完全完美信息动态博弈课件.ppt

1、 1.参与者1从可行集A1中选择一个行动a1； 2.参与者2观察到a1之后从可行集A2中选择一个行动a2； 3.两人的收益分别为u1（a1,a2)和u2（a1,a2)； 完全且完美信息动态博弈的主要特点是： (1)行动是顺序发生的； (2)下一步行动选择之前，所有以前的行动都可被观察到； (3)每一可能的行动组合下参与者的收益都是共同知识。4.1.1 阶段和扩展性表示动态博弈中一个博弈方的一次选择行为。 动态博弈最好的表示方法：扩展型（博弈树）。 例子：仿冒和反仿冒博弈 并不是所有的动态博弈都 可以用扩展形表示，比如 动态博弈的阶段很多：象棋。 战略空间是连续函数：产量。ABBA不制止制止（-

2、2，5）（2，2）（10，4）（5，5）不仿冒（0，10）仿冒不制止制止仿冒不仿冒4.1 动态博弈的表示法和特点4.1.2 动态博弈的基本特点是在整个博弈中所有选择、行为的计划，不能分割。是上述“计划型”策略的策略组合，构成一条路径.对应每条路径，而不是对应每步选择、行为. 动态博弈的非对称性先后次序决定动态博弈必然是非对称的。先选择、行为的博弈方常常更有利，有“先行优势”。4.2 可信性和纳什均衡的问题 动态博弈中各个博弈方的策略是自己设定的，在各个博弈阶段，针对实际情况可以进行随机的选择，这称为“相机选择”。 相机选择的存在使得博弈方的策略的可信性值得怀疑，也就是说博弈方是否会真正始终按照

3、自己策略所设定的方案行为还是临时改变主意？ 比如下面的例子： 在这个例子中， 关键是对甲的行为有所约束。4.2.1 相机选择和策略中的可信性问题乙甲（0，4）（2，2）（1，0）不借借分不分开金矿博弈不同版本的开金矿博弈分钱和打官司的可信性不借乙甲乙借不分分（1，0）不打打（0，4）（1，0）（2，2）有法律保障的开金矿博弈分钱打官司都可信乙甲乙打（2，2）不分分不借借（0，4）（-1，0）不打（1，0）法律保障不足的开金矿博弈分钱打官司都不可信 第一个图中，通过法律手段使乙的利益得到保障，这样乙的完整策略：“第一阶段借，如果第二阶段甲不分，第三阶段打官司。”甲的完整策略是：“第二阶段分。”这

4、是这个3阶段动态博弈的解。 但是第二个图中，乙的利益在法律的情况下仍然得不到保障，可以看出法律在社会中的重要性。4.2.2 纳什均衡的问题 第三种开金矿博弈中， （不借-不打，不分）和（借-打，分）都是纳什均衡。但后者不可信，不可能实现或稳定。 结论结论：纳什均衡在动态博弈可能缺乏稳定性，也就是说，在完全信息静态博弈中稳定的纳什均衡，在动态博弈中可能可能是不稳定的，不能作为预测的基础。 根源根源：纳什均衡本身不能排除博弈方策略中包含的不可信的行为设定，不能解决动态博弈的相机选择引起的可信性问题4.2.3 逆推归纳法定义定义：从动态博弈的最后一个阶段博弈方的行为开始分析，逐步倒推回前一个阶段相应

5、博弈方的行为选择，一直到第一个阶段的分析方法，称为“逆推归纳法逆推归纳法”。 逆推归纳法是动态博弈分析最重要、基本的方法。乙不借借（1，0）甲不分分（0，4）（2，2） 一个两阶段动态博弈逆向归纳法的公式化表达： 当在博弈的第二阶段参与者2行动时，由于其前参与者1已选择行动a1，他面临的决策间题可用下式表示: 假定对A1中的每一个a2，参与者2的最优化问题只有惟一解，用R 2(a1)表示，这就是参与者2对参与者1的行动的反应(或最优反应)。 由于参与者1能够和参与者2一样解出2的问题，参与者1可以预测到参与者2对1每一个可能的行动a1所作出的反应，这样1在第一阶段要解决的问题可以归结为： 假定

