常微分方程模型及其数值解课件.ppt
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- 微分方程 模型 及其 数值 课件
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1、0、导言 在许多实际问题中,例如物理中的速率问题,人口的增长问题,放射性衰变问题,经济学中的边际问题等,常常涉及到两个变量之间的变化规律。微分方程是研究上述问题的一种机理分析方法,它在科技、工程、生态、环境、人口以及经济管理等领域中有着十分广泛的应用。在应用微分方程解决实际问题时,必须经过两个阶段。一是微分方程的建立,建立一个微分方程的实质就是构建函数、自变量以及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系。而正确地构建这种平衡关系,需要对实际问题的深入浅出的刻画,根据物理的和非物理的原理、定律或定理,作出合理的假设和简化并将它升华成数学问题。另一个是方程的求解和结果分析。对一些常系数的或特殊函数形式
2、的微分方程,往往能得到解析解,这对实际问题的分析和应用都是有利的,但是大多数变系数的、非线性函数形式的微分方程都是求不出解析解的,此时就需要应用求解微分方程的另一个重要方法数值解法。本章简要介绍有关微分方程模型的概念,微分方程的数值解法和图解法,主要介绍若干建模实例,通过它们展示微分方程模型的建模步骤及解决实际问题的全过程。1、实例及其数学模型、实例及其数学模型 例例1 海上缉私海上缉私 问题问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶,缉私艇立即以最大速度b前往拦截。用雷达进行跟踪时,可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私
3、艇航线的数学模型,讨论缉私艇能够追上走私船的条件,求出追上的时间。建立直角坐标系如图,设在t=0时刻缉私艇发现走私船,此时缉私艇的位置在(0, 0),走私船的位置在(c, 0)。走私船以速度a平行于y轴正向行驶,缉私艇以速度b按指向走私船的方向行驶。在任意时刻t缉私艇位于P(x, y)点,而走私船到达Q(c, at)点,直线PQ与缉私艇航线(图中曲线)相切,切线与x轴正向夹角为。Q(c,at)P(x,y)R(c,y )0yxc缉私艇在x, y方向的速度分别为 ,由直角三角形PQR写出sin 和cos 的表达式,得到微分方程: (1) 初始条件为 (2) 这就是缉私艇位置(x(t), y(t)的
4、数学模型。但是由方程(1)无法得到x(t), y(t)的解析解,需要用数值算法求解。我们将在后面继续讨论这个问题。 sin,cosbdtdybdtdx2222)()()()()()(yatxcyatbdtdyyatxcxcbdtdx0)0(, 0)0(yx例例2 弱肉强食弱肉强食问题问题 自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式,比如相互竞争,即争夺同样的食物资源,造成一个种群趋于灭绝,而另一个趋向环境资源容许的最大容量;或者相互依存,即彼此提供部分食物资源,二者和平共处,趋于一种平衡状态;再有一种关系可称之为弱肉强食,即某个种群甲靠丰富的自然资源生存,而另一种群乙靠捕食种群
5、甲为生,种群甲称为食饵(Prey),种群乙为捕食者(Predator),二者组成食饵-捕食者系统。海洋中的食用鱼和软骨鱼(鲨鱼等)、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。这样两个种群的数量是如何演变的呢?近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究,建立了一系列数学模型,本节介绍的是最初的、最简单的一个模型,它是意大利数学家Volterra在上个世纪20年代建立的。模型模型 用x(t)表示时刻t食饵(如食用鱼)的密度,即一定区域内的数量,y(t)表示捕食者(如鲨鱼)的密度。假设食饵独立生存时的(相对)增长率为常数r0,即 ,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小量与捕
