2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检试卷（文科）（学生版+解析版）.docx

1、2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x|2，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0B0，1C1，0，1D2，1，0，1，22（5分）若zi1+i，则z的虚部为（）AiBiC1D13（5分）若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，a2b2=（）A4B1C1D44（5分）搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单

2、位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+Mm)当火箭的最大速度为11.5km/s时，Mm约等于（）（参考数据：e5.75314）A313B314C312D3115（5分）已知（0，），且sincos=15，则tan2+5sincoscos2-sin2=（）A367B12C12D-3676（5分）已知函数f(x)=exex+e-x，若f（lg（log310）a，则f（lg（lg3）（）Aea1B3a1Ce13aD1a7（5分）右图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色区域的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，

3、在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）A168cm2B214cm2C248cm2D336cm28（5分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx2y+20外，则实数m的取值范围为（）A（3，2）（2，+）B（3，2）（3，+）C（2，+）D（3，+）9（5分）已知函数f(x)=2sin(x+4)与函数g(x)=2cos(x+4)在区间-94，34上的图像交于A，B，C三点，则ABC的面积是（）A2B2C22D410（5分）“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径

4、被截得的部分为高，球冠面积S2Rh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C=210，S14时，rR=（）A107B2107C108D10411（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y24cx于点P，O为坐标原点，若OE=12（OF+OP），则双曲线的离心率为（）A1+52B52C1+32D512（5分）已知a=11111，b=e-89100，c=ln111100，则a，b，c的大小关系是（）AbacBbcaCcabDcba二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

5、20分13（5分）若实数x，y满足约束条件x-y4，x+y2，y1，则zx2y的最大值为 14（5分）设向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60，则|a+2b|= 15（5分）设Sn为数列an的前n项和，满足Sn=12n2+12n，nN+，数列bn的前n项和为Tn，满足bn=an4n3-n，则T2022 16（5分）已知P是椭圆x28+y24=1上的动点，且不在坐标轴上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上一点，且F1MMP=0，则|OM|的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考

6、生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c4，且满足acosCcsinA（1）求角C的大小；（2）若2sin(B+4)=c-23cosA，求ABC的面积18（12分）近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市20152021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图（附：年份代码17分别对应的年份是20152021）经计算得i=17 yi=259，i=17 tiyi=1178，72.65，i=17 (yi-y)2=27，i=17 (ti-t)(yi-y)=126（1）

7、用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并指出是哪一层次的相关性？（2）建立y关于t的回归方程；（3）若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？附：（）相关系数：r=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2i=1n (yi-y)2；相关系数|r|0.75，1时相关性较强，|r|（0.25，0.75）时相关性一般，|r|0，0.25时相关性较弱（）线性回归方程：y=bt+a，其中b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2，a=y-bt19（12分）如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE

8、为平行四边形，DC平面ABC，AB2，CD=2（1）证明：平面ADC平面ADE；（2）求三棱锥ACBE体积的最大值20（12分）如图，圆x2+（y3）25与抛物线x22py（p0）相交于点A，B，C，D，且ABCD（1）若抛物线的焦点为F，N为其准线上一点，O是坐标原点，OFON=-1，求抛物线的方程；（2）设AC与BD相交于点G，GAD与GBC组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为S，求点G的坐标及S的最大值21（12分）已知函数f（x）xex+a（x+lnx）（1）当a2e2时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，若函数f（x）的最小值为M，求证：M1选修4-4：坐标系与参数方程22（1

9、0分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22t，y=1-22t，（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求|AP|+|AQ|AM|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|x1|（1）求不等式f（x）0的解集；（2）若x0R，使f（x0）ax0+40，求实数a的取值范围2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第二次质检试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题

10、5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x|2，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0B0，1C1，0，1D2，1，0，1，2【解答】解：Ax|2x2，B2，1，0，1，2，AB1，0，1故选：C2（5分）若zi1+i，则z的虚部为（）AiBiC1D1【解答】解：因为zi1+i，则z=1+ii=(1+i)(-i)i(-i)=1i，所以z的虚部为1，故选：D3（5分）若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，a2b2=（）A4B1C1D4【解答】解：等差数列an的公差设为d和等比数列bn的公比设为q，由a1b11，a4b48，可得1+

11、3dq38，可得d3，q2，则a2b2=-1+3-(-2)=1，故选：C4（5分）搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭的质量m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+Mm)当火箭的最大速度为11.5km/s时，Mm约等于（）（参考数据：e5.75314）A313B314C312D311【解答】解：当火箭的最大速度为11.5km/s时，即v11.5100011500m/s，115002000ln（1+Mm），l