6、参与者1的这一最优化问题同样有惟一解，表示为a1*，我们称 是这一博弈的逆向归纳解。 逆向归纳解不含有不可置信的威胁:参与者1预测参与者2将对1可能选择的任何行动a1做出最优反应，选择行动R2(a1)。 由于动态博弈中纳什均衡是不可靠的，不具备稳定性，因此要发展能排除不可信行为的新的均衡概念。赛尔腾（1965）提出了子博弈完美纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium)的概念。 要介绍子博弈完美纳什均衡，必须先了解子博弈的概念。4.3 子博弈和子博弈完美纳什均衡3.3.1 子博弈定义：由一个动态博弈第一阶段以外的某阶段开始的后续博弈阶段构成的，有初始信息集和进行

7、博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈的一部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”。 首先子博弈不能包含原博弈的第一个阶段，这意味着动态博弈本身不会是他自己的子博弈。 其次子博弈必须有一个明确的信息集，不能分割任何信息集，在多节点信息集合的不完美信息集中有可能不存在子博弈。乙甲不借借不分分（1，0）（0，4）（2，2）乙（-1，0）3.3.2 子博弈完美纳什均衡定义定义： 子博弈完美纳什均衡本身也是纳什均衡，不过它是比纳什均衡更强的解。 子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁和承诺，因此是真正稳定的。 子博弈是倒着看的，从最小的子博弈开始我们就找稳定策略组合，直至最开始的节点，那

8、么当然是稳定的了。大家会发展这正是逆推归纳法。 逆推归纳法是求完美信息动态博弈子博弈完美纳什均衡的基本方法。 我们将定义子博弈完美纳什均衡为：一个完全且完美信息动态博弈可能会有多个均衡，但惟一的子博弈完美纳什均衡就是与逆向归纳解相对应的均衡。正如我们在前面所观察到的，有些博弈会有多个纳什均衡，但有一个均衡明显占优，成为博弈的解。 比如，上例分钱博弈中，双方的策略组合“乙第一阶段选择借，第二阶段选择打;甲第二阶段选择分”虽然是整个博弈的一个纳什均衡，但这个策略组合中乙的策略要求乙在第三阶段单人博弈构成的子博弈中选择的“打” 不是该子博弃的一个纳了卜均衡，因此根据子博弈完美纳什均衡的定义判断，这个

9、策略组合不是子博弈完美纳什均衡。这也是上述纳什均衡策略组合不稳定的根源。 策略组合“乙在第一阶段选择不借、如果有第三阶段选择则选择不打;甲如果有第二阶段选择选不分”，则是了博弈完美纳什均衡，因为该策略组合的双方策略不但在整个博弈中构成纳什均衡，而且在两级子博弈中也都构成纳什均衡。 值得注意的是，当两个博弈方按照上述子博弈完美纳什均衡策略组合行为时，实际上不会进行到博弈的第二、第三阶段，两个博弈方在第二、二阶段的行为实际上不会发生。我们称此时第二阶段甲的选择点和第三阶段乙的选择点为的，两博弈方的策略在这两个节点的选择称为“不在均衡路径上的选择”。我们必须强调，子博弈完关纳什均衡必须对博弈方在所有

10、选择节点处的选择都作出规定，包括最终不在均衡路径土几的节点，不管是在均衡路径上的选择还是不在均衡路径。 最后，我们探讨逆向归纳法背后的理性假定。看下面的例子： 我们用博弈树表示一个动态博弈，树上每一枝的末端都有两个收益值，上面代表参与者1的收益，下面代表参与者2的收益。考虑下面的三步博弈，其中参与者1有两次行动:4.3.3 逆向归纳法背后的理性假设 为计算出这一博弈的逆向归纳解，我们从第三阶段(即参与者1的第二次行动)开始。这里参与者1面临的选择是L。那么在第二阶段，参与者2预测到一旦博弈进入到第三阶段，则参与者1会选择L ，这会使2的收益为0，从而参与者2在第二阶段的选择为:L可得收益1,

