向量的投影课件.ppt

1、一、一、 向量的投影及其性质向量的投影及其性质.上上的的有有向向线线段段是是轴轴，设设有有一一轴轴lABllAB.ABABABllABlABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数定义定义6 6 轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设le.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设lCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC o

2、lAB1e证证,1uOA 例例4 4 在在l轴轴上上取取定定一一点点 o作作为为坐坐标标原原点点 设设 BA,是是 l 轴轴上上坐坐标标依依次次为为 1u, 2u的的两两个个点点，e 是是与与 l轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，证证明明euuAB)(12 . ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是olAB1e1u2u类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任

3、意取值. 0() 定义定义7 7 设有两个非零向量设有两个非零向量，任取，任取空间一点空间一点O O，作，作OA= =, ,OB= =，规定不超过，规定不超过的的AOB( (设设= =AOB，O O) )称称为向量为向量与与的夹角的夹角 . . oAB),( ),( 记作记作 l空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影 定义定义 8 8 设已知空间设已知空间一点一点A以及一轴以及一轴 l，通过，通过点点A作轴作轴 l 的垂直平面的垂直平面，那么平面那么平面与轴与轴 l 的交点的交点A叫做叫做点点A在轴在轴 l上的投上的投影影. . A A空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影ABlA B

4、 ABjlPr向向量量AB在在轴轴 l 的的投投影影记记为为 ）（ABl或或， 轴轴l叫做投影轴叫做投影轴 定义定义9 9 已知向量已知向量AB的起点的起点A和终点和终点B在在轴轴l上的投影分别为上的投影分别为A和和B，那末轴，那末轴l上的有上的有向线段向线段AB的值的值AB叫叫做向量做向量AB在轴在轴 l上的投上的投影影. . ABjlPr=AB即即 向量向量AB在轴在轴 l 上的投影等于向量的模乘上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：以轴与向量的夹角的余弦： ABjlPr cos| AB 证证lABA B B ABjlPrABjlPr cos| AB l性质性质1 (投影定理投影定

5、理) 向量的投影具有下列性质：向量的投影具有下列性质：性质性质1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；u(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. . .PrPr)(Pr jjj AA BB CC l 性质性质2 由下面图形很容易证明该性质由下面图形很容易证明该性质.Pr.PrPr).(Pr jjjj 推广推广：性质性质3 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴向量与数的乘积在轴上的

6、投影等于向量在轴上的投影与数的乘积，即上的投影与数的乘积，即 PrjPrjl=Prj=Prjl证证 设设与与l 轴的夹角为轴的夹角为 ， 01 = 1=- 00时，时，1 1= = =Prjl； 由性质由性质1，Prj() )=|cos(1 1)=| |cos当当001 = 1=- 0=Prjl； Prj() )=|.|cos(1 1)= =-|(-|(-cos)当当=0=0时时 =Prjl； Prj()=)= 0 x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o二、空间直角坐标系与点的坐标二、空间直角坐标系与点的坐标 这三条轴分别叫这三条轴分别叫做做x x轴轴( (横轴横轴) )、y y轴轴( (

7、纵轴纵轴) )、z z轴轴( (竖轴竖轴) )；统称为坐标轴统称为坐标轴. .通常通常把把x x轴和轴和y y轴配置在水轴配置在水平面上，而平面上，而z z轴则是轴则是铅垂线；铅垂线； 过空间一个定点过空间一个定点O O，作三条互相垂直的数轴，作三条互相垂直的数轴，它们都以它们都以O O为原点，且一为原点，且一般具有相同的长度单位般具有相同的长度单位. .x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系. 即以右手握住即以右手握住 轴，轴，当右手的四个手指从当右手的四个手指从 正向轴以角正向轴以角 度转向度转向 轴

8、正向时，大拇指的指轴正向时，大拇指的指向就是向就是 轴的正向轴的正向.zx2 yz 这样的三条坐标轴就这样的三条坐标轴就组成了一个组成了一个空间直角坐标空间直角坐标系系.点点O叫做坐标叫做坐标原点原点(或或原点原点). xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系的八个卦限空间直角坐标系的八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,

9、A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 设设P在在x轴上，它到轴上，它到)3 , 2, 0(1

10、P的距离为到点的距离为到点)1, 1 , 0(2 P的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点 P的坐标的坐标. 解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 三、三、 向量在坐标轴上的分量与向量的坐标向量在坐标轴上的分量与向量的坐标 我们把起点在坐标原点的向量我们把起点在坐标原点的向量r =OM称为称为点点M的的向径向径 . .xyzoM MABC C 向量向量OM 在坐标在坐标轴上的

11、投影向量分别轴上的投影向量分别为为OA、OB、OC,它它们称为向量们称为向量OM 在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上的分轴上的分向量向量. . 在坐标轴在坐标轴ox、oy、oz上，以上，以O为起点分为起点分别取三个单位向量别取三个单位向量i、j、k,其方向与三坐标其方向与三坐标轴的正向相同，称它轴的正向相同，称它们为们为基本单位向量基本单位向量. 显然，显然， OM =xi+yi+zk， 其中其中x,y,z是向径是向径OM在坐标轴上的投影，在坐标轴上的投影，也就是终点也就是终点M的坐标的坐标. xyzoM MA AB BC Cijk 定义定义10 设空间直角坐标系中有向量设空间直角坐标系中有向量，

