北京朝阳区2022届高三数学一模试卷及答案.pdf

1、 第 1 页，共 24 页 20222022 北京朝阳高三一模数学北京朝阳高三一模数学 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合24Axx=，集合2320Bx xx=+，则AB=( ) A B12xx C24xx D14xx Bbca Ccab Dcba 5已知函数( )23,02 ,0 xxf xx x=”是“12aa+”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知三棱锥ABCD，现有质点 Q 从 A 点出发沿棱移动，规定质点 Q 从一个顶点沿棱移动到另一个顶

2、点为 1 次移动，则该质点经过 3 次移动后返回到 A 点的不同路径的种数为( ) A3 B6 C9 D12 8已知数列 na，若存在一个正整数T使得对任意*Nn，都有n Tnaa+=，则称T为数列 na的周期.若四个数列分别满足： 第 2 页，共 24 页 12a =，()*11Nnnaan+= ； 11b =，()*11N1nnbnb+= +； 11c =，22c =，()*21Nnnncccn+=； 11d =，()()*11Nnnnddn+= 则上述数列中，8 为其周期的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9如图 1，北京 2022 年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔

3、交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图 2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16 m，上口半径为17 m，下口半径为28.5m，高为70 m.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图 3 所示的平面直角坐标系，设16OA =，17DC =，28.5EB =，70DE =，则双曲线的方程近似为( ) (参考数据：2228.53.1716，2228.52.8117，22171.1316) A222211638xy= B222211648xy= C222211738xy= D222211748xy= 10在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两

4、垂直，1VAVBVC=(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：2dm)的最大值是( ) . 第 3 页，共 24 页 A14 B24 C34 D34 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上 11计算i(1 i)+=_ 12已知数列 na是首项为 3，公比为q的等比数列，nS是其前n项的和，若3450a aa+=，则q =_；3S =_ 13已知直线3x=和56x=是曲线()()sin0yx=+的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是_ 14某地进行老旧小区改造，有半径为 60 米

5、，圆心角为3的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQAB，垂足为Q，PRAC，垂足为R，设0,3PAB=，则PQ =_(用表示)；当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_ 15在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C：24yx=的焦点为F，直线l：()31yx=与抛物线C交于点A，且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P，与x轴交于点H.给出下列四个结论： OFA的面积是3； 第 4 页，共 24 页 点H的坐标是()3 0，； 在x轴上存在点Q使0AQ PQ= ； 以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则2AFFN= 其

6、中所有正确结论的序号是_ 三解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在ABC中，sincos0aCcA+= (1)求A； (2)再从条件条件条件这三个条件中选择两个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积 条件：2bc=；条件：10sin10B =；条件：10a = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分 第 5 页，共 24 页 17某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了 50 名学生作为样本进行测试，记录他们的

7、成绩，测试卷满分 100 分，将数据分成 6 组：)40,50，)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100，并整理得到如下频率分布直方图： (1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩(每组成绩用中间值代替)； (2)在样本中，从其成绩在 80 分及以上的学生中随机抽取 3 人，用X表示其成绩在90,100中的人数，求X的分布列及数学期望； (3)在(2)抽取的 3 人中，用Y表示其成绩在)80,90的人数，试判断方差()D X与( )D Y的大小.(直接写结果) 18如图 1，在四边形ABCD中，ACBD，ACBDO=，1ODOB=，2OC =，E，F分

8、别是AB，AD上的点，/EF BD，ACEFH=，2AH =，1HO =.将AEF沿EF折起到1AEF的位置，得到五棱锥1ABCDFE，如图 2 (1)求证：EF 平面1AHC； (2)若平面1AEF 平面BCDFE， (i)求二面角1DACH的余弦值； (ii)对线段1AF上任意一点N，求证：直线BN与平面1ADC相交 第 6 页，共 24 页 19已知( )exfxxa=，aR (1)若曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线与x轴重合，求a的值； (2)若函数( )f x在区间()1,+上存在极值，求a的取值范围； (3)设( )()2g xfx=，在(2)的条件下，试判断函数