11、R“可得收益0，于是L是最优的。 这样在第一阶段，参与者1预测到如果博弈进入到第二阶段，2将选择L，使参与者1的收益为1，从而参与者1在第一阶段的选择是:L收益为2, R收益为1,于是L是最优的。 上述的求解过程求出：参与者1在第一阶段的最优选择是L，从而博弈结束。 但是即使逆向归纳预测博弈将在第一阶段结束，我们论证过程的重要部分却是考虑如果博弈不在第一阶段结束时可能发生的情况。 比如在第二阶段，当参与者2预测如果博弈进入第三阶段，则1会选择L，这时2假定1是理性的。由于只有在1偏离了博弈的逆向归纳解，才能轮得到2选择行动，而这时2对1的理性假定便看似是矛盾的，即如果1在第一阶段选择了R，那么

12、第二阶段2就不能再假定1是理性的了。但这种理解是不对的。 如果1在第一阶段选择了R，则两个参与者都是理性的就不可能是共同知识，但这时1仍有理由在第一阶段选择R，却不与2对1的理性假定相矛盾。 一种可能是“参与者1是理性的”是共同知识，但“参与者2是理性的”却不是共同知识:如果1认为2可能不是理性的，则1就可能在第一阶段选择R，希望2在第二阶段选择R，从而给1以机会在第三阶段选择L。另一种可能是“参与者2是理性的”是共同知识，但“参与者1是理性的”却不是共同知识:如果1是理性的，但推测2可能认为1是非理性的。 这时1也可能在第一阶段选择R，希望2会认为1是非理性的而在第二阶段选择R，期望1能在第

13、三阶段选择R。逆向归纳中关于1在第一阶段选择R的假定可通过上面的情况得到解释。不过在有些博弈中，对1选择了R的更为合理的假定是1确实是非理性的。4.4 四个经典的动态博弈例子 1.1.斯塔克尔贝里双头垄断模型斯塔克尔贝里双头垄断模型 斯塔克尔贝里(1934)提出一个双头垄断的动态模型，其中一个支配企业(领导者)首先行动，然后从属企业(追随者)行。比如在美国汽车产业发展史中的某些阶段，通用汽车就扮演过这种领导者的角色(这一例子把模型直接扩展到允许不止一个追随企业，如福特、克莱斯勒等等)。根据斯塔克尔贝里的假定，模型中的企业选择其产量，这一点和古诺模型是一致的(只不过古诺模型中企业是同时行动的，不

14、同于这里的序贯行动)。 这里P(Q)=a-Q，是市场上的总产品Q=q1+q2时的市场出清价格，c是生产的边际成本，为一常数(固定成本为0)。 为解出这一博弈的逆向归纳解，我们首先计算企业2对企业1任意产量的最优反应，R2(q1)应满足: 博弈的时间顺序如下: (1)企业1选择产量q1 0; (2)企业2观测到然后选择产量q2 0 (3)企业1的收益由下面的利润函数给出： 对上面的通过求极值可得： 已知q1 w(S)-S w(E) w(S)+E-S其经济含义是只有代理人努力工作的报酬到达偷懒的时候的基本报酬，还有至少一个不低于能补偿努力和偷懒的负效用的增加额才可以。参与约束：22R(E)-w(E

15、), w(E)-E拒绝接受拒绝接受R(0),0R(S)-w(S), w(S)-SR(0),0接受：w(E)-E0接受：w(S)-S0参与约束 委托人的选择(面临两种情况）11不委托委托委托R(S)-w(S), w(S)-SR(0),0R(E)-w(E), w(E)-E不委托R(0),0委托： R(E)-w(E) R(0)不委托： R(E)-w(E) R(0)不委托： R(S)-w(S) 0不委托： 0.1*20-w(S) +0.9*10-w(S)0不委托：0.9*20-w(E)+0.1*10-w(E)0.1*w(20)-S+0.9*w(10-S)接受：0.9*w(20)-E+0.1*w(10)