12、n（1+Mm）=115002000=11520=5.75，Mm=e5.7513141313，故选：A5（5分）已知（0，），且sincos=15，则tan2+5sincoscos2-sin2=（）A367B12C12D-367【解答】解：sincos=15，两边平方得sin22sincos+cos2=125，2sincos=2425，（0，），sin0，cos0，（sin+cos）21+2incos=4925，sin+cos=75，sin=45，cos=35，tan=43，则tan2+5sincoscos2-sin2=2tan1-tan2+5tan1-tan2=7tan1-tan2=7431-

13、(43)2=-12，故选：C6（5分）已知函数f(x)=exex+e-x，若f（lg（log310）a，则f（lg（lg3）（）Aea1B3a1Ce13aD1a【解答】解：函数f(x)=exex+e-x，f（x）+f（x）=exex+e-x+e-xe-x+ex=1，f（lg（log310）a，lg（log310）lg（lg3），f（lg（lg3）1f（lg（log310）1a故选：D7（5分）右图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色区域的面积，将窗花图案放置在边长为20cm的正方形内，在该正方形内随机生成1000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（）A1

14、68cm2B214cm2C248cm2D336cm2【解答】解：设此窗花图案中深色区域的面积为S，则由几何概型中的面积型可得：SS正方形=5351000，解得S214，即此窗花图案中深色区域的面积约为214cm2，故选：B8（5分）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx2y+20外，则实数m的取值范围为（）A（3，2）（2，+）B（3，2）（3，+）C（2，+）D（3，+）【解答】解：圆C：x2+y2+mx2y+20，方程可化为（x+m2）2+（y1）2=m24-1，m24-10，m2或m2，点A（1，2）在圆C外，(1+m2)2+(2-1)2m24-1，解得m3，3m2或m2，m的取值范

15、围为（3，2）（2，+）故选：A9（5分）已知函数f(x)=2sin(x+4)与函数g(x)=2cos(x+4)在区间-94，34上的图像交于A，B，C三点，则ABC的面积是（）A2B2C22D4【解答】解：函数f(x)=2sin(x+4)与函数g(x)=2cos(x+4)在区间-94，34上的图像交于A，B，C三点；根据函数的性质，T=2=2；当x0时，f（0）1，故ABC的高为2；故SABC=1222=2故选：A10（5分）“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S2Rh，其中R为球的半径，h为

16、球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C=210，S14时，rR=（）A107B2107C108D104【解答】解：如示意图，根据题意C=210=2rr=10，S=2Rh=14Rh=7，由勾股定理可得R2（Rh）2+10，联立方程，解得 h=2，R=72，于是rR=1072=2107故选：B11（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y24cx于点P，O为坐标原点，若OE=12（OF+OP），则双曲线的离心率为（）A1+52B52C1+32D5【解答】解：|OF|c，|OE|a，OEEF

17、，|EF|=c2-a2=b，OE=12（OF+OP），E为PF的中点，|OP|OF|c，|PF|2b，设F（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF的中位线，则|PF|2|OE|2a，可令P的坐标为（m，n），则有n24cm，由抛物线的定义可得|PF|m+c2a，m2ac，n24c（2ac），又|OP|c，即有c2（2ac）2+4c（2ac），化简可得，c2aca20，由于e=ca，则有e2e10，由于e1，解得，e=5+12故选：A12（5分）已知a=11111，b=e-89100，c=ln111100，则a，b，c的大小关系是（）AbacBbcaCcabDcba【解

18、答】解：记f（x）exx1，则f（x）ex1，令f（x）0，解得x0，令f（x）0，得x0，f（x）exx1在（，0）单调减，在（0，+）单调增，f（x）f（0）0，即exx+1，当x=-89100时，有e-89100-89100+1=1110011111，即ba；记g（x）lnxx+1，则g（x）=1x-1，令g（x）0，得0x1，令g（x）0，得x1，g（x）g（1）0，即lnx1x，当x=100111时，有ln100111=ln111100-100111+1=11111，即cabac故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若实数x，y满足约束条件x-y4，x+y