9、( )g x在区间()1,+上的单调性，并说明理由 20已知椭圆C：()222210 xyabab+=的一个焦点为()1,0F，且过点31,2 (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)过点()4,0P且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线1x =交于点Q，点M满足MPx轴，/MB x轴，试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值 21对非空数集X，Y，定义X与Y的和集,XYxy xX yY+=+.对任意有限集 第 7 页，共 24 页 A，记A为集合A中元素的个数 (1)若集合0,5,10X =，2, 1,0,1,2Y = ，写出集合XX+与XY+； (2)若集合12,nXx xx=

10、满足12nxxx，3n ，且2XXX+，求证：数列1x，2x，L，nx是等差数列； (3)设集合12,nXx xx=满足12nxxx，3n ，且()1,2,ixin=Z，集合BkZmkm=(2m ，Nm)，求证：存在集合A满足11nxxAB +且XAB+ 2022 北京朝阳高三一模数学北京朝阳高三一模数学 第 8 页，共 24 页 参考答案参考答案 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 【答案】D 【解析】 【分析】将集合A、B化简，再根据并集的运算求解即可 【详解】集合24Axx=，集合232012Bx xxxx=

11、+= ， 14ABxx= 故选：D 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后利用半径、圆心距和弦的关系可求出弦长 【详解】解：圆221xy+=的圆心为(0,0)O，半径1r =， 则圆心(0,0)O到直线1yx=+的距离1222d =， 所以直线1yx=+被圆221xy+=所截得弦长为22122 122rd=， 故选：B 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得 【详解】2a =，1b =，且a与b的夹角为23， 22 1 cos13a b= = ， 2222()2ababaa bb+=+=+ + 2222 1 13= +=， ab+=3 故选

12、：A 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质即得 【详解】()0,1m， 的 第 9 页，共 24 页 lg0am=，2lg2lglgbmmma=， cab 故选：C 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得2310mm= 或210mm= ，即求 【详解】函数( )23,02 ,0 xxf xx x=，( )1f m = ， 2310mm= 或210mm= ； 当1a 时，有1122aaaa+=成立， 综上，“1a ”是“12aa+”的充分不必要条件， 故选：A 7 【答案】B 【解析】 【分析】第 1 步和最后一步位置都A，中间两步位置可从 B、C、D 三个点中选两个排列即可

13、 【详解】可以看成先后顺序为 1、2、3、4 的四个座位，第 1 和第 4 个座位都是 A，第 2 和第 3两个座位从 B、C、D 三个字母选两个进行排列，共23A6=种排法 故选：B 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得 是 第 10 页，共 24 页 【详解】()21111nnnnaaaa+= = =， 数列 na的周期为2T =，故 8 也是数列 na的周期； 由11b =，()*11N1nnbnb+= +，可得 2311,2,1212bb= = = 45111,1 22bb= = 故数列 na的周期为3T =； 由11c =，22c =，()*21Nnnn

14、cccn+=可得， 3214321,1,cccccc= 5436542,1,cccccc= = 7658761,2,cccccc=， 故数列 na的周期为6T =； 由11d =，()()*11Nnnnddn+= 可得， ()3431nnndd+= ()()322211nnnndd+= = ()()()111111nnnnndd+= = nd=， 故数列 na的周期为4T =，所以 8 也是数列 na的周期 故 8 为其周期的数列个数为 2 故选：B 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为()222210,0 xyabab=，进而结合题意得16a =，设0DOy=，则

15、()()0017,28.5,70CyBy ，再待定系数，结合已知数据计算即可 【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为()222210,0 xyabab=， 因为16OA =，17DC =，28.5EB =，70DE =， 第 11 页，共 24 页 所以16a =，设0DOy=， 则点()()0017,28.5,70CyBy 在双曲线()222210,0 xyabab=上， 所以2202217116yb=，()220227028.5116yb=， 因为2228.53.1716，22171.1316， 所以2020.13yb，()202702.17yb， 所以()20200.0670yy，解

