定市七校高考数学第一次考试试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复

9、数z在复平面内对应的点为（1，2），则5z=（）A1+2iB12iC12iD2+i【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（1，2），5z=5-1+2i=5(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)=5(-1-2i)5=-12i，故选：B2（5分）已知集合Ax|x25x60，Bx|4x4，则AB（）Ax|2x3Bx|3x2Cx|1x4Dx|4x1【解答】解：集合Ax|x25x60x|1x6，Bx|4x4，ABx|1x4故选：C3（5分）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A1：1B1：2C2：1D2：3【解答】解：设圆柱的底面直径和高都为2R，故球的表面积为S

10、球=4R2，圆柱的侧面积为S侧=2R2R=4R2，故S球：S侧1：1故选：A4（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A（1，3）在角的终边上，则sin2（）A310B35C-310D-35【解答】解：点A（1，3）在角的终边上，|OA|=(-1)2+32=10，则sin=310=31010，cos=-110=-1010，sin22sincos231010(-1010)=-35故选：D5（5分）已知向量a=(2，1)，|b|=10，|a-b|=5，则a与b的夹角为（）A45B60C120D135【解答】解：根据题意，设a与b的夹角为，向量a=(2，1)，则|a|=4+1=5

11、，又由|a-b|=5，则a22ab+b215102cos25，解可得cos=-22，又由0180，则135，故选：D6（5分）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AFx轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|AF|，则C的离心率e（）A41515B233C52D2【解答】解：由题意得F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=bax，由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限点，当xc时，c2a2-y2b2=1，得y=b2a，所以|AF|=b2a，当xc时，y=bca，所以|BF|=bca，因为|AB|AF|，所以|BF|2|AF|，所以bca

12、=2b2a，得c2b，所以a=c2-b2=3b，所以双曲线的离心率为e=ca=2b3b=233，故选：B7（5分）已知函数f（x）x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，则b（）A3B1C1D3【解答】解：由函数f（x）x3+ax2+x+b的图象关于点（1，0）对称，可得f（1+x）+f（1x）0，即（1+x）3+a（1+x）2+（1+x）+b+（1x）3+a（1x）2+（1x）+b0，即1+3x+3x2+x3+a+ax2+2ax+1+x+b+13x+3x2x3+a+ax22ax+1x+b0，化为（6+2a）x2+（4+2a+2b）0，可得6+2a0，且4+2a+2b0，解得a3，b1

13、，故选：C8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，平面A1DM将该正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2（V1V2），则V1V2=（）A519B13C717D12【解答】解：如图，取BC的中点N，连接MN，ND，B1C，因为M为棱BB1的中点，所以MNB1C，MN=12B1C，因为A1B1CD，A1B1CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以B1CA1D，B1CA1D，所以MNA1D，MN=12A1D，所以梯形MNDA1 为平面A1DM所在的截面，则V1为三棱台BMNAA1D的体积，不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为SBMN=1211=12，SA

14、A1D=1222=2，所以V1=13(SBMN+SAA1D+SBMNSAA1D)AB=13(12+2+1)2=73，所以V2=8-V1=8-73=173，所以V1V2=717，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）正态分布N（1，2）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）A12-P（X0）B12-P（X2）C12P（X2）-12P（X0）D12-P（1X2）【解答】解：正态分布N（1，2）的正态密度曲线关于直线x1对称，对于A，由对称

15、性可得，P（0X1）P（X1）P（X0）=12-P（X0），故A正确，对于B，由对称性可得，P（X0）P（X2），故P（0X1）=12-P(X0)=12-P(X2)，故B正确，对于C，由对称性可得，P（0X1）P（1X2），P（0X1）=12P(X2)-P(X0)，故C正确，对于D，由对称性可得，12-P(1X2)=P(X0)=P(X2)，故D错误故选：ABC（多选）10（5分）已知a、b分别是方程2x+x0，3x+x0的两个实数根，则下列选项中正确的是（）A1ba0B1ab0Cb3aa3bDa2bb2a【解答】解：函数y2x，y3x，yx在同一坐标系中的图象如下：所以1ab0，所以2a2b，

16、3a3b，0ba，所以b2a（a）2b，b3a（a）3b，所以a2bb2a，a3bb3a，故选：BD（多选）11（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N分别是棱A1D1、AB的中点，则下列选项中正确的是（）AMCDNBA1C1平面MNCC异面直线MD与NC所成的角的余弦值为15D平面MNC截正方体所得的截面是五边形【解答】解：以点D为原点如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则M（1，0，2），C（0，2，0），N（2，1，0），D（0，0，0），A（2，0，0）因为MC=（1，2，2），DN=（2，1，0），MCDN=（2）+20，所以MCDN，故A正确；因为MC=（1，2