6、食者密度成正比,比例系数为a0,则 。 捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死亡率为常数d0,即 ,而食饵的存在为捕食者提供了食物,使捕食者的死亡率减小,设减小量与食饵密度成正比,比例系数为b0,则 ,实际上,当bxd时捕食者密度将增长。 给定食饵和捕食者密度的初始值x0, y0,由上可知x(t), y(t)满足以下方程: (3)(3)的解x(t), y(t)描述了食饵和捕食者密度随时间的演变过程。但是我们同样得不到x(t), y(t)的解析解,需要用数值算法求解。我们将在3继续讨论这个问题 00)0(,)0()()(yyxxbxydyybxdyaxyrxxayrxrxx/ ayrxx/dy
7、y/)(/bxdyy2 欧拉方法和龙格欧拉方法和龙格库塔方法库塔方法一阶常微分方程初值问题的一般形式为 y=(x,y) ,axb(4)y(a)=其中(x,y)是已知函数,为给定的初值. 如果函数(x,y)在区域axb,-y0为LipschitzLipschitz常数常数,则初值问题(4)有唯一解.yxyyLyxfyxf,),(),( 所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值. a=x0 x1x2xnxN=b其中剖分节点xn=a+nh,n=0,1,N, h称为剖分步长.数值解法就是求精确解y(x)在剖分节点xn上的近似值yny(xn), n=1,2,n
8、. 假设初值问题(4)的解y=y(x)唯一存在且足够光滑.对求解区域a,b做剖分 我们采用数值积分方法来建立差分公式. 2.1 2.1 构造数值解法的基本思想构造数值解法的基本思想 在区间xn,xn+1上对方程(4)做积分,则有对右边的积分应用左矩形公式,则有)5()(,()()(11nnxxnndxxyxfxyxy梯形公式oxyab左矩形公式y=(x)babfafabdxxf)()(2)(baafabdxxf)()()(右矩形公式babfabdxxf)()()(中矩形公式babafabdxxf)2()()(对右边的积分应用左矩形公式,则有)6()(,()()(11nnxxnndxxyxfxy
9、xy因此,建立节点处近似值yn满足的差分公式称之为EulerEuler公式公式. 称为梯形公式梯形公式. )(,()()(1nnnnxyxhfxyxy),(1nnnnyxhfyy1,2 , 1 , 0,0Nny 若对(6)式右边的积分应用梯形求积公式,则可导出差分公式1,2 , 1 , 0,0Nny),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 利用Euler方法求初值问题 解解 此时的Euler公式为称为EulerEuler中点公式中点公式或称双步双步EulerEuler公式公式. . 若在区间xn-1,xn+1上对方程(4)做积分,则有11)(,()()(11nnxxnndxxyxfx
10、yxy对右边的积分应用中矩形求积公式,则得差分公式),(211nnnnyxhfyy1,2 , 1 , 0,0Nny例例320 ,21122xyxy 0)0(y的数值解.此问题的精确解是y(x)=x/(1+x2).分别取步长h=0.2 ,0.1 ,0.05,计算结果如下)211(221nnnnyxhyy2 , 1 , 0,00nyhxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.20.000.400.801.201.602.000.000000.376310.542280.527090.466320.406820.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00
11、000-0.03148-0.05448-0.03529-0.01689-0.00682h=0.10.000.400.801.201.602.000.000000.360850.513710.509610.458720.404190.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.01603-0.02590-0.01781-0.00928-0.00419h=0.050.000.400.801.201.602.000.000000.352870.500490.500730.454250.402270.000000.344830.487800.49
12、1800.449440.400000.00000-0.00804-0.01268-0.00892-0.00481-0.00227Euler中点公式则不然, 计算yn+1时需用到前两步的值yn , yn-1 ,称其为两步方法两步方法,两步以上的方法统称为多步法多步法. 在Euler公式和梯形公式中,为求得yn+1,只需用到前一步的值yn,这种差分方法称为单步法单步法,这是一种自开始方法. 隐式公式中,每次计算yn+1都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好. 在Euler公式和Euler中点公式中,需要计算的yn+1已被显式表示出来,称这类差分公式为显式公式显式公式, ,而梯
13、形公式中,需要计算的yn+1隐含在等式两侧,称其为隐式公式隐式公式. 从数值积分的角度来看,梯形公式计算数值解的精度要比Euler公式好,但它属于隐式公式,不便于计算. 实际上,常将Euler公式与梯形公式结合使用: 2.2 改进的改进的Euler方法方法),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy1,2 , 1 , 0,0Nny),(01nnnnyxhfyy),(),(21111knnnnnknyxfyxfhyy1,2 , 1 , 0,0Nny 由迭代法收敛的角度看,当 (是给定的精度要求)时, 取 就可以保证迭代公式收敛, 而当h很小时, 收敛是很快的. 而且, 只要|111knkn
14、yy.111knnyy, 12Lyfh),(1nnnnyxhfyy),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy1,2 , 1 , 0,0Nny 通常采用只迭代一次的算法:称之为改进的改进的Euler方法方法. 这是一种单步显式方法. 改进的Euler方法也可以写成)(2211KKhyynn),(1nnyxfK 1,2 , 1 , 0,0Nny y=y-2x/y , 0 x1的数值解, 取步长h=0.1 . 精确解为y(x)=(1+2x)1/2.),(12hKyhxfKnn例例4 求初值问题 y(0)=1 解解 (1) 利用Euler方法nnnnyxyy/2 . 01 . 119 ,2 ,
15、 1 , 0,10ny)(05. 0211KKyynnnnnyxyK/219 ,2 , 1 , 0,10ny计算结果如下:1121 . 0) 1 . 0(21 . 0KyxKyKnnn (2) 利用改进Euler方法nxnEuler方法yn改进Euler法yn精确解y(xn)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.1918181.2774381.3582131.4351331.5089661.5803381.6497831.7177791.78477011.0959091.1840961.2662011.3433601.4164021.48
16、59561.5525151.6164761.6781681.73786911.0954451.1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051 在节点xn+1的误差y(xn+1)-yn+1 ,不仅与yn+1这一步计算有关,而且与前n步计算值yn,yn-1,y1都有关. 为了简化误差的分析,着重研究进行一步计算时产生的误差.即假设yn=y(xn),求误差y(xn+1)-yn+1,这时的误差称为局部截断误差局部截断误差,它可以反映出差分公式的精度.2.3 差分公式的误差分析差分公式的误差分析 如果单步差分公
17、式的局部截断误差为O(hp+1),则称该公式为p p阶方法阶方法.这里p为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高. 研究差分公式阶的重要手段是Taylor展开式,一元函数和二元函数的Taylor展开式为:另外,在yn=y(xn)的条件下,考虑到y(x)=(x,y(x),则有 321! 3)(! 2)()()()()(hxyhxyhxyxyhxyxynnnnnn2222222),(),(),(! 21),(),(),(),(kyyxfhkyxyxfhxyxfkyyxfhxyxfyxfkyhxfnnnnnnnnnnnnnn y(xn)=(xn,y(xn)=(xn,yn)=n y(xn)=(xn,
18、y(xn)=x(xn,yn)+y(xn,yn)(xn,yn)nnnfyfxfnnnnnnnnnnfyfyfxffyffyxfxfxy2222222)(2)( yn+1=yn+h(xn,yn) 对Euler方法,有 21! 2)()()()()(hxyhxyxyhxyxynnnnn =yn+(xn,yn)h+O(h2)从而有: y(xn+1)-yn+1=O(h2)所以Euler方法是一阶方法.再看改进Euler方法, 因为),(12hKyhxfKnn1hKyfhxffnnn)(21321222122222hOKhyfKhyxfhxfnnn可得所以, 改进的Euler方法是二阶方法.而nnnnnn
