高中数学说题比赛优秀作品《一题六法》 PPT课件

1、数学说题数学说题解题解题方法方法说题说题引入引入解题解题思路思路高考高考链接链接 结束语结束语说说 题题题目题目变式变式一、说题引入一、说题引入v数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之为为“数学美数学美”。正因为这。正

2、因为这“数学美数学美”，科学得以，科学得以巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数学的世界就是美的世界。学的世界就是美的世界。二二. .解题思解题思路路已知求证解题关键题目出处题目出处条件信息13,yxx2224331、

3、已知函数、已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2它选自它选自2012年江苏南通数学模拟卷三，知识点涉及年江苏南通数学模拟卷三，知识点涉及已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳，已知函数求最值问题，可考查学生的观察与归纳，化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。母化归与转化，函数与方程，数与形等知识能力。母题可见于题可见于选修选修1-1第四章习题第四章习题4-1A组第组第3题。题。 二二. .解题思解题思路路已知求证已知求证解题关键题目出处条件信息13,yxx2224331、已知函数、已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2已知

4、点为给出函数解析式，求证点为求该函数的最已知点为给出函数解析式，求证点为求该函数的最大值，题眼为观察式子结构，定义域大值，题眼为观察式子结构，定义域 二二. .解题思解题思路路已知求证解题关键题目出处条件信息条件信息13,yxx2224331、已知函数、已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)23,1 , 134.xx隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为且有且有二二. .解题思解题思路路已知求证解题关键解题关键题目出处条件信息13,yxx2224331、已知函数、已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)

5、2易错点，易混点，关键点都在定义域和式子的结易错点，易混点，关键点都在定义域和式子的结构。构。 解法解法1，函数单调性，函数单调性解法解法4 4，柯西不等式，柯西不等式解法解法3 3，基本不等，基本不等式式解法解法5 5，三角代换，三角代换解法解法6 6，数形结合，数形结合1 1解法解法2 2，平方法，平方法三三. .解题方法解题方法解法解法探究探究三三. .解题方法解题方法解法解法1 1，函数单调性，函数单调性想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。依题意，函数的依题意，函数的13yxx 3,1110,1232 1yxxx得 1x 1,11

6、,2 2;xy取有3,2;xy 取有1,2xy取有。13yxx 2 2的定义域是的定义域是令令显然在显然在 内是单调内是单调内是单调递减函数，即函数在内是单调递减函数，即函数在处取得极值。我们都知道连续函数的最值必处取得极值。我们都知道连续函数的最值必 综上，有函数综上，有函数的最大值是的最大值是故选（故选（C）3, 1递增函数，在递增函数，在在极值处或区间端点取得在极值处或区间端点取得，13,yxx2224331、已知函数、已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2三三. .解题方法解题方法解法解法1 1，函数单调性，函数单调性解法步骤：解法步骤：1、求导、求导;

7、2、令、令 求出相应方程的根求出相应方程的根; 并判断根两侧的符号并判断根两侧的符号;3、求出极值，端点的函数值、求出极值，端点的函数值;4、比较得出最值、比较得出最值. 0f x求求 导导求求 根根求求 值值比较比较三三. .解题方法解题方法解法解法2 2，平方法，平方法2222max13132 13422342(1)4133,1182 2yxxyxxxxxxxyxxxyy 把两边平方得函数的的定义域是根据二次函数的性质，显然当时的最大值为 ，即故选（C）点评：点评：平方后化归为二次函数的最值问题平方后化归为二次函数的最值问题三三. .解题方法解题方法解法解法3 3，基本不等式，基本不等式2

8、222222222222max2222422221, 313132,222 2Cababababababababababxaxbxxxxy在基本不等式两边同时加上，有两边同时除以 ，整理得，即对于本题，令，代入上式有所以故选（ ）点评：点评：应用基本不等式注意：应用基本不等式注意：一正，二定，三等一正，二定，三等.三三. .解题方法解题方法解法解法4 4，柯西不等式，柯西不等式22222222221,1,1,3,(1 113)11138138 2 2Cac bdabcdabcx dxxxxxxx 我们大家都知道著名的柯西不等式对于本题来讲，我们令则有即故选（ ）点评：点评：应用柯西不等式需注意

9、到它的结构应用柯西不等式需注意到它的结构三三. .解题方法解题方法解法解法5 5，三角代换，三角代换22max( 1)(3)412cos , 32sin0,2132cos2sin2 2sin42 2C4xxxxxxy注意到容易想到令其中,于是当时，有故选（ ）换元后注意新元的范围换元后注意新元的范围点评：点评：三三. .解题方法解题方法解法解法6 6，数形结合，数形结合1 122max1341,32 2Cxxux vxyuvyy注意到形式很像圆的方程，我们可以令则有于是原题变为的最大值我们可以把 看成直线的截距，如图，很明显故选（ ）解法解法7，数形结合，数形结合2解法解法1010，对称性法，

10、对称性法解法解法9 9，构造对偶函数，构造对偶函数解法解法11 11，向量法，向量法解法解法1212，公式法，公式法解法解法8 8，利用充要条件，利用充要条件三三. .解题方法解题方法解法解法展示展示三三. .解题方法解题方法解法解法7 7，数形结合，数形结合2 222max1341,3|11222Cxxux vxyuvydrdry注意到形式很像圆的方程，我们可以令则有于是原题变为的最大值而直线与圆相切时有于是因此，故选（）三三. .解题方法解题方法解法解法8 8，直线与椭圆相切的充要条件，直线与椭圆相切的充要条件222222222222max0101441 4 1 42 2CxyAxByCa

