复数的基本概念课件.ppt

1、 一、复数的基本概念1 1、 称为复数，记为称为复数，记为zxyizC 其中其中 i 称为虚单位满足：称为虚单位满足：21i 实数实数 x 和和 y 称为实部和虚部，记为称为实部和虚部，记为Re ,Imxz yz1212,xxyy2 2、 与与 相等相等111zxy i222zxy i当且仅当当且仅当3 3、 与与 称为共轭复数，称为共轭复数，xyi xyi z记为记为 和和z 121212zzxxyyi4 4、 与与 可以进行可以进行111zxy i222zxy i加、减、乘、除等运算加、减、乘、除等运算 1 21122z zxy ixy i 112112xy i xxy iy i 1212

2、2112x xy yx yx yi 121122/zzxy ixy i 11222222xy ixy ixy ixy i 121221122222x xy yx yx yixy 从以上运算可看出复数的运算依然满足交从以上运算可看出复数的运算依然满足交换律，结合律，分配律等，且完全平方公换律，结合律，分配律等，且完全平方公式，平方差公式，立方差公式等也都成立。式，平方差公式，立方差公式等也都成立。5 5、全体复数可用平面点集表示，即表示、全体复数可用平面点集表示，即表示为平面直角坐标系中的坐标。为平面直角坐标系中的坐标。zxyi对应坐标系中的坐标对应坐标系中的坐标 ,x y所以复数也可看成向量（

3、矢量），其所以复数也可看成向量（矢量），其加减运算服从平行四边形法则或三角加减运算服从平行四边形法则或三角形法则。形法则。性质：性质：1212zzzz1 21 2z zz z oxy实轴实轴虚轴虚轴111zxy i222zxy i 121212zzxxyyi12zz 此时整个平面称为复平面或此时整个平面称为复平面或 z 平面。平面。12?zz 图中的红色箭头表示的复数。图中的红色箭头表示的复数。 1212xxyyi12zz 6 6、既然复数可看成向量（矢量），则、既然复数可看成向量（矢量），则必然有大小和方向。必然有大小和方向。zxyi的大小的大小( (箭头长度箭头长度) )称为称为z的模的模

4、, ,记为记为 ，显然，显然rz 22zxy性质：性质：222z zzxyzxyi的方向由它与实轴的夹角确定。的方向由它与实轴的夹角确定。此夹角称为辐角，记为此夹角称为辐角，记为性质：性质：tanyx rgAz 介于介于 之间的辐角称为主辐角，之间的辐角称为主辐角，(, 记为：记为： ，显然有，显然有rgarg2Azzk argz辐角有无穷多个，所以定义：辐角有无穷多个，所以定义：例如：例如： arg 30,rg 32Ak arg 22,rg 22244iAik 22arg13,