16、得013.7y ， 所以2222013.7380.130.13yb 故双曲线的方程近似为222211638xy= 故选：A 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在平面VAC内，过点P作/EFAC分别交,VA VC于,F E，在平面VBC内，过E作/ /EQVB交BC于Q，在平面VAB内，过F作/ /FDVB交BC于D，连接DQ，进而根据题意，VEFVCA，设其相似比为k，则VFVEEFkVAVCAC=，再证明四边形FEQD是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可 【详解】解：根据题意，平面VAC内，过点P作/EFAC分别交,VA VC于,F E， 在平面VBC内，过E作/ /EQV

17、B交BC于Q， 在平面VAB内，过F作/ /FDVB交BC于D，连接DQ，作图如下， 在 第 12 页，共 24 页 因为/EFAC，则,VCAVFEVACVEF = = ， 所以VEFVCA，设其相似比为k， 则VFVEEFkVAVCAC=， 因为VAVC，所以在RtVAC中，222ACVAVC=+， 因为1VAVBVC=，所以2AC =，即2EFk=， 因为/ /FDVB，则,AVBADFABVAFD = = ， 所以，AFDVAVB，即AFADFDVABAVB=， 因1AFVA VFkVAVA= ， 所以1FDAFkVBVA= ，即1FDk= ， 同理CEQVCVB，即1CECQEQkV

18、CBCVB= ， 因为,VBVC VBVA VAVCV=，VA平面VAC，VC 平面VAC， 所以VB 平面VAC， 因为/ /,/ /FDVB EQVB， 所以FD 平面VAC，EQ 平面VAC， 因为EF 平面VAC， 所以,FDEF EQFE， 因为,BDABADkBAAB=,BQCBCQkCBCB= 所以BQBDBCBA= 因为BB= ，所以BDQBAC， 所以/ /DQAC， 为 第 13 页，共 24 页 因为/EFAC，所以/ /EFDQ， 因为,FDEF EQFE，所以,FDDQ EQDQ， 所以四边形FEQD是矩形，即(1)2FEQDSEF FDkk=矩形2122()24k=

19、 +， 所以，由二次函数的性质知，当12k=时，FEQDS矩形有最大值24 故选：B 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上 11 【答案】1 i + 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可 【详解】解：2i(1 i)ii1 i+= += + 故答案为：1 i + 12 【答案】 13 73 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果 【详解】解：设等比数列na的公比为q，因为3450a aa+= 则2341110a qa qa q+=，将13a =代入得310q+ =，得13q = ， 所以1133nna=

20、， 所以3123173 133Saaa=+= += 故答案为：13；73 13 【答案】56(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据周期求，再根据函数的对称性求 【详解】由条件可知5632=，得2=， 第 14 页，共 24 页 当3x=时，232k+=+，kZ， 得6k= +，kZ， 当1k =时，56= 故答案为：56(答案不唯一) 14 【答案】 60sin米 225 3平方米 【解析】 【分析】由题可得sin60sinPQAP=，结合条件及面积公式可得900 3sinsin3PQRS=，再利用三角恒等变换及正弦函数的性质即得 【详解】在Rt PAQ中，0,3PAB=，AP=60 米， s

21、in60sinPQAP=(米)， 在Rt PAR中，可得60sin3PR=， 由题可知23QPR=， PQR的面积为：1sin2PQRSPQ PRQPR= 1260sin60sinsin233= 900 3sinsin3= 311450 3sin2cos2222=+ 1450 3 sin 262=+， 又0,3，52,666+， 第 15 页，共 24 页 当262+=，即6=时，PQR的面积有最大值225 3平方米， 即三角形绿地的最大面积是225 3平方米 故答案为：60sin米；225 3平方米 15 【答案】 【解析】 【分析】根据题意()1,0F，进而联立方程得()3,2 3A，再根