12、把，把它平移，使起点移到坐标原点，它平移，使起点移到坐标原点，M为向量为向量的的终点，则终点终点，则终点M的坐标的坐标x、y、z也叫做向量也叫做向量的坐标的坐标. .记作记作=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量它叫做向量的坐标形式的坐标形式. . = xi+yj+zk 中中 xi, yj, zk 分别叫做向量分别叫做向量在在 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴轴上的上的分向量分向量. .xi+yj+zk的称为的称为坐标分解式。坐标分解式。 xyzoM MA AB BC Cijk 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影轴上的投影(即向量的坐标即向量的

13、坐标)有本质的区别有本质的区别: 注意注意 向量向量在坐标轴上的投影是三个数在坐标轴上的投影是三个数 x、y、z, 而向量而向量在坐标轴上的分向量是三个向量：在坐标轴上的分向量是三个向量：xi = (x,0,0) , yj = (0,y,0), zk= ( 0,0,z ). 利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及向量与数的乘法的运算如下：向量与数的乘法的运算如下： 设设=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1),+=（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k =(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). -=（x1-x2

14、) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k则有：则有：=(x1-x2 , y1- -y2 , z1-z2) =x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2). =(=(x1+y1j+z1k) )=(=(x1 ,y1 ,z1) () (为实数为实数) )= =x1i+y1j+z1kkzzjyyixx)()()(121212 例例6 两定点为两定点为M1(x1,y1,z1）和和M2(x2,y2,z2)，求向量求向量M1M2的坐标的坐标. 解解 由向量的三角形法则可得由向量的三角形法则可得xyoz 1M 2MijkM1M2=OM2-OM1， 而而OM2= =( (x2,y2,z2),OM1=

15、(x1,y1,z1)， 所以所以 M1M2 = =( (x2,y2,z2) - (x1,y1,z1)向量向量M1M2的的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：）（zyxOM, 由上例知：对于空间任意两定点为由上例知：对于空间任意两定点为M1(x1,y1,z1）和和M2(x2,y2,z2)，kzzjyyixx)()()(121212 ，），121212(zzyyxx kzzjyyixxMM)()()(12121221 )(12121221zzyyxxMM ，设设 222111,zyxzyx于是：

16、于是： 222111,zyxzyxzzyyxx 121212当当 x1 ,y1 ,z1之一为之一为0，021 xxzzyy 1212 当当 x1 ,y1 ,z1有两有两 个为个为0， 如如 x1=0 , y1 , z 1 时时,平行应理解为：平行应理解为： 如如 x1=y1=0, 时，时， 1z平行应理解为：平行应理解为：021 xx021 yy （x2,y2 ,z2)=(x1 ,y1,z1)时时 ,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 解解设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 7 7 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点， 而在点， 而

17、在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两为两部分部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐，求分点的坐标标. ABMxyzo 由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 四、四、 向量的模、方向角和方向余弦向量的模、方向角和方向余弦 xyzoM M( (x,y,z)A

18、AB BC C向量的模与向量坐标的关系向量的模与向量坐标的关系 由两点间距离公式由两点间距离公式可得向量的模和坐标可得向量的模和坐标的关系的关系.向径向径OM的模为的模为：.222zyx |OM|xyzo 1MPNQR 2M 当向量的起点不在原点时，设起点为当向量的起点不在原点时，设起点为M1(x1,y1,z1)终点为终点为M2(x2,y2,z2)，则则 .21221221221zzyyxxMM 向量向量M1M2的模为的模为：xyzo 2M 1M非零向量的方向角非零向量的方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. .,0 ,0 .0 yzM M

19、x o 向量的方向余弦向量的方向余弦 向量向量的方向角的方向角、的余弦的余弦cos、cos、cos叫做它的方向余弦叫做它的方向余弦. 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. . M M（x,y,z) )yzo x即即222coszyxx 222coszyxy222coszyxz显然显然 x=|OM|cos, y=|OM|cos, z=|OM|cos 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa.cos,cos,cos）（特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为则则 例例8 设已知两点设已知两点 和和 ，计，计算向量算向量M1M2的模

20、、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. ），（2221M），（0312M），（202321），（21124)2(1) 1(22221MM所以所以方向余弦方向余弦cos=，21cos=，21方向角方向角 cos=22,32 ,3 .43 解：因解：因M1M2=从而从而2131410，142141143， 例例9 9 设已知两点设已知两点A(4(4，0 0，5)5)和和B(7(7，1 1，3)3)，求方向和求方向和AB一致的单位向量一致的单位向量. .，0 解解 设与设与AB方方向一致的单位向量为向一致的单位向量为 而而),2, 1 , 3()53 , 01 , 47(AB则则，|0ABAB

21、所以所以14213|222）（AB五、小结五、小结1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 2. 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 3. 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.4. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.5. 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）思考题思考题1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D 2 设 设jim ，kjn 2， 求以向量， 求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度. 思考题解答思考题解答1. A:; B:; C:; D:;2. 对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn