河南省顶级名校2022届高三年级4月联合考试数学（文）答案.pdf

1、文科数学参考答案第 1页（共 8页）绝密启用前绝密启用前文科数学参考答案1 【答案】B【命题意图】考查集合的表示法，集合的基本运算考查数学运算数学核心素养【解析】集合 |(1)(5)0 | 15Bxxxxx，(1,5AB 2 【答案】A【命题意图】考查复数的基本概念，复数代数运算考查数学运算数学核心素养【解析】由条件得，2222i22i1i111 i(1 i)2iiiz ，1 iz ，z z( 1 i)( 1 i)2 3 【答案】C【命题意图】考查充要条件考查逻辑推理数学核心素养【解析】一方面，bca，abc，acb，abc，a，b，c能为一个三角形三边长另一方面，a，b，c是某三角形三边长，

2、则有bca所以“bca”是“a，b，c为某三角形三边长”的充要条件4 【答案】C【命题意图】考查茎叶图，频率分布直方图，数据处理，信息识别，数学应用，数学阅读能力考查数学运算，数据分析等数学核心素养【解析】由频率分布直方图知，乙样本的平均数与中位数都在区间70,80)的中点值75的左侧，在对应乙样本的区间段甲样本的数据都位于每个区间中点值的右侧，A 与 B 都是错误的甲样本的众数是79，从频率分布直方图来看，乙样本的众数是75，C 正确不低于80的数据个数，甲乙都是5，D 错误5 【答案】C【命题意图】考查切线，导数考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】直线eeyx的斜率为e，且经过点(

3、1,0)，A，B，D 均不与直线eeyx相切对于C，1e (ln )xyxx ，当1x 时，ey ，且点(1,0)既在直线上，又在曲线上，所以 C 正确6 【答案】 D【命题意图】考查函数性质，导数，极值点考查数学运算，直观想象等数学核心素养【解析】( )cossinf xxxx，(2)(2)cos(2)sin(2)f xxxx(2)cossin( )xxxf x，A 错误由( )sinfxxx 知，当x 时，( )0fx，0不是( )f x的极值点故 B 错误( )f x的定义R，且()cos()sin()fxxxx ( cossin )( )xxxf x ， C 错误 由于( )sinfx

4、xx ， 当2x 时，( )0fx，( )f x在区间,2上是增函数故 D 正确7 【答案】C【命题意图】考查三角函数倍角公式，重要不等式2abab ，同角间的三角函数关系考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】04，22222sincos2tan2tansin2tan2sincos1tan1tanca，b 2222221cos21cossin1 cossin1 1tan1 (1tan )2 1 sin22 sin2sincoscos2 cossin2 1tan21tan22tan1tana文科数学参考答案 第 2页（共 8页）方法二：令6，则1233232232(1)2bac8 【答案】

5、D【命题意图】考查互斥事件的概率，分类讨论思想考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】由已知得2(2)4nSa nba，如果0a ，则nSb，满足2nSS，概率为13如果0a ，则2S是nS的最小值，则1a ，概率为13，2nSS的概率为112333，故 D 正确9 【答案】D【命题意图】考查双曲线的基本性质，离心率，平面向量的内积考查数学运算，逻辑推理，直观想象等数学核心素养【解析】设C的焦距为2c，离心率为e当120PF PF 时，由平面几何知识得00()()cxcx2202(1)xba，解得222222022(2)(21)acaaexce5e ，2204925ax 根据双曲线C上点的

6、横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当120PF PF 时，实数0 x的取值范围是77(, ,)55aaaa10 【答案】C【命题意图】考查解三角形，余弦定理，数学文化考查数学运算，直观想象等数学核心素养【解析】由条件可得5BEAD，在BDE中，由余弦定理得22222(3 10)25( 145)1cos22 5 3 1010BDBEDEDBEBD BE ，1cos10CBD，1cos3 10310BCBDCBD，229CDBDBC，4CA，所以弦图中小正方形的边长为1CA CB11 【答案】B【命题意图】考查导数，曲线的切线，数形结合思想，构造函数，函数的极值，函数的零点考查数学运