22、据导数的几何意义求得过点()3,2 3A与抛物线C相切的切线方程为330 xy+=，进而结合题意，依次讨论求解即可 【详解】解：根据题意()1,0F，联立方程()2431yxyx=得231030 xx+=， 解得132 33xy= 或32 3xy=， 因为点A在x轴上方，所以点()3,2 3A， 所以OFA的面积是11 2 332S = =，故正确； 由于抛物线C在x轴上方对应的曲线方程为2yx=，1 yx=， 所以过点()3,2 3A与抛物线C相切的切线斜率为1333k =， 所以，过点()3,2 3A与抛物线C相切的切线方程为()32 333yx=，即330 xy+=， 所以2 31,3P

23、，()3,0H，故错误； 假设在x轴上存在点()0,0Q x使0AQ PQ= ，则()03, 2 3 ,AQx= 第 16 页，共 24 页 02 31,3PQx=+ ， 所以()()003140AQ PQxx=+= ，解得01x =，即存在点()1,0Q使0AQ PQ= ，故正确； 以HF为直径的圆的方程为()2214xy+=，令0 x =得3y = ，故其与y轴的负半轴交于点()0,3N，此时()()2, 2 3 ,1,3AFFN= = ，显然2AFFN= ，故正确 故答案为： 三解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 【答案】(1)34；

24、(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理可得sinsinsincos0ACCA+=，进而可得tan1A= ，即得； (2)选利用正弦定理可得sin510C =，又利用诱导公式及和差角公式可得5sin5C =，可得ABC不存在；选利用余弦定理及面积公式即得；选利用正弦定理可得2b =，再利用面积公式即求 【小问 1 详解】 sincos0aCcA+=， sinsinsincos0ACCA+=，又()0,sin0CC， sincos0AA+=，即tan1A= ，又()0,A， 第 17 页，共 24 页 34A=； 【小问 2 详解】 选，由10sin10B =，34A=，2bc=，

25、3 10cos10B =，10sin12s0inBC=，sin510C =， 又()ss nn4iinsiACBB= 23 10105210105=， ABC不存在； 选，2bc=，10a =， 由余弦定理可得，2222cosabcbcA=+，即22221022 22ccc=+， 22c=，即2,2cb=， ABC的面积为112sin22222ABCSbcA= 1=； 选，10sin10B =，10a =，34A=， 10sinsin2210102aBbA=，3 10cos10B =， ()ss nn4iinsiACBB= 23 10105210105=， ABC的面积为1sin2ABCSab

26、C=15102125= 17 【答案】(1)72.6； (2)分布列见解析，()1E X =； (3)()( )D XYD= 【解析】 第 18 页，共 24 页 【分析】(1)利用直方图的性质及平均数的计算方法即得； (2)由题可知X服从超几何分布，即求； (3)由超几何分布即得 【小问 1 详解】 由直方图可得第二组的频率为1 0.060.180.320.200.100.14=， 全校学生的平均成绩为： 45 0.0655 0.1465 0.18+75 0.3285 0.2095 0.1072.6+= 【小问 2 详解】 由题可知成绩在 80 分及以上的学生共有()500.200.1015

27、+=人，其中90,100中的人数为 5， 所以X可取 0,1,2,3，则 ()31031524091CP XC=，()2110531545191C CP XC=， ()1210531520291C CP XC=，()353152391CP XC=， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2491 4591 2091 291 ()244520012919191E X =+ + 23191+ =； 【小问 3 详解】 ()( )D XYD= 18 【答案】(1)证明见解析； (2)(i)4 2929，(ii)详见解析 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理即得； (2)(i)利用坐标法

