苏州无锡常州镇江2022届高三数学教学情况第一次调研试卷及答案.pdf

1、高三数学 第1页（共 5 页） 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （一） 数 学 2022.03 注意事项：注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

2、题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1设全集U = R，集合 |21Ax x=， |240 xBx= ， 则集合()UAB = A(1) ， B(1 ， C1) ， D1 ， 2在41xx的二项展开式中，第二项的系数为 A4 B4 C6 D6 3i 是虚数单位，设复数 z 满足3iii22z = + ，则 z 的共轭复数z = A1i B1i + C1i D1i+ 4如果在一次实验中，测得()x y ，的五组数值如下表所示， x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 经计算知，y 对 x 的线性回归方程是6.5yxa=+，预测当6x =时，y = 附：在线性回归方程yabx=

3、+中，1221( )niiiniix yn x ybxn x= =， ayb x= ，其中x y ，为样本平均值 A47.5 B48 C49 D49.5 高三数学 第2页（共 5 页） 5平面内三个单位向量 ，a b c满足23+=0abc，则 A ，a b方向相同 B ，a c方向相同 C ，b c方向相同 D ，a b c两两互不共线 6若双曲线2213C yx =：（0）的右焦点与抛物线228Cyx =：的焦点重合， 则实数= A3 B3 C3 D3 7有 5 个相同的球，其中 3 个红色、2 个蓝色，从中一次性随机取 2 个球，则下列说法正确的是 A“恰好取到 1 个红球”与“至少取到

4、 1 个篮球”是互斥事件 B“恰好取到 1 个红球”与“至多取到 1 个篮球”是互斥事件 C“至少取到 1 个红球”的概率大于“至少取到 1 个篮球”的概率 D“至多取到 1 个红球”的概率大于“至多取到 1 个篮球”的概率 8正四面体 ABCD 的棱长为 a，O 是棱 AB 的中点，以点 O 为球心的球在BCD上截得的曲线与 CD 相切，则球 O 的体积是 A316a B326a C336a D323a 二、二、选择选择题：本题题：本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求. 全部选

5、对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9记nS为等差数列na的前 n 项和，则 A6422SSS= B()6423SSS= C24264nnnnnSSSSS ，成等差数列 D624246SSS ， ，成等差数列 10某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼 学生的体能检测结果 X 服从正态分布 N （75， 81） ， 其中 60 为体能达标线，90 为体能优秀线，下列说法正确的有 附：随机变量 服从正态分布2()N ，则()06826P+= ， (22 )09544P+= ，(33 )09974P

6、+= A该校学生的体能检测结果的期望为 75 B该校学生的体能检测结果的标准差为 81 C该校学生的体能达标率超过 0.98 D该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 高三数学 第3页（共 5 页） 11下列函数中，最大值是 1 的函数有 Asincosyxx=+ B22sincosyxx= C224sincosyxx= Dtan tan2tan2tanxxyxx= 12已知函数e( )lnxf xaxxx=+（aR），若对于定义域内的任意实数 s，总存在实数 t 使得( )( )f tf s，则满足条件的实数 a 的可能值有 A1 B0 C1e D1 三、填空题填空题：本题：本题共共

7、 4 小题，小题，每小题每小题 5 分分，共，共 20 分分. 13 已知圆柱和圆锥的底面重合， 且母线长相等， 设圆柱和圆锥的表面积分别为1S，2S，则12SS= 14已知圆 C：22(2)(4)2xy+=，点 A 是x轴上的一个动点，直线 AP，AQ 分别与圆C相切于P， Q两点， 则圆心C到直线PQ的距离的取值范围是 15已知( )f x是定义在R上的奇函数，且(1)2 (1)fxfx+=若当(0,1x时，( )1 |21|f xx= ， 则( )f x在区间( 1 3) ，上的值域为 ，4( )( )5g xf xx=在区间( 1 3) ，内的所有零点之和为 16已知函数( )3sin

8、()f xx=+（0， 2）在一个周期内的图象如图所示， 其中点 P，Q 分别是图象的最高点和最低点， 点 M 是图象与 x 轴的交点，且MPMQ 若13( )22f=，则tan= MQPx y O 高三数学 第4页（共 5 页） 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 在10 2sinsin9BC+=，10coscos9BC+=，5bc+=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC的内角A B C ，的对边分别为a b c ，且3a =，