7、算，逻辑推理等数学核心素养【解析】设直线过点(0, 1)P且与曲线32yxaxbx相切，切点为320000(,)x xaxbx由y 32xaxbx得y 232xaxb，切线的斜率为20032xaxb，切线方程为1y 200(32)xaxb x， 3220000001(32)xaxbxxaxb x ， 3200210 xax 设3( )2f xx21ax，由题意，函数( )f x有三个零点2( )62fxxax，由( )0fx得0 x ，或x 3a当0a 时，函数( )f x只有一个零点，舍当0a 时，03a，0 x 是函数( )f x的极大值点，由于(0)10f ，函数( )f x没有三个零点

8、，舍0a 3ax 是函数( )f x的极大值点，由条件得，3()10327aaf ，解得3a 12 【答案】D【命题意图】考查空间想象能力，空间点、线、面的位置关系，表面积考查直观想象，数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】设四面体的棱长为4a，则1464Ra，1446Ra ，2244138 3443SaR设正文科数学参考答案第 3页（共 8页）方体的棱长为6a，则2623Ra，2623Ra ，2266268SaR设八面体的棱长为8a，则832aR， 22883384 34SaR 4123:3: 3:2RRR ， 设13RR，423RR，32RR，4688 3SSSR13 【答案】5 22【

9、命题意图】考查线性规划，点到直线的距离公式考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】约束条件2,2,20 xyxy 确定的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(1, 2)N到直线20 xy的距离就是|MN最小值，最小值为2|122|5 221( 1) 14 【答案】(, 2(0,2 U【命题意图】考查分段函数，定义域，值域，单调性，分类讨论思想考查直观想象，数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】当0 x时，0( )(2)2f xf的解集为(, 2 当0 x 时，( )(2)f xf的解集为(0,2所以，所求解集为(, 2(0,2 U15 【答案】398【命题意图】考查圆，平面向量，向量的

10、内积，向量的基本运算考查直观想象，数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】连接AD，如图由条件可知ADAC，6DAB，3AD ，3AB 设AEt，03t ，DE DF () ()DAAEDAAF 2233 coscos63DADA AFAE DAAE AFtt 213()22t 158，1538DE DF 所以DE DF 的最大值与最小值之和等于153938816 【答案】3【命题意图】考查椭圆的定义，离心率，标准方程，焦点，圆，求轨迹方程考查直观想象，数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】 由条件得24144b， 23b ， 椭圆1C的方程是22143xy， 1( 1,0)F ，2(1,0

11、)F 由于点N在线段1FM的延长线上，2| |MNMF，所以112| | 4FNMFMF，点N的轨迹是以1F为圆心，以4为半径的圆，方程为22(1)16xy设( , )P x y，则2(1,0)F关于( , )P x y对称的点的坐标为(21,2 )xy，22(21 1)(2 )16xy ，化简得点P的轨迹方程为224xy，即点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，所以，1|FP的最大值为317 【命题意图】考查等差数列及其通项与前n项和的关系，等比数列通项及其前n项和考查逻辑推理和数学运算等数学核心素养【解析】 （1）na是公差为d的等差数列，11a ，235a aS，ABCDEFyM(-

12、2,2)xOx-y+2=0y=2x=-2(1, 2)N文科数学参考答案 第 4页（共 8页）5 4(1)(12 )52ddd，解得，12d ，或4d 3 分0d ，4d ，4 分所以，14(1)nan ，即43nan6 分（2）由（1）知25a ，111ba，225ba，等比数列 nb的公比215bqb， 7 分1115nnnbbq8 分由782mba得，154 7823m，解得6m 10 分所以，661 (1 5 )39061 5mTT 12 分18 【命题意图】考查空间点线面之间的位置关系，线线、线面、面面平行及垂直的性质和判定考查二面角，坐标法解决几何问题考查数学直观，逻辑推理等数学核心