28、即求； (ii)可设1,01FNFA=，进而可得25, 1,233BN=，利用向量数量积可得，即得 【小问 1 详解】 ACBD，/EF BD， ACEF， 第 19 页，共 24 页 1,EFAH EFHC，又1AHHCH=， EF 平面1AHC； 【小问 2 详解】 (i)由1,EFAH EFHC，可知1AHC为1AEFC的平面角， 又平面1AEF 平面BCDFE， 190AHC=，即1AHHC，又1,EFAH EFHCH=， 1AH 平面BCDFE， 如图建立空间直角坐标系，则()()()11,1,0 ,0,0,2 ,0,3,0DAC， ()()11,2,0 ,0,3, 2DCAC=，

29、设平面1DAC的法向量为(), ,mx y z=，则 100m DCm AC=，即20320 xyyz+=， 令2y =，则()4,2,3m = ， 又平面1ACH的一个法向量可取()1,0,0n =， 4cos,1649m nm nm n=+ 4 2929= ， 二面角1DACH的余弦值为4 2929； (ii)由题设1,01FNFA=，又()120,0,2 ,0,0 ,3AF12,0,23FA=， 第 20 页，共 24 页 22,0,2,0,233FN=， 22,0,233N，又()1,1,0B， 25, 1,233BN=，又平面1DAC的一个法向量为()4,2,3m = ， 由()25

30、4,2,3, 1,233BN m= 0=，可得75= ，又01， ， 直线BN与平面1ADC相交 19 【答案】(1)1e (2)10,e (3)单调递减，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义得曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程为()1eyax=，再结合题意得1e0a=，进而得答案； (2)由题知( )1exxfa= 在区间()1,+上有变号零点，进而分0a 和0a 两种情况讨论求解即可； (3)由题知( )21exgxa= +，进而判断( )gx的单调性并进而结合( )10g得函数( )21e0 xgxa= +，故不符合题意； 当0a 时，( )1exx

31、fa= 在区间()1,+上单调递减，且当x趋近于+时，( )fx趋近于， 故要使( )1exxfa= 在区间()1,+上有变号零点，则( )011efa= ，即10ea，则2e0 xya= 在()1,x+恒成立， 所以函数( )21exgxa= +在()1,+上单调递减， 由于( )111e1e0ega= + +=， 所以函数( )21e0 xgxa= +即11k ，即证； (3)设 ia()()1121 ,N*iaxmimi=+，令集合121,qAa aa+=，ZBkmkm=，进而可得11nxxAB +，1ZnABtxtx+ 123,nx x xx，即得 【小问 1 详解】 集合0,5,10

32、X =，2, 1,0,1,2Y = ， 0,5,10,15,20XX+=，2, 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,XY+= 10,11,12； 【小问 2 详解】 111213xxxxxx+123nnnxxxxxx+nnxx+， 集合XX+中至少包含21n个元素， 所以21XXn+，又Xn=， 由题可知2XXn+，又XX+为整数， 21XXn+， 21XXn+=， XX+中的所有元素为1112131,nxx xx xxxx+23,nnnnxxxxxx+， 又11212221,nxx xx xxxx+23,nnnnxxxxxx+是XX+中的21n个元素，且112122xxxxxx+21

33、23nnnxxxxxx+nnxx ， 数列1x，2x，L，nx是等差数列； 【小问 3 详解】 集合ZBkmkm=， 21Bm=+， 设()121nxxmqr=+，其中,N,02q rrm， 设 ia是首项为1xm+，公差为21m+的等差数列，即()()1121 ,N*iaxmimi=+， 令集合121,qAa aa+=， 则11121nxxrAqm= += +1111nnxxrxxBB= + +， AB+=()1111,1,2,212x xxxmqm+， 即AB+=()11Z212txtxmqm +， ()121nxxmqr=+()1212xmqm+， 1ZnABtxtx+ 123,nx x xx， 所以XAB+， 故存在集合A满足11nxxAB +且XAB+ 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移