多元函数微分学偏导数与全微分课件.ppt
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- 多元 函数 微分学 导数 微分 课件
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1、第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一.偏导数偏导数1.偏导数的定义定义 设z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义,当y固定在 时,得一元函数 , ),(00yx0y),(0yxfxyxfyxxfx),(),(lim00000z=f(x,y)在点 处对x的偏导数 ),(00yx),(00yxfx),(00yxxz),(00yxxf类似的, z=f(x,y)在点 处对y的偏导数 ),(00yxyyxfyyxfy),(),(lim00000),(00yxfy),(00yxyz),(00yxyf注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数-
2、偏导函数.,.,yxyxzzff,.,yfyzxfxz(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元.例如: u=f(x,y,z)xzyxfzyxxfzyxfxx),(),(lim),(0000000000(3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数.例如:求 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数.xf例1.22),(yxyxyxf求)2 , 0(yf) 1 , 0(xf221yxxfx221yxyfy, 1) 1 , 0(xf0)2 , 0(yf例2.xyzu 求偏导数yuzuxuyzzxy)(lnxzzxy)(ln1xyxyz0, 00,),(222222yxyxy
3、xxyyxf例3.求)0 , 0(yf)0 , 0(xf分段点处偏导分段点处偏导数要用定义求数要用定义求)0 , 0(xf0)0 , 0()0 ,0(lim0 xfxfx)0 , 0(yf0)0 , 0()0 , 0(lim0yfyfy例4.|),(yxyxf在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?)0 , 0(0),(lim00fyxfyx故在(0,0)点连续.由定义易知在(0,0)点偏导数不存在.注意:对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系.2. 偏导数的几何意义),(00yxfx表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对
4、x 轴的斜率0yy ),(,(00000yxfyxMxTM0tan),(00yxfy表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对y 轴的斜率0 xx ),(,(00000yxfyxMyTM0tan二二.高阶偏导数高阶偏导数二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 仍为 x, y 的函数.yxff ,它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数.;)(22xxxxfzxzxzx;)(2xyxyfzyxzxzy;)(2yxyxfzxyzyzx.)(22yyyyfzyzyzy混合偏导数类似的定义三阶以上偏导数定理若 z=f(x,y)的二阶混合偏导数 在(x,y)连续,则yxxyff,y
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