因次分析与π定理课件.pptx

1、因次分析与因次分析与定理定理第一节第一节物理量的因次、量度单位和因次式物理量的因次、量度单位和因次式 研究任一物理现象，都不可避免地要研究这一种物理现象中变化着的各研究任一物理现象，都不可避免地要研究这一种物理现象中变化着的各个物理量以及这些物理量之间的量值关系。个物理量以及这些物理量之间的量值关系。 表征一物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类别），如长度、表征一物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因次因次”（Dimension）或称为或称为“量纲量纲”。 度量各物理量数

2、值大小的标准，称为单位。这些单位系人为确定。目前度量各物理量数值大小的标准，称为单位。这些单位系人为确定。目前世界上大多数国家（包括我国）已统一采用国际单位制世界上大多数国家（包括我国）已统一采用国际单位制 。 第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式 物理量可分为物理量可分为两大类两大类：一类是一类是有因次的有因次的，如长度、时间、速度、加如长度、时间、速度、加速度、质量、力等，这类物理量要以人为的单位来表示，其数值大小速度、质量、力等，这类物理量要以人为的单位来表示，其数值大小随着单位的更换而改变；另一类是随着单位的更换而改变；另一类是无因次无因次的，如坡度

3、、佛汝德数、雷的，如坡度、佛汝德数、雷诺数等，这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受量度单位更换的诺数等，这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受量度单位更换的影响。影响。 物理量的因次也可分为两大类：一类是物理量的因次也可分为两大类：一类是基本因次基本因次，它们彼此是相互独它们彼此是相互独立的，即它们中的任何一个因次不能从其它基本因次推导出来。立的，即它们中的任何一个因次不能从其它基本因次推导出来。 力学上通常选择长度（以力学上通常选择长度（以L表示）、时间（以表示）、时间（以T表示）和质量（以表示）和质量（以M表示）作为基本因次，显然它们是相互独立的。它们中任一个不能表示）作为基本因次，显然

4、它们是相互独立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来从另外二个推导出来 （例如（例如L不可能由不可能由M、T来组成）。来组成）。第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式 另一类因次称为另一类因次称为导出因次导出因次，这类因次可由，这类因次可由基本因次基本因次推导出来，例如推导出来，例如速度因次速度因次VV就可由所选定的基本因次推导出来，因为速度是表示单位时就可由所选定的基本因次推导出来，因为速度是表示单位时间内质点的位移，即间内质点的位移，即: :dtdsV 若选择若选择M、L、T 为基本因次，则速度因次可表示为：为基本因次，则速度因次可表示为： V=L/T=L

5、TV=L/T=LT-1-1 加速度的因次为：加速度的因次为：a=V/T=LTa=V/T=LT-2-2 力的因次为：力的因次为： F=F=Ma=a=M LTLT-2-2 可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数的乘积，即：幂指数的乘积，即： TLMy(2-1)(2-1) 该式称为因式关系式。该式称为因式关系式。 第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式证明式：证明式： 令令1，2，3 为具有因次的基本物理量，代表任一物理量，它为具有因次的基本物理量，代表任一物理量，它是基本物理量

6、是基本物理量1，2，3的函数，即：的函数，即： （1，2，3 ） 如有两个同名物理量，它们可表示为：如有两个同名物理量，它们可表示为： 1（11，21，31 ） 2（12，22，32 ）. （过程略）（过程略）其结果是：其结果是：k11，同理：同理：第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式 （1，2，3 ）k123 （212）式中：式中：k，都是常数。都是常数。 这样可以写出该物理量的因次关系式：这样可以写出该物理量的因次关系式： 123 （213）若基本量若基本量1取为质量取为质量,其因次为其因次为M；2取为长度，因次为取为长度，因次为L；3取为时间，因次为取

7、为时间，因次为T。则某一物理量的导出因次：。则某一物理量的导出因次： M L T （214）第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式 物理量的性质可由指数物理量的性质可由指数来反映，如均为来反映，如均为0 0，则，则y y为一次无为一次无因次纯数，指数因次纯数，指数中有一个不等于中有一个不等于0 0，就可以说是一个有因次，就可以说是一个有因次的物理量。的物理量。 0, 0, 01 1 如如 为一几何学量为一几何学量 2 2 如如 为一运动学量为一运动学量 3 3 如如 为一动力学量为一动力学量 0, 0, 00, 0, 0 如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们