17、，2），MN=（1，1，2），设平面MNC的法向量为n=（x，y，z），所以由MCn=0，MNn=0可得-x+2y-2z=0x+y-2z=0，所以可取n=（2，4，3），因为AC=（2，2，0），ACn=-4+880，所以A1C1不与平面MNC平行，故B错误；因为DM=（1，0，2），NC=（2，1，0），所以cos（DM，NC）=-255=-25，所以异面直线MD与NC所成的角的余弦值为25，故C错误；连接CN，在D1C1上取靠近D的四等分点为Q，则MQCN，连接CQ，在AA1上取靠近A1的三等分点为P，则NPCQ，所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故D正确，故选：AD（多

18、选）12（5分）已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1Sn+n2，则下列选项中正确的是（）Aan+an+12n1（n2）Ban+2an2C若a10，则S1004950D若数列an单调递增，则a1的取值范围是（-14，13）【解答】解：对于A，因为 Sn+1=-Sn+n2，当n2，Sn=-Sn-1+(n-1)2，两式相减得：an+an+12n1（n2），所以A正确对于B，因为an+an+12n1（n2），所以an+1+an+22（n+1）12n+1，两式相减得：an+2an2（n2），所以B不正确对于C，Sn+1=-Sn+n2，令n1，则S2S1+1，a1+a2a1+1，因为a10，所以a21

19、，令n2，则S3S2+4，a1+a2+a3a1a2+4，所以a32因为an+2an2（n2），而a3a12，所以an+2an2所以an奇数项是以a10为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以a21为首项，2为公差的等差数列，则：S100a1+a2+a3+a99+a100（a1+a3+a99）+（a2+a4+a100）=(500+504922)+(501+504922)=4950，所以C正确对于D，Sn+1=-Sn+n2，令n1，则S2S1+1，a1+a2a1+1，则a22a1+1，又因为an+1+an+22n+1，令n1，则a2+a33，所以a33a23（2a1+1）2a1+2，同理：a45a3

20、5（2a1+2）2a1+3，a57a47（2a1+3）2a1+4，因为数列an单调递增，所以a1a2a3a4an，解a1a2得：a113，解a2a3得：a1-14，解a3a4得：a114，解a4a5得：a1-14，解a5a6得：a114，所以a1的取值范围是(-14，14)，所以D不正确故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）ln（ax）若f（e2）2，则a1【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数，且f（e2）2，则f（e2）f（e2）2，又由当x0时，f（x）ln（ax），则有f（e2）ln（

21、ae2）2，解可得a1，故答案为：114（5分）已知向量a=（1，-7），|b|3，ab=36，则a与b的夹角为 6【解答】解：因为a=（1，-7），|a|=1+7=22，又因为|b|3，ab=36，所以cosa，b=ab|a|b|=36223=32，a，b0，所以a，b=6，故答案为：615（5分）函数f(x)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为 3【解答】解：由f(x)=-x2+1x，得f(x)=-2x-1x2，f（1）2113即函数f(x)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为3故答案为：316（5分）若函数ytan（x+4）在-3，3上单调递减，且在-

22、3，3上的最大值为3，则-14【解答】解：因为函数ytan（x+4）在-3，3上单调递减，所以0，且T=-23，解得-32，即-320，又因为ytan（x+4）在-3，3上的最大值为3，所以tan（-3+4）=3，即3-4=-3+k，kZ，解得=-14+3k，kZ；所以k0时，=-14故答案为：-14四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程17（10分）已知数列an1是递增的等比数列，a25且a3+a426（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Sn【解答】解：（1）由于数列an1是递增的等比数列，所以(a3-1)2=(a2-1)(a4-1)；由于a25

23、且a3+a426，故(a3-1)2=4(a4-1)a3+a4=26，解得a3=9a4=17；整理得公比q=a4-1a3-1=2，所以a112，故a13；所以an-1=(a1-1)2n-1，整理得an=2n+1；（2）由（1）得：nan=n2n+n；所以Tn=12+222+323+.+n2n，2Tn=122+223+324+.+n2n+1，得：-Tn=(21+22+.+2n)-n2n+1，整理得Tn=(n-1)2n+1+2，所以Sn=Tn+(1+2+.+n)=(n-1)2n+1+n22+n2+218（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知BAC60，a=23（1）若C45，求

24、b；（2）若D为BC的中点，且AD=5，求ABC的面积【解答】解：（1）因为C45，所以sinBsin（BAC+C）sin（60+45）sin60cos45+cos60sin45=22（32+12）=6+24，在ABC中，由正弦定理得，asinBAC=bsinB，所以b=asinBsinBAC=236+2432=6+2（2）在ABC中，由余弦定理得，a2b2+c22bccosBAC，所以12b2+c22bc12，即b2+c2bc12，因为D为BC的中点，所以BD=CD=3，在ABD中，由余弦定理得，cosADB=BD2+AD2-AB22BDAD=8-c2215，在ACD中，由余弦定理得，cos

25、ADC=CD2+AD2-AC22CDAD=8-b2215，由cosADB+cosADC0，得b2+c216，联立可得，bc4，所以ABC的面积S=12bcsinBAC=12432=319（12分）2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果根据调研结果数据显示，我国大中小学生的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：优秀良好及格不及格男生100200780