13、素养【解析】 （1）证明：设线段BC中点为M，连接DM交GH于点O，分别连接OF，BD由条件可得，BMADEF，BMAD，又ADEF，三个四边形ABMD，ADFE，BMFE都是平行四边形，2 分DMAB，DFAE，MFBE，DMAB，DFAEABE是正三角形，DMF是正三角形4 分4BCBG，4DCDH，BDGH由4BCBG得G是线段BM中点，所以O是DM中点FODM6 分AD 平面ABE，AB 平面ABE，AE 平面ABE，ADAB，ADAE，ADDM，ADDFDM，DF是平面DMF内两条相交直线，AD 平面DMFFO 平面DMF，ADFOAD，DM是平面ABCD两条相交直线，FO 平面AB

14、CDCD 平面ABCD，FOCD9 分22BCABDM，BDCD，GHCDFO，GH是平面FGH内两条相交直线，CD 平面FGHCD 平面FDC，平面FGH 平面FDC 12 分19 【命题意图】考查导数及其应用，极值，函数的零点，函数单调性考查分类讨论思想，数形结合思想，转化化归思想，函数方程思想，简单不等式的放缩考查数学运算，逻辑推理，数学抽象等数学核心素养【解析】（1）由表可知，3t ，22y 2 分51296iiit y，52155iit，515222152965 3 223.4555 35iiiiit ytybtt ，4 分22( 3.4) 332.2aybt 5 分所以，所求回归方

15、程为3.432.2yt 6 分（2） 由条件可知， 对A县的河道整治总投入2244116 5()3310106 40(2)22AaaSaMODFBCAEGH文科数学参考答案第 5页（共 8页）174（亿元） ，这6年对A县人均河道整治投入为233174(2)310658a（亿元/万人） 对B县2020年的河道整治投入为32.26 3.411.8y （亿元） ，对B县的河道整治总投入为BS 5 2211.8121.8（亿元） ，这6年对B县人均河道整治投入为121.82.942（亿元/万人） 所以，对A县的人均河道整治投入大于对B县的人均河道整治投入9 分由2 2列联表知，2100(20 182

16、4 38)5.0765.02444 56 58 42k，所以，有97.5%把握认为河道整治达标与当地市民的河道整治投入有关12 分20 【命题意图】考查圆的切线，抛物线与直线的位置关系，弦长，直线方程考查数形结合思想，转化化归思想，函数方程思想考查数学运算，逻辑推理，数学抽象等数学核心素养【解析】 （1）由题意可知，直线PB的方程是ax 1 分根据条件可设直线PA的方程是baxky)(，即0bkaykx直线PA与圆1) 1(22yax相切，11|) 1(|2kbkaak 3 分bbk2124 分直线PA的方程是0232121222bbbbyxbb，即0734) 1(2242bbbyxb6 分（

17、2）若012b，则0k，直线PA与抛物线1C没有两个交点，不合题意，故012b7 分直线PA的方程可写成) 1(273122242bbbybbx，将它代入xy322并化简得，0734) 1(32422bbbyyb 8 分0)37)(1(12)4(4222bbbb，) 1(3421bbby，即bbby) 1(3421by2，bbbyy2) 1(342219 分由12132xy ，22232xy 得，2122213232xxyy，)35(13121)(32222212121bbbbbbyyxxyy10 分设圆2C的圆心为2C，直线2PC的斜率为0(1)bbaa|PBPA ，2PCAB，或2PCAB

18、，bbbb1)35(122，或bbbb)35(12211 分解得，22b，或3722b文科数学参考答案 第 6页（共 8页）经检验，22b与3722b均满足，所以实数2b的值是2或37212 分另解： （2）若012b，则0k，直线PA与抛物线1C没有两个交点，不合题意，故012b7 分直线PA的方程可写成) 1(273122242bbbybbx，将它代入xy322并化简得，0734) 1(32422bbbyyb 8 分0)37)(1(12)4(4222bbbb，) 1(3421bbby，即bbby) 1(34219 分1212124)(11|11|bybykbykPA) 1(344) 1(9