8、的因次为长度因次的如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次的平方平方,A=L,A=L2 2 或写成或写成A=A=M0 0L L2 2T T0 0 。 流速因次为流速因次为V= LTV= LT-1-1 = = M0 0LTLT-1-1 ；力的因次为：；力的因次为： F=F=Ma=a=M LTLT-2-2 。 第一节物理量的因次、量度单位和因次式第一节物理量的因次、量度单位和因次式dndu/ 如动力粘滞系数如动力粘滞系数，由牛顿内摩擦定律知，由牛顿内摩擦定律知 TMLTLMTML/1 -1 -1 -00-2-1dndu 物理量物理量 无因次量无因次量 有因次量有因次量 基本量基本量导

9、出量导出量 详见表详见表2 21 1第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，其各项因次都必须凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，其各项因次都必须是一致的，这称为是一致的，这称为因次和谐原理。因次和谐原理。 利用方程因次和谐特征，可以探求物理方程的结构形式，检验复杂方程利用方程因次和谐特征，可以探求物理方程的结构形式，检验复杂方程式的正确性，还可以用来导出模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这式的正确性，还可以用来导出模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分析的重要依据。一原理是因次分析的重要

10、依据。 因次和谐原理的重要性是：因次和谐原理的重要性是：一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单位的更换而变化。因此因次和谐原结构形式不随量度单位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式的正确性和完整理可以用以检验新建方程式或经验公式的正确性和完整性。性。 2.用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。 一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐

11、原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 用用因次和谐因次和谐原理可以证明原理可以证明 即质量为即质量为M,沿半径为沿半径为R的圆周运动的圆周运动关系式的正确性关系式的正确性 ：RvmF2左侧左侧 F=M LT-2右侧右侧MLTLMLT21212Rvm显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：RvmF2一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法11112113TMLLLTMLTLnlprQn 由因次和谐原理来确定指数由因次和谐原理来确定指数 n。选择基本因次。选择基本因次M，L，T，由，由表表21：,11

12、2113TMLTMLTLQp代入上式得：代入上式得：整理后整理后1113TLTLn由因次和谐原理，由因次和谐原理，n-1=3,求得求得n=4，又如管流中层流流量公式又如管流中层流流量公式：lprQ4一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 3.用因次和谐原理建立某些物理方程。用因次和谐原理建立某些物理方程。 实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那幺，利用方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那幺，

13、利用因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。 仍从上例，水平圆管中层流流量，通过试验知道它与圆管半径、单仍从上例，水平圆管中层流流量，通过试验知道它与圆管半径、单位管长的压差以及流体的动力粘制系数等因素有关，即位管长的压差以及流体的动力粘制系数等因素有关，即 。 ),/,(lprfQ假设：假设：rlpfQ)(一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法其因次式为：其因次式为：rlpQ221121130TLMTMLLLTMLTLM根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须根据因次和谐原理，方程两侧

14、同类因次的指数必须相同相同，即：，即： 0:M32:L12:T联解上列联解上列3 3式得：式得： 1, 4, 114rlpQ从而有从而有 写成函数关系式为写成函数关系式为 lprkQ4k一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 所得结果与前例完全相同。其中，所得结果与前例完全相同。其中，k为无因次系数，由试验结果分析得：为无因次系数，由试验结果分析得： 这与理论分析结果一致。这与理论分析结果一致。 8k于是圆管中层流流量公式为：于是圆管中层流流量公式为： lprQ48一、因次和谐原理一、因次和谐原理第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方

15、法因次和谐原理和因次分析方法 由因次和用因次和谐原理，可以得到：由因次和用因次和谐原理，可以得到： 1 、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理方程来描、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理方程来描述；述； 2 、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理；、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理； 3 、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位的更换而、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位的更换而改变；改变； 4 、 因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方程式两侧因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方程式两

16、侧彼此相等。彼此相等。 二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求物理现象的函数关因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。系式的一种数学分析方法。 因次分析方法有二种：因次分析方法有二种： 瑞利（瑞利（RayleighRayleigh）法）法适用于解决较简单问题适用于解决较简单问题 定理定理应用普遍应用普遍 瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的函数关系。 二、二、 因次分