19、fyxfhhfyy221)(44222223hOfyffyxfxfhnnnnn)(! 3)(2)()()()(4321hOhxyhxyhxyxyxynnnnn nnnnnfyfxfhhfy22nnnnnnnnnfyfyfxffyffyxfxfh22222223)(26从而有: y(xn+1)-yn+1=O(h3)2.4 Taylor展开方法展开方法 设y(x)是初值问题(4)的精确解, 利用Taylor展开式可得称之为p阶Taylor展开方法. 1)1()(21)!1()(!)(! 2)()()()( pppnpnnnnhpyhPxyhxyhxyxyxy)()(,(!)(,(! 2)(,()(
20、1)1()1(2pnnppnnnnnhOxyxfPhxyxfhxyxhfxy因此,可建立节点处近似值yn满足的差分公式),(!),(! 2),()1()1(21nnppnnnnnnyxfPhyxfhyxhfyy1,2 , 1 , 0,0Nny),(),(),(),()1(yxfyyxfxyxfyxffyfyfxffyffyxfxfyxf2222222)2()(2),(其中所以,此差分公式是p阶方法. 由于Taylor展开方法涉及很多复合函数(x,y(x)的导数的计算,比较繁琐,因而很少直接使用,经常用它为多步方法提供初始值.然而, Taylor展开方法给出了一种构造单步显式高阶方法的途径. E
21、uler方法可写为 可见,公式的局部截断误差为: y(xn+1)-yn+1=O(hp+1).2.5 Runge-Kutta方法方法hKyynn1),(nnyxfK 构造差分公式 改进的Euler方法可写为)(2211KKhyynn),(1nnyxfK ),(12hKyhxfKnn)(22111ppnnKKKhyy),(1nnyxfK ),(12122KhyhxfKnn),(11piipinPnPKhyhxfK其中i,i,ij为待定参数. 若此公式的局部截断误差为由于 yn+1=yn+h1n+h2(n+hxn+hn yn)+O(h3)O(h3),称此公式为p p阶阶Runge-kuttaRung
22、e-kutta方法方法,简称p p阶阶R-KR-K方法方法. 对于p=2的情形, 应有)(22111KKhyynn),(1nnyxfK ),()7(12hKyhxfKnn =yn+h(1+2)n+h22(xn+n yn)+O(h3)(2)(321hOfffhhfyxyynnxnnnn所以,只要令 1+2=1, 2=1/2, 2=1/2 (8) 一般地, 参数由(8)确定的一族差分公式(7)统称为二二阶阶R-KR-K方法方法. .称之为中点公式中点公式,或可写为若取=1,则得1=2=1/2,=1,此时公式(7)就是改进的Euler公式; 若取1=0,则得2=1,=1/2,公式(7)为21hKyy
23、nn),(1nnyxfK ),(121212hKyhxfKnn),(,(21211nnnnnnyxhfyhxhfyy 高阶R-K公式可类似推导. 下面列出常用的三阶、四阶R-K公式. 四阶标准四阶标准R-KR-K公式公式 三阶三阶R-KR-K公式公式)4(63211KKKhyynn),(1nnyxfK )2,(213hKhKyhxfKnn)22(643211KKKKhyynn),(1nnyxfK ),(121212hKyhxfKnn),(34hkyhxfKnn),(121212hKyhxfKnn),(221213hKyhxfKnn 解解 四阶标准R-K公式为)22(4321611KKKKhyy
24、nnnnnyxyK/21例例3 用四阶标准R-K方法求初值问题 y=y-2x/y , 0 x1 y(0)=1的数值解, 取步长h=0.2 .)/()2(2212213hKyhxhKyKnnn)/()2(1211212hKyhxhKyKnnn)/()(2334hKyhxhKyKnnn计算结果如下:nxnyny(xn)nxnyny(xn)0120.00.20.41.001.18321.34171.001.18321.34163450.60.81.01.48331.61251.73211.48321.61251.7321 也可以构造隐式R-K方法,其一般形式为prrrnnKhyy11prKhyhxf
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