16、-E0委托：0.9*20-w(20)+0.1*10-w(10)0激励相容约束促使代理人努力的激励相容约束、参与约束，以及委托人选择委托的条件参与约束对于委托人来说，就是要根据上述两个条件，以及 E、S的值，选择最佳的工资水平w(20)和w(10)，或者它们的差额w(20) -w(10)委托人委托条件选择报酬和连续努力水平的委托人代理人博弈模型的条件描述：努力成果不确定而且不可监督，而且委托人可以选择报酬函数、代理人在连续区间选择努力水平e的委托代理模型。代理人的机会成本U,努力有负效用是单调递增的凸函数C=C(e)。代理人的产出是e的随机函数R(e);W=w(R),委托人只能看到产出R，不能知

17、道努力e，所以只能跟根据产出R设计薪酬制度。这样，委托人的利润：R-WR(e)-wR(e)代理人的利润：w-c= wR(e)-C(e) 代理人的参与约束： wR(e)-C(e) U 但是委托人希望报酬越低越好：wR(e)C(e) +U 委托人的受益函数：R(e)-w= R(e)- C(e) U 求出使委托人符合自身利益的代理人努力程度e*. 但是这个e*不一定是代理人根据自身利益最大化作出的选择，也就是同时e*满足： wR(e*)-C(e*) wR(e)-C(e) 这是激励相容约束，满足： 1. R(e)-w= R(e)- C(e) U 2. wR(e*)-C(e*) wR(e)-C(e) 就

18、意味着两者的利益完全一致，代理人的行为就符合委托人的利益最大话。委托人按照参与约束和激励相容条件设计报酬函数，就可以达到均衡状态。R, CC(e) +R(e)委托人希望的代理人努力水平（满足参与约束）)()()()()()(*eCeRweCeRwUeCeRw激励相容约束：参与约束：一个委托代理的例子：店主和店员的问题商店的利润 ， 是均值为0的随机变量店员的负效用 ， 是店员的努力程度；机会成本为1。店主采用的报酬计算公式店员的得益店员期望得益为店主的得益为 eR42eC )4(eBABRASABeBeBAe)1 ()1 ( 4)4(424eBeAe2)4(eeBA现在的问题是：店主需要确定A

19、B的水平，以使这种工资制度成为一种有效的激励！参与约束参与约束：当店员风险中性时 符合其最大利益,店主选择下限 店员的期望得益为：解得：这意味着店员的努力程度是提成比例的正函数。下面看店主：店主所给出的工资应该是店员参与约束下限：代入得益公式得： ，期望得 ，易求得令 得 ，再代入参与约束得 ，求数学期望得 解得 ，则店主的最优激励工资计算公式是实际上是一种承包或者租赁经营制！24ABee1)4(2eeBA4.5完全非完美信息两阶完全非完美信息两阶段博弈段博弈 现在我们对前一节所讨论的博弈类型加以丰富。和在完全且完美信息动态博弈中相同，我们继续假定博弈的进行分为一系列的阶段，下一阶段开始前参与

20、者可观察到前面所有阶段的行动。与上节分析的不同之处在于，本节我们每一阶段中存在着同时行动。将看到，这种阶段内的同时行动意味着本节分析的博弈包含了不完美信息。此类博弈和前一节所讨论的博弈又有着很多共同特性。 这种模型又被称为 我们将分析以下类型的简单博弈，并称其为完全非完美信息两阶段博弈: 1.参与者1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2; 2.参与者3和4观察到第一阶段的结果，然后同时从各自的可行集A3和A4中选择行动a3和a4; 3.收益为u i(a 1,a 2,a 3,a 4)，i=1,2,3,4。 许多经济学问题都符合以上的特点，包括对银行的挤提、关税和国际市场的不完全竞