17、析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 例：例： 一弦长为一弦长为L L的单摆的单摆, ,摆端有质量为的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆端有质量为的摆球，要求用瑞利法求单摆的摆动周期摆动周期t t的表达式。的表达式。 图2-1 单摆 根据单摆现象观测，周期根据单摆现象观测，周期t t与弦长与弦长l l、摆球质量、摆球质量m m为及重力加速度为及重力加速度g g有关，即：有关，即： ),(gmlft 用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：用幂指数乘积来表示这一函数关系，即： )(gmlft 式中：式中： 为待定常数。将上式写成因次式得：为待定常数。将上式写

18、成因次式得： ，二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法图2-1 单摆 选择选择 为基本因次，为基本因次，根据因次和谐原理，根据因次和谐原理，则上式可写成：则上式可写成：gmlt ,TLM0:M0: L12:T联立求得上列联立求得上列3式求解得：式求解得： 21021:，glktglT21212LTMlT根据因次和谐：根据因次和谐：二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 由单摆试验得到由单摆试验得到 常数常数等于等于22，则单摆周期的表达式为：，则单摆周期的表达式为： gl

19、t2这与理论分析结果完全相同这与理论分析结果完全相同（建议多看例子）。（建议多看例子）。 k二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 由上述例子可总结出应用瑞利因次分析法探求物理由上述例子可总结出应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：方程式的步骤如下： 1、 找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形式）；采用幂指数乘积形式）； 2 、写出函数的因次关系式；、写出函数的因次关系式； 3、 选定选定3个基本因次（一般为：个基本因次（一般为：M ,L,T ），按选定），按选定

20、的基本因次整理、归并得出函数的因次关系式；的基本因次整理、归并得出函数的因次关系式； 二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 4 4、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值；、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值； 5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简；、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简； 6、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性，、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性，并确定表达式中的待定系数或

21、指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达式。式。 二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点优点就是简单易行，就是简单易行，但有一定但有一定局限局限性：性： 1、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积；只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积； 2 、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、完、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选

22、择是否正确、完整；整； 3 、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析（比较、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析（比较简单的物理过程）求得；简单的物理过程）求得； 4 、只有当参变量不大于、只有当参变量不大于3个时，方能求解由个时，方能求解由3个基本因次构成的因次和谐方个基本因次构成的因次和谐方程组，求得不大于程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程序的具体形式。个的待定指数，从而建立方程序的具体形式。二、二、 因次分析方法因次分析方法第二节第二节 因次和谐原理和因次分析方法因次和谐原理和因次分析方法 换言之，当待求的物理方程中包含的参变量大于换言之，

23、当待求的物理方程中包含的参变量大于3个时，个时，瑞利法瑞利法就无能为力了。就无能为力了。 这时需采用因次分析的普遍方法这时需采用因次分析的普遍方法定理定理（又称（又称Backingham定理），找出复合无因次项，方能建立完整定理），找出复合无因次项，方能建立完整的物理方程式。的物理方程式。 二、二、 因次分析方法因次分析方法第三节第三节 定理及其应用定理及其应用一、一、定理的基本概念定理的基本概念定理的全部含意：定理的全部含意： 某一物理进程，若有某一物理进程，若有个物理量个物理量参与作用，基本有参与作用，基本有个个具有因次独立的具有因次独立的基本物理量基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由

24、包含，则经过处理，这一物理过程可由包含- -个由物理量组成的个由物理量组成的无因次准数无因次准数的函数关系式来表示。例如用质量，长度的函数关系式来表示。例如用质量，长度l l，时间，时间t t三个基本三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。 证明过程见证明过程见书书P40P40。1111TLMx2222TLMx3333TLMxx1, 1, x2 ,x3是基本量，是基本量，则它们是因次独立的，则它们是因次独立的，故上列因次中的指数行故上列因次中的指数行列 式 不 等 于 零列 式 不 等 于 零 。0333222111第三节第三节 定理

25、及其应用定理及其应用二、二、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用例例1 1 利用利用定理建立圆球的粘滞力公式定理建立圆球的粘滞力公式 设影响圆球在流体中运动设影响圆球在流体中运动(或流体绕圆球运动或流体绕圆球运动)时引起的粘滞阻力时引起的粘滞阻力FD 与流与流体的密度体的密度，动力粘滞系数，动力粘滞系数，球体与流体的相对速度以及表征球体的特征面，球体与流体的相对速度以及表征球体的特征面积积A有关。于是粘滞阻力的函数关系式可写成：有关。于是粘滞阻力的函数关系式可写成：DF),(AvfFD42dA0),(1dvFfD上式可改写成：上式可改写成：第三节第三节 定理及其应用定理及其应用二、二、