26、120女生120200520120附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828（）根据所给数据，完成下面22列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计（）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为X，求X的分布列及

27、数学期望【解答】解：（I）由题可得，22列联表如下： 达标 不达标 合计 男生 1080 120 1200 女生 840 120 960 合计 1920 2402160K2=2160(1080120-840120)219202409601200=3.3753.841，没有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关（II）由题意可得，男生体质测试优良率P1=100+200100+200+780+120=14，女生体质测试优良率P2=120+200120+200+520+120=13，X所有可能取值为0，1，2，3，4，P（X0）=(1-14)2(1-13)2=14，P（X1）=C21(1

28、4)34(1-13)2+(34)2C21(13)(1-13)=512，P（X3）=(14)2C21(13)(1-13)+C21(14)(1-14)(13)2=572，P（X4）=(14)2(13)2=1144，P（X2）1P（X0）P（X1）P（X3）P（X4）=37144，故X的分布列为：X 0 1 2 3 4P 14 512 37144 5721144 故E（X）=014+1512+371442+3572+11444=7620（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点CBA30，AB2PA（1）证明：平面ABD平面PBC（2）若G为AD的中点，

29、求二面角PBCG的余弦值【解答】（1）证明：因为PA圆O所在的平面，所以PABC，因为C为圆周上一点，AB是圆O的直径，所以BCAC，因为PAACA，所以BC平面PAC，因为AD平面PAC，所以BCAD，因为CBA30，所以AB2AC，又因为AB2PA，所以ACAP，因为D为PC中点，所以ADPC，又因为PCBCC，所以AD平面PBC，因为AD平面ABD，所以平面ABD平面PBC（2）解：不妨设OAa，则PAACa，PDDCAD=22a，所以DG=24a，由（1）知BC平面PAC，所以PCBC，GCBC，所以GCP是二面角PBCG的平面角，tanGCP=GDDC=2a42a2=12，二面角PB

30、CG的余弦值为11+(12)2=25521（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2c，左、右焦点分别是F1，F2，其离心率为32，圆F1：(x+c)2+y2=1与圆F2：(x-c)2+y2=9相交，两圆交点在椭圆E上（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l不经过P（0，1）点且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为2，证明：直线l过定点【解答】解：（1）由题意，得e=ca=32，2a=1+3，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=3，所以椭圆E的方程为x24+y2=1；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线l：xt，由题可知t0，且|t|2，设A(t

31、，4-t22)，B(t，-4-t22)，因为直线PA，PB的斜率之和为2，所以4-t22-1t+-4-t22-1t=-2，化简得t1，所以直线l的方程为x1当直线AB的斜率存在时，设AB方程为ykx+m（m1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立x24+y2=1y=kx+m，消去y，化简得（4k2+1）x2+8kmx+4m240所以x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，由题意，可得16（4k2m2+1）0，因为直线PA，PB的斜率之和为2，所以y1-1x1+y2-1x2=-2，即kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=-2，所以2kx1x2+(m-1)(x1+x

32、2)x1x2=-2，所以（2k+2）x1x2+（m1）（x1+x2）0，所以(2k+2)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0(m1)，化简整理得km1，当且仅当164（m+1）2m2+116（3m2+8m+5）0时，所以直线AB的方程y（m1）x+m，即y+1（m1）（x1）故直线l过定点（1，1）综上可得直线l过定点（1，1）22（12分）已知函数f（x）lnx+2，g（x）=1ae2x-ln2a（a0）（1）设函数h（x）f（x+1）x2，求h（x）的最大值；（2）证明：f（x）g（x）【解答】解：（1）h（x）ln（x+1）+2x2ln（x+1）x（x1），h（x）=1

33、x+1-1=-xx+1（x1），当x（1，0）时，h（x）0，h（x）单调递增；当x（0，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）的最大值为h（0）0证明：（2）g（x）f（x）=1ae2x-ln2a-lnx2=1a（e2xaln2a-alnx2a），a0，原不等式等价于（x）e2xaln2a-alnx2a0，则（x）2e2x-ax=2xe2x-ax，令m（x）=2e2x-ax，则m（x）4e2x+ax20，（x）在（0，+）上单调递增，令t（x）2xe2xa，则t（0）a0，t（a）2ae2aaa（2e2a1）0，存在唯一x0（0，a），使得t（x0）=2x0e2x0-a=0，即（x0）=2e2x0-ax0=0，当0xx0时，（x）0，（x）单调递减；当xx0时，（x）0，（x）单调递增，要证（x）0，即要证（x0）0，于是原问题转化为证明不等式组2e2x0-ax0=0(x0)=e2x0-aln2a-alnx0-2a0，由2e2x0-ax0=0得e2x0=a2x0，两边同时取常用对数得lnx0=lna2-2x0，代入（x0）=e2x0-aln2a-alnx0-2a可得，（x0）=a2x0+2ax02a，（x0）=a2x0+2ax02a2a2x02ax0-2a0，当且仅当a2x0=2ax0即x0=12，ae时，等号成立，（x）0，即g（x）f（x）第19页（共19页）