19、16) 1(412222222bbbbbbbb22222 (1)|35|3(1)b bbb 11 分bPB2|，22222 (1)|35|23(1)b bbbb解得，22b，或3722b经检验，22b与3722b均满足，所以实数2b的值是2或37212 分21 【命题意图】考查导数及其应用，极值，最值，函数的零点，函数单调性考查分类讨论思想，数形结合思想，转化化归思想，函数方程思想考查数学运算，逻辑推理，数学抽象等数学核心素养【解析】 （1）由212( )()eexxf x 得，21( )(1)eexxfx令( )0fx，得0 x 当0 x 时，( )0fx，( )f x是单调递减函数；0 x

20、 时，( )0fx，( )f x是单调递增函数所以，0 x 是函数( )f x的极小值点（2）设( )( )(ln2 1)g xf xa x，则212( )()(ln2 1)eexxg xa x存在 ln2,0 x ，使得( )(ln2 1) 1()f xa xaR成立，当且仅当存在 ln2,0 x ，使得( )g x的最大值max( )g x12212111( )2()2()eee22xxxg xaa 当ln20 x 时，112ex，( )g x是增函数若12a， 则( )0g x，( )g x是区间 ln2,0上的单调减函数 ln2,0 x 时，max( )g x( ln2)1ga ，1a

21、 所以112a 若12a ，则minmax4( ln2)( )( )( )(0)agg xg xg xga 文科数学参考答案第 7页（共 8页）当102a 时，( )0g x，( )g x是区间 ln2,0上的单调减函数，由知，1a 所以，102a 当4a时，( )0g x，( )g x是区间 ln2,0上的单调增函数，max( )(0)g xg1 (ln2 1)1a ，0a 所以，4a当40a 时，在区间 ln2,0上存在唯一的0 x，使得0()0g x如果0ln2xx，那么( )0g x，( )g x是的单调减函数；如果0 xx0，那么( )0g x，( )g x是的单调增函数max( )

22、=max ( ln2), (0)max, 1 (ln2 1) g xggaa 由于1a ，1 (ln2 1)1a ，max( )1g x ，所以，40a 综上所述，实数a的取值范围是(,1)22 【命题意图】考查参数方程和极坐标方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，极角和极径的运用，考查数形结合思想，转化化归思想，考查数学运算，数学抽象，直观想象，逻辑推理等数学核心素养【解析】 （1）将cosx，siny代入曲线1C的参数方程得，cos2cos，sin6sin，2222cossin()()cossin126，化简得曲线1C的极坐标方程是2262cos13 分由2

23、3cossin得，2sin3cos，即22sin3 cos，所以，曲线2C的直角坐标方程是23yx5 分（2）设以曲线1C和2C在第一象限交点的极坐标为( , )(0)2 ，由方程组2226,2cos13cos.sin得22263cos()2cos1sin，解得3，29 分根据对称性，OAB的面积为122 2sin323 10 分23 【命题意图】考查绝对值不等式和线性规划，梯形面积公式，二次不等式考查分类讨论思想，数形结合思想，转化化归思想等数学思想考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养【解析】 （1）11( )|2|22f xxx等价于1,2,( )1, 20,1,0.xxf xxxx 1 分直线ya与曲线( )yf x围成的四边形面积为S，03S，1a 由1xa ，得1xa ；由1xa ，得1xa，3 分21(1) 2(1)(1)12Saaaa 4 分2013a ，解得12a所以，实数a的取值范围是(1,25 分（2）3abc，2229abc，12a，2223()90aacc，即2(3)30acac7 分()(3)0ac a文科数学参考答案 第 8页（共 8页）3a （舍） ，或ca ，9 分21c ，所以，实数c的取值范围是 2, 1) 10 分