9、2 2sin3A =， ，求ABC的面积 18（12 分） 某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置优、良、中三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，且不能参加后续的项目通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得优、良、中的概率都分别为1623pp ， ，且甲在每个项目中的成绩均相互独立 （1）求甲能进入到数学建模社团的概率； （2）设甲在本次数学建模社团选拔中

10、恰好通过 X 个项目，求 X 的概率分布及数学期望 19. （12 分） 已知数列na中11a =，且11(1)nnaan n+=+，*nN （1）求数列na的通项公式； （2）记数列2na的前 n 项和为nS，求证：421nnSn+ 高三数学 第5页（共 5 页） 20（12 分） 如图， 在直三棱柱111ABCABC中，ABC是以 BC为斜边的等腰直角三角形，1AAAB=，点 D，E 分别为棱 BC，11BC上的点，且111C EBDtBCC B=（01t ） （1）若12t =，求证：AD平面1AEB； （2）若二面角1CADC的大小为3，求实数 t 的值 21（12 分） 已知椭圆22

11、221xyCab +=：（0ab）的离心率为22，且椭圆C的右焦点 F 到右准线的距离为3点A是第一象限内的定点，点 M，N 是椭圆C上两个不同的动点，且直线 AM，AN 的倾斜角互补 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线 MN 的斜率1k =，求点 A 的坐标 22（12 分） 已知实数0a ，函数( )2lnln(e)f xxaaxx=+，e 是自然对数的底数 （1）当ea =时，求函数( )yf x=的单调区间； （2）求证：( )f x存在极值点0 x，并求0 x的最小值 （第 20 题图） C1B1A1EDCBA高三数学 第1页（共 6 页） 20212022 学年度苏锡常镇四市

12、高三教学情况调研 （一） 数学（参考答案） 2022.03 一、选择题：一、选择题： 1C 2B 3D 4B 5A 6D 7C 8D 二、二、选择选择题：题： 9BCD 10AD 11BC 12AB 三、填空题填空题： 132 141(02 ， 15 2 2 ，52 1632 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 解：10 25sinsinsin93BCA+=，由正弦定理sinsinsinABCaac=， 可得553bca+=以下如所示以下如所示 因为10cos

13、cos9BC+=，由余弦定理得22222210229acbabcacab+=， 所以22222220()()9b acbc abcabc+=， 所以22220()(2)9bc abcbcabc+=，其中2222cosabcbcA= ， 所以10()(1cos )9bcAa+= 4 分 若 A 为锐角，则281cos1sin193AA=，则5bc+= 由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc+= =， 所以6bc =，又5bc+=，解得23bc= =，或32bc= =， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA= = 8 分 高三数学 第2页（共 6 页）

14、 若 A 为钝角，则281cos1sin193AA= = = ，则532bca+=，舍去 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 因为5bc+=，由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc+= = 3 分 若 A 为锐角，则281cos1sin193AA=，则8113bc =， 所以6bc =，又5bc+=，解得23bc= =，或32bc= =， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA= = 7 分 若 A 为钝角，则281cos1sin193AA= = = ，则8113bc = ， 所以12bc =，又5bc+=，无解，舍去 9 分 综上可得，ABC

15、的面积为2 2 10 分 18（12 分） 解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件， 由题意得，11623pp + + =，解得1p = 所以甲在每个项目中通过的概率都为12623p+= 2 分 设事件 A 为甲能进入到数学建模社团， 因为甲在每个项目中通过的概率都为23，且在每个项目中的成绩均相互独立， 所以( )222833327p A = 答：甲能进入到数学建模社团的概率为827 5 分 （3）X 的可能取值为 0，1，2，3 6 分 ()103P X =；()2121339P X =； ()2214233327P X =；()2228333327P X = 高三数学 第3

16、页（共 6 页） 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 13 29 427 827 10 分 所以 X 的数学期望 E(X)124838012339272727+ + = 12 分 19. （12 分） 解：（1）1111(1)1nnaan nnn+= =+ 1 分 当2n时，211121aa=，321132aa=，1111nnaann=， 相加得1111naan=，所以1nan= 3 分 当1n =时，11a =也符合上式，所以数列 na的通项公式1nan= 5 分 （2）由（1）得221nan=， 所以2221111111111()()42222nannnnnn=+ 8 分 所以