19、2，y1，则zx2y的最大值为 7【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立x=1x-y=4，解得A（5，1），由z2x3y，得y=23x-z3，由图可知，当直线y=23x-z3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为25317故答案为：714（5分）设向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60，则|a+2b|=23【解答】解：根据题意，|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60，则|a+2b|2=a2+4b2+4ab=12，变形可得|a+2b|=23；故答案为：2315（5分）设Sn为数列an的前n项和，满足Sn=12n2+12n，nN+，数列bn的前n项和为Tn，满足bn

20、=an4n3-n，则T202220224045【解答】解：由Sn=12n2+12n，nN+，可得a1S11，当n2时，anSnSn1=12n2+12n-12（n1）2-12（n1）n，上式对n1也成立，所以bn=an4n3-n=n4n3-n=14n2-1=12（12n-1-12n+1），所以T2022=12（1-13+13-15+.+14043-14045）=12（1-14045）=20224045故答案为：2022404516（5分）已知P是椭圆x28+y24=1上的动点，且不在坐标轴上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上一点，且F1MMP=0，则|OM

21、|的取值范围是 （0，2）【解答】解：如图所示M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，点M是底边F1N的中点，又点O是线段F1F2的中点，|OM|=12|NF2|PF1|PN|，F2NPF2F1N，|F1F2|F2N|，又P不在坐标轴上，0|OM|122cc则|OM|的取值范围是（0，2）故答案为：（0，2）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c4，且满足acosCcsinA（1）求角C的大小

22、；（2）若2sin(B+4)=c-23cosA，求ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinCsinAsinAcosC，A为三角形内角，sinA0，sinCcosC，即tanC1，由C（0，），可得C=4；（2）由（1）可知BA，因为 2sin(B+4)=c-23cosA，又BAC=34-A，可得：2sinA423cosA，即sinA+3cosA2，可得sin（A+3）1，0A34，3A+31312，A+3=2，即A=6，由正弦定理，sinA=12，c4，sinC=22，可得a=csinAsinC=22，可得sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC=122

23、2+3222=2+64，SABC=12acsinB=122242+64=2+2318（12分）近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市20152021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图（附：年份代码17分别对应的年份是20152021）经计算得i=17 yi=259，i=17 tiyi=1178，72.65，i=17 (yi-y)2=27，i=17 (ti-t)(yi-y)=126（1）用线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并指出是哪一层次的相关性？（2）建立y关于t的回归方程；（3）若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该

24、家庭教育支出约为多少万元？附：（）相关系数：r=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2i=1n (yi-y)2；相关系数|r|0.75，1时相关性较强，|r|（0.25，0.75）时相关性一般，|r|0，0.25时相关性较弱（）线性回归方程：y=bt+a，其中b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2，a=y-bt【解答】解：t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4，i=17 (ti-t)2-(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28，i=17 (ti-t)2=27，所以r=i=17 (ti-

25、t)(yi-y)i=17 (ti-t)2i=17 (yi-y)2=12627270.880.75，1，故相关性较强；（2）b=i=17 (ti-t)(yi-y)i=17 (ti-t)2=12628=4.5，a=y-bt-i=17 yi7-4.54=2597-18=19，y4.5t+19；（3）当t8时，y4.58+1955，故家庭教育支出为1055%5.5万元19（12分）如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，CD=2（1）证明：平面ADC平面ADE；（2）求三棱锥ACBE体积的最大值【解答】（1）证明：因为DC平面ABC，BC平面ABC

26、，所以DCBC，因为ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，所以BCAC，因为ACDCC，所以BC平面ADC，因为四边形DCBE为平行四边形，所以BCDE，所以DE平面ADC，因为DE平面ADE，所以平面ADC平面ADE，（2）解：因为DC平面ABC，DCBE，所以BE平面ABC，所以VA-CBE=VE-ABC=13SABCBE=23SABC，所以当SABC最大时，三棱锥ACBE体积最大，设ACx，BCy，则x2+y24所以SABC=12xyx2+y24=1，当x=y=2时等号成立，所以三棱锥ACBE体积的最大值为2320（12分）如图，圆x2+（y3）25与抛物线x22py（p0）相交于点A，B

27、，C，D，且ABCD（1）若抛物线的焦点为F，N为其准线上一点，O是坐标原点，OFON=-1，求抛物线的方程；（2）设AC与BD相交于点G，GAD与GBC组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为S，求点G的坐标及S的最大值【解答】（1）解：抛物线 x22py（p0）的焦点为F(0，p2)，设点N(t，-p2)，所以OF=(0，p2)，ON=(t，-p2)，则OFON=-p24=-1，可得p2，故抛物线的标准方程为x24y（2）解：根据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形，不妨设|AB|CD|，A、D在第一象限，设点A（x1，y1）、D（x2，y2），则B（x1，y1），C