11、bA aB bCuvuvyyy 直线与椭圆相切的充要条件为把圆看成特殊的椭圆，那么直线与圆相切需满足因此故选（ ）三三. .解题方法解题方法解法解法9 9，构造对偶函数，构造对偶函数22222maxmin13138,813132,2 ,0,4882 2yxxYxxyYyYYxxYxxyY 2依题意我们构造于是即显然故即Y三三. .解题方法解题方法解法解法1010，对称性法，对称性法22max1,34(0,0),22 2ux vxuvuvu vu vuvuvyu v 对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等）时，两变量相等时，可使目标函数取得最值。令，则有去求的最大值显然两个变量对称，故令

12、则有，。三三. .解题方法解题方法解法解法1111，向量法，向量法max| |(1,1),1,3| (1,1)1,3 |111313242 22 2Ca bababxxxxxxxxy 根据向量不等式令，代入上式，有即因此故选（）三三. .解题方法解题方法解法解法1212，公式法，公式法22max22max13111322Cyacxbdxyabcdyxxyabcd结论：函数的最大值为对于本题求函数的最大值，有故选（）.三三. .解题方法解题方法解题思想，方法和规律总结解题思想，方法和规律总结解决此题我想到了十二种方法，全部属于解决此题我想到了十二种方法，全部属于高中数学中常用的方法，属通性通法，

13、这些方高中数学中常用的方法，属通性通法，这些方法中涉及到了法中涉及到了函数与方程函数与方程，化归与转化化归与转化，数形数形结合结合，构造函数构造函数等数学思想。等数学思想。 四四. .题目变式题目变式变变式式题题四四. .题目变式题目变式变变式式题题1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式。式子结构进行变式。11yxx求函数的值域.7222,yxx已知函数则它的最小值为225422,xxf xxx已知函数（）则它的最小值为2261345yxxxx11,1,222a ba bab 已知为正实数，且求证：2、该题的变式题可以设计

14、出如下一些、该题的变式题可以设计出如下一些：变式变式2：变式变式3：变式变式4：求函数：求函数变式变式5：变式变式1：的值域。的值域。四四. .题目变式题目变式变变式式题题1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式。式子结构进行变式。2、该题的变式题可以设计出如下一些、该题的变式题可以设计出如下一些：11yxx求函数的值域.变式变式1：13,yxx222433原题：原题：已知函数已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2点评：对已知和求进行变式点评：对已知和求进行变式四四. .题目变式题目变式变变式

15、式题题1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式。式子结构进行变式。2、该题的变式题可以设计出如下一些、该题的变式题可以设计出如下一些：13,yxx222433原题：原题：已知函数已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2点评：利用结构进行变式点评：利用结构进行变式7 222,yxx已知函数则它的最小值为变式变式2：和和=4和和=9四四. .题目变式题目变式变变式式题题1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式。式子结构进行变式。2

16、25422,xxf xxx已知函数（）则它的最小值为2261345yxxxx2、该题的变式题可以设计出如下一些、该题的变式题可以设计出如下一些：变式变式3：变式变式4：求函数求函数的值域。的值域。13,yxx222433原题：原题：已知函数已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2点评：变点评：变3可用单调性解决，变可用单调性解决，变4数形结合最方便数形结合最方便四四. .题目变式题目变式变变式式题题1、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，、变式该题可以从已知求证变，也可以从隐藏条件，式子结构进行变式。式子结构进行变式。2、该题的变式题可以设计出如下一些、该

17、题的变式题可以设计出如下一些：13,yxx222433原题：原题：已知函数已知函数则它的最大值为则它的最大值为( ) (D)(A)(C)(B)2点评：题型改变但实质一样点评：题型改变但实质一样11,1,222a ba bab 已知为正实数，且求证：变式变式5：五五. .高考链接高考链接23132( )31f xxxx函数在 处处取得极小值取得极小值.(0,)x( )f x已知函数已知函数,求函数求函数的最大值的最大值. 3,f xx g xxxh xf xg x 已知函数（1）求函数的零点个数，并说明理由. ln1f xx x 结束语结束语这道简单的模拟题我想到了这十二种思路解法和五个变式题，

18、这道简单的模拟题我想到了这十二种思路解法和五个变式题，一叶而知秋，我们可想数学世界里有多少这样的一叶而知秋，我们可想数学世界里有多少这样的“数学美数学美”。所以。所以在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，采用题在我们数学教学的过程中，不能盲目的追求数量不顾质量，采用题海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思海战术，而更应该去教会学生思考，善于思考，进行一道题目多思路解法的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和路解法的训练和变式训练，更能让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃，提高学生思维的敏捷性和灵活性，从而提高分析与解答数学活跃，提高学生思维的敏捷性和

19、灵活性，从而提高分析与解答数学题的能力。通过对一道题目多思路解法，多变式训练，既能促使学题的能力。通过对一道题目多思路解法，多变式训练，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。同时学生等基本的数学思想。同时学生可以通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从可以通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思

20、考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使自己感受到成功的喜悦和发现问题，形成良好的思维品质，而且使自己感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。 六六. .总结总结结束语结束语六六. .总结总结数学的世界里并不是缺少美，而是缺少一个善于思考的大脑。数学的世界里并不是缺少美，而是缺少一个善于思考的大脑。如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里“天生我材必有用天生我材必有用”；如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里“柳暗花明又一村柳暗花明又一村”；如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里如果你热爱数学，请多思考，在数学的世界里“海阔凭鱼跃，天高海阔凭鱼跃，天高任鸟飞任鸟飞”。在数学的天地里，重要的不在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！怎么知道什么！毕达哥拉斯毕达哥拉斯谢谢，请多提宝贵意见！谢谢，请多提宝贵意见！