17、222111111111111112222222211112nSnnn+=+， 4111122112nnn=+ 所以421nnSn+ 12 分 20（12 分） 解：（1）当12t =时，11112C EBDtBCC B= =，即点 D，E 分别为 BC，11BC的中点， 在直三棱柱111ABCABC中，11AABB，11AABB=，平面11BBC C为平行四边形， 连接 DE，则1DEBB，1DEBB=，所以1DEAA，1DEAA=， 所以四边形1DEAA是平行四边形，所以1ADAE 3 分 高三数学 第4页（共 6 页） 又因为AD 平面1AEB，1AE 平面1AEB， 所以AD平面1AE

18、B 5 分 （2）方法一：方法一：在平面 ABC 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结1C H，则 1C HC为二面角1CADC的平面角，即13C HC=， 在直角三角形1C HC中，13C C =，所以3CH = 在直角三角形CHA中，3CH =，3AC =， 所以32sin32CHCAHAC=，又因为CAH为锐角， 所以6cos3CAH=且04CAH ， 所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 CDA中，62 3sinsin()46CDHCAH+=+=，63 2sinCHCDCDH=，所以3 2(63 2)223 2BDtBC= 12 分 方法二：方法二：1AA 平面AB

19、C，又90BAC=，以1AB AC AA， ，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则点(0 0 0)A ， ，(30 0)B ， ，(030)D ， ，1(0 33)C， ， 从而1(033)AC =， ，(3 3 0)BC = ，(30)BDtBCtt= ， 所以(3330)ADtt= ， ， 设平面1AC D的一个法向量为1()nx y z= ， 由11100nnACAD= = ， 有030(1)333t xtyyz+= = ， 取1(1 1)nt tt= ，又平面 ADC 的一个法向量为2(0 0 1)n = ， 因为二面角1CADC的大小为3，所以12121cos32nnn

20、 n= 9 分 即2112342ttt=+，得2420tt+=， 又因为01t ，所以22t = 12 分 HDCAB高三数学 第5页（共 6 页） 21（12 分） 解：（1）因为椭圆 C 的离心率为22，且其右焦点 F 到右准线的距离为3， 所以22ca=，且23acc=，解得6a =，3c = 2 分 所以2223bac=，所以椭圆C的标准方程为22163xy+= 4 分 （2）设直线 MN 的方程为yxm=+，点11()M xy ，22()N xy ，00()A xy ， 直线 MN 的方程与椭圆方程联立得22163xyyxm+= =+ ， 则2234260 xmxm+=，所以1221

21、222432631612(26)0 xxmmx xmm+= = = ， 由102010200yyyyxxxx+=，得120012002()()2()0 x xmxyxxx my+= 所以200002642()()2()033mmxymx my+=，整理得， 00002(2)2403yx mx y+=， 所以000020240yxx y= = ， 10 分 因为点 A 在第一象限，所以0021xy= = ， 所以点 A 的坐标为(2 1)A ， 12 分 高三数学 第6页（共 6 页） 22（12 分） 解：（1）当ea =时，2( )eln(e)f xxxx=+， 则2e2(12e)e(21)

22、(e)( )12(e)=xxxxfxxxxx+= +=，（0 x ） 令( )0fx，得ex ；令( )0fx，得ex ； 所以，函数( )yg x=的单调增区间为(e,)+，单调减区间为(0,e) 3 分 （2）22(ln2e)( )ln2(e)axaxafxaxxx+=+=， 令2( )2(ln2e)0t xxaxa=+=，因为2(ln2e)80aa =+， 所以方程22(ln2e)0 xaxa+=，有两个不相等的实根12x x ，（12xx）， 又因为1202ax x = ，所以120 xx，令02xx=，列表如下 x 0(0)x ， 0 x 0()x +， ( )fx 0 + ( )f

23、 x 减 极小值 增 所以( )f x存在极值点0 x 7 分 因为2002(ln2e)0 xaxa+=，所以200022elnxxaxa=， 记0( )lnu ttxt= ，0( )1xu tt= ， 当00tx 时，( )0u t，( )u t单调递减；当0tx时，( )0u t，( )u t单调递增 所以当0tx=时，0( )lnu ttxt= 的最小值为0000()lnu xxxx= 所以200000022elnlnxxaxaxxx=， 即200002(2e1)ln0 xxxx+， 10 分 因为00 x ，所以002ln(2e1)0 xx+， 因为( )2ln(2e1)v ttt=+在(0) +，上单调递增，且0()(e)0v xv=， 所以0ex ，则0 x的最小值是 e 12 分