28、（x2，y2），y1y2，联立x2+(y-3)2=5x2=2py，消去x可得y2+（2p6）y+40，则关于y的二次方程y2+（2p6）y+40有两个不等的正根，所以=(2p-6)2-160y1+y2=6-2p0y1y2=4p0，解得0p1，依据对称性，点G在y轴上，可设点G（0，m），由kAGkAC得y1-mx1=y1-y2x1+x2，所以y1-m2py1=y1-y22p(y1+y2)=y1-y22p，解得m=y1y2=2，所以点G（0，2），S=2(SABD-SABG)=2122x1(y2-y1)-122x1(2-y1)=2x1(y2-2)=22py1(y2-2) =22p(y1y22-2

29、y1)=42p(y2-y1)=42py1+y2-2y1y2 =42p(6-2p)-4=8p(1-p)4(p+1-p)=4，当且仅当p=12时，等号成立，故当p=12时，S 取得最大值421（12分）已知函数f（x）xex+a（x+lnx）（1）当a2e2时，求f（x）的单调区间；（2）当a0时，若函数f（x）的最小值为M，求证：M1【解答】（1）解：当a2e2时，f（x）xex2e2（x+lnx）f（x）的定义域是（0，+），f（x）（x+1）ex2e2（1x+1）（x+1x）（ex2e2），设（x）ex2e2，（x）（x+1）ex0，则（x）在（0，+）单调递增，且（2）0，所以当0x2时，

30、f（x）0；当x2时，f（x）0所以函数f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+）（2）证明：由（1）得f（x）的定义域是（0，+），f（x）=x+1x（xex+a），令g（x）xex+a，则g（x）（x+1）ex0，g（x）在（0，+）上单调递增，因为a0，所以g（0）a0，g（a）aea+aa+a0，故存在x0（0，a），使得g（x0）x0ex0+a0当x（0，x0）时，g（x）0，f（x）=x+1x（xex+a）0，f（x）单调递减；当x（x0，+）时，g（x）0，f（x）=x+1x（xex+a）0，f（x）单调递增；故xx0时，f（x）取得最小值，即Mf（x0）x0e

31、x0+a（lnx0+x0），由x0ex0+a0，得Mx0ex0+a（lnx0+x0）a+aln（a），令xa0，h（x）xxhnx，则h（x）1（1+lnx）lnx，当x（0，1）时，h（x）lnx0，h（x）xxlnx单调递增，当x（1，+）时，h（x）lnx0，h（x）xxlnx单调递减，故x1，即a1时，h（x）xxlnx取最大值1，所以M1选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22t，y=1-22t，（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4（1）写出直线l的普通方程和曲线C

32、的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求|AP|+|AQ|AM|的值【解答】解：（1）直线l的参数方程为x=22t，y=1-22t，（t为参数），消t，可得x+y1，故直线l的普通方程为x+y10，曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4，x2+y2+3y24，即x24+y2=1，故曲线C的直角坐标方程为x24+y2=1（2）直线l的参数方程为x=22t，y=1-22t，（t为参数），将直线l代入x24+y2=1，化简整理，可得5t2+22t-6=0，设该方程的两根为t1，t2，则t1+t2=-225，t1t2=-65，|AP|+|AQ|t1t2|

33、=(t1+t2)2-4t1t2=825，|AM|=|t1+t22|=25，|AP|+|AQ|AM|=8选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+4|x1|（1）求不等式f（x）0的解集；（2）若x0R，使f（x0）ax0+40，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当x2时，由f（x）0，得2x4+x10，解得x5，当2x1时，由f（x）0，得2x+4+x10，解得1x1，当x1时，由f（x）0，得2x+4x+10，解得x1，综上所述，不等式f（x）0的解集为（，5）（1，+）（2）x0R，使f（x0）ax0+40，函数yf（x）的图像与直线yax4有公共点，直线yax4恒过点P（0，4），又f（x）=-x-5，x-23x+3，-2x1x+5，x1图象的最低点为（2，3），直线PA的斜率kPA=-4-(-3)0-(-2)=-12，由图象可知，当a-12或a1时，函数yf（x）的图象与直线yax4有公共点，故实数a的取值范围为（，-12（1，+）第20页（共20页）