21、争以及工作竞赛(如一个企业中，几个副总裁为下一任总裁而竞争)。 这种博弈的求解仍然是逆推归纳法为主的求解方法，核心仍然是子博弈完美纳什均衡。但由于在某阶段同时选择策略，所以不是阶段性的单人最优化问题，而是一个静态博弈问题。 还有很多经济问题可通过把以上条件稍加改动而建立模型，比如增加参与者人数或者允许同一参与者(在一个以上的阶段)多次选择行动。也可以允许少于四个的参与者:在一些应用中，参与者3和4就是参与者1和2。 我们解决此类问题使用的方法，仍沿用了逆向归纳的思路，但这里从博弈的最后阶段逆向推导的第一步就包含了求解一个真正的博弈(给定第一阶段结果时，参与者3和4在第二阶段同时行动的博弈)，而

22、不再是前一节求解单人最优化的决策问题。为使问题简化，本节中我们假设对第一阶段博弈每一个可能结果(a1, a2)，其后(参与者3和4之间的)第二阶段博弈有惟一的纳什均衡，表示为 如果参与人1和2预测到参与人3和4在第二阶段的行动将由给出 ，则参与人1和2在第一阶段的问题就可用以下的同时行动博弈表示: 1.参与人1和2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1和a2; 2.收益情况为：假定(a*1, a*2)为以上同时行动博弈惟一的纳什均衡，我们称(a*1, a*2， a *3 (a*1 , a*2 ), a* 4(a*1 , a*2)）为这一两阶段博弈的子博弈完美解。此解与完全且完美博弈中的逆向

23、归纳解在性质上是一致的。 如果参与者3和4威胁在后面的第二阶段博弈中，他们将不选择纳什均衡下的行动，参与人1和2是不会相信的，因为当博弈确实进行到第二阶段时，参与人3和4中至少有一个人不愿把威胁变为现实(恰好是因为它不是第二阶段博弈的纳什均衡)。1.银行的挤兑博弈 案例情况： 两个投资者每人存入银行一笔存款D，银行已将这些存款投入一个长期项目。如果在该项目到期前银行被迫对投资者变现，共可收回2r，这里DrD/2。不过，如果银行允许投资项目到期，则项目共可取得2R，这里RD。有两个时间，投资者可以从银行提款:在银行的投资项目到期之前或者在到期之后。为使分析简化，假设不存在贴现。 两个投资者的提款

24、日期可以有如下可能： A、两个都提前，都得到r B、一个提前提取另一个不动，则第一人得D,另一人得2r-D. C、两个在到期后提，各得R D、两个都不提，等到投资项目结束，都得到R E、如果一个人在期满后提取，另一人不动则分别得：2R-D,D。 如下图所示： 我们使用逆向归纳法分析问题 从日期2开始先考虑日期2的标准式博弈，由于明显的RD,也就是说2R-DR。我们可以得到这个博弈的纳什均衡（R,R）。 由于不存在贴现，我们可以直接带入日期1的博弈矩阵表示式。 由于rD(并且由此可得2r-D r)，这一由两阶段博弈变形得到的单阶段博弈存在两个纯战略纳什均衡:(1)两个投资者都提款，最终收益情况为

25、(r , r); 两个投资者都不提款，最终收益为(R,R)。从而，最初的两阶段银行挤提博弈就有2个子博弈完美解。 前一种结果可以解释为对银行的一次挤提。如果投资者1相信投资者2将在日期1提款、则投资者1的最优反应也是去提款，即使他们等到日期2再去提款的话两人的福利都会提高。 这里的银行挤提博弈在一个很重要的方面不同于第1章中讨论的囚徒困境:虽然两个博弈都存在一个对整个社会是低效率的纳什均衡;但在囚徒困境中这一均衡是惟一的(并且是参与者的严格占优战略)，而在这里还同时存在另一个有效率的均衡。从而，这一模型并不能预侧何时会发生对银行的挤提，但的确显示出挤提会作为一个均衡结果而出现。2. 工资奖金制