26、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用 上式共上式共5个变量，选择个变量，选择d 、 V、作为基本变量作为基本变量： 010TLMd 110TLMv031TLM01031110010基本因次的基本因次的指数行列式指数行列式为为 故 所 选 的 基 本 量 是 因 次 独 立 的 ， 根 据故 所 选 的 基 本 量 是 因 次 独 立 的 ， 根 据 定 理 可 得 ：定 理 可 得 ：111d1vFD222d2v0),(212f第三节第三节 定理及其应用定理及其应用。，得：有：右边左边，则：是无因次的，即因2212031010相等，则式等号两等号两侧相同根据因次和谐据因次和/11111

27、111231113200000011111111 T LMTLMLLTMLMLTTLMTLMii二、二、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用第三节第三节 定理及其应用定理及其应用Re1 2221vddvFD同理可推出故到阻力公式完全相同。这一结果与理论分析得圆球的粘滞力表达式诺数有关，于是得到称为阻力系数，它与雷 21 (Re)210)Re1,21(0),(22322222212dvCFCCfdvFdvFffDDDDDD二、二、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用第三节第三节 定理及其应用定理及其应用p 例例2 利用利用定理确定粘性流体在光滑圆管中均匀流动的阻力损失公式。定理确

28、定粘性流体在光滑圆管中均匀流动的阻力损失公式。 设流体在圆管中流进设流体在圆管中流进l距离的压降为距离的压降为 ，它的大小与管长，它的大小与管长l，管径，管径d，平均流速，平均流速v，流体的密度流体的密度 及动力粘滞系数及动力粘滞系数 有关，即：有关，即：DF0)(，vdlpF 上式共上式共6个变量，选择个变量，选择 作为基本变量作为基本变量,根据根据定理，可得：定理，可得：vd0)(2113，F二、二、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用（2-49）（2-50）第三节第三节 定理及其应用定理及其应用DF）因次关系可写为：式（5123332221113121dvldvdvp031 0

29、-2 1 02 01 111111113121132100011111111：，：由因次和谐原理有LTMLTMLLTMLTMLTLM二、二、定理在因次分析中的应用定理在因次分析中的应用（2-51）（2-52）（2-53）第三节第三节 定理及其应用定理及其应用的函数。是雷诺数称为沿程阻力系数，它同理可求得eReFReFdlgVhdlReFdlvdFvpdlvdvpFFdlRevdfR)()(2),(),(0),(),(,33222221321132uEvp21第三节第三节 定理及其应用定理及其应用由以上推导可知定理的涵义：DF 1、定理的主要理论依据是一个完整的物理方程式必须遵定理的主要理论依据

30、是一个完整的物理方程式必须遵循因次和谐原理。循因次和谐原理。 2 、包含有、包含有n个变量参与作用的某一物理现象，可用一个由个变量参与作用的某一物理现象，可用一个由(n-m)个无因次项组成的函数关系式来表达，其中个无因次项组成的函数关系式来表达，其中m为为n个参个参变量中具有因次独立的基本参变量变量中具有因次独立的基本参变量( )； 3 、基本参变量可任意从全部参变量中选择，它们必须是因、基本参变量可任意从全部参变量中选择，它们必须是因次独立的次独立的(因次中的指数行列式不等于零因次中的指数行列式不等于零)，而且它们包含的，而且它们包含的基本因次应能包括基本因次应能包括n个参变量中所有基本因次

31、。个参变量中所有基本因次。3,mnm一般第三节第三节 定理及其应用定理及其应用 4、 每一个无因次每一个无因次项均可由项均可由m个基本量指数乘积与某一个基本量指数乘积与某一个变量的商或积组合而成，组合的要求是各个基本量的指个变量的商或积组合而成，组合的要求是各个基本量的指数得到合理的确定，最终使所得的各个数得到合理的确定，最终使所得的各个项均为无因次量。项均为无因次量。 5 、某些无因次物理量，本身也可作为、某些无因次物理量，本身也可作为项。项。 6 、各个、各个项的自乘及它们之间相互乘除其物理意义不变。项的自乘及它们之间相互乘除其物理意义不变。因而在组合因而在组合项时，用于和基本量指数乘积或相除的某一个项时，用于和基本量指数乘积或相除的某一个变量，其指数可以任意选择。变量，其指数可以任意选择。