26、度（劳动竞赛模型）iiieyie 模型假设：1.雇员i(i=1,2)的产出函数为 ， 为雇员努力水平， 为随机扰动。 服从分布密度 ，均值为0的随机变量。 雇员努力的负效用函数为 ，且 。2.产量高的雇员得到高工资 ，产量低的得到低工资 。3.两雇员在已知雇主宣布的工资奖金制度下，同时独立选择各自的努力程度。i)(eg0 , 0ggi)(fhwlw雇员选择雇主决定了工资以后，雇员同时决定努力程度：一阶条件一阶条件这是雇员所选择努力程度必须满足的基本条件。)()()()()()()()()(*0*0maxmaxiljjiilhijjiiljjiihegweyeyPwwegeyeyPweyeyPw

27、ii)( )()()(*iijjiilhegeeyeyPww利用条件概率的贝叶斯法则： 代入得： 两雇员情况一样，对努力程度的选择也相同，即： ，这样就得到： 这就是两雇员之间的静态博弈纳什均衡。 若进一步假设 ，那么ijjijjiieePeyeyP*)()(jjijjjjjijjidfeeFdfeePjj)()(1)(|*)( )()(*ijjijjlhegdfeefwwj*2*1eee)( )(*2egdfwwjjlhj), 0(2Ni21)(2jjdfj雇主选择 由于雇员之间博弈的均衡是对称均衡，因此双方赢得竞赛的机会都是0.5，假设雇能得到其他工作机会提供的得益是 ，则保证雇员接受工作

28、的基本条件是：此即“参与约束”。 由于在雇员接受工作的前提下，雇主必然尽可能压低工资，因此约束条件可取等号： 于是得到： 设上述参与约束条件满足，雇主的利润函数为aUalhUegww)(2121*alhUegww)(2121*halalhwUegwUegww2)(2,2)(2*lhlhwwewwyy21*212 雇主的期望利润为 ，因此雇主有如下的最优化问题：上述雇主决策可转化为促使雇员的努力程度满足： 一阶条件为： 代入两雇员的最优努力水平决定公式得到：lhwwe*2lhwwwwelh*02max)(222max*0*egUeae0)( 1*egjjlhjjlhjjdfwwdfww)(1)(

29、1)()(22符合雇主利益而且有激励作用的奖金水平只于工作成绩的不确定有关，进一步的，与产出函数随机影响因子的方差正相关。4.6 动态博弈分析的问题和扩展讨论4.6.1 逆推归纳法的问题 逆推归纳法只能分析明确设定的博弈问题，要求博弈的结构，包括次序、规则和得益情况等都非常清楚，并且各个博弈方了解博弈结构，相互知道对方了解博弈结构。这些可能有脱实际的可能 逆推归纳法也不能分析比较复杂的动态博弈 在遇到两条路径利益相同的情况时逆推归纳法也会发生选择困难 对博弈方的理性要求太高，不仅要求所有博弈方都有高度的理性，不允许犯任何错误，而且要求所有博弈方相互了解和信任对方的理性，对理性有相同的理解，或进

30、一步有“理性的共同知识”4.6.2 颤抖手均衡和顺推归纳法 颤抖手均衡：是由塞尔腾提出的一个思想，它是理解有限理性的博弈方在动态博弈中偏离子博弈完美纳什均衡行为最重要的思想之一，也是精练子博弈完美纳什均衡的一种。10, 010, 12, 06, 2LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方12, 010, 16, 29, 0(3, 3)(2, 3)1212L(0, 0)NTVRM(1, 2)(1, 1)SU(2, 1)顺推归纳法0，01，30，03，1swwsRD(2, 2)21Van Damme 博弈3，10，02，22，20，01，3DsRwsDw博博弈弈方方1博弈方博弈方2Van Damme 博弈策略形4.6.3 蜈蚣博弈问题 该博弈是说明逆推归纳法和博弈分析困难的经典博弈1211212R(98,98) (97,100)dr(99,99)DRrd(98,101)(100,100)DRrd(0,3)D(2,2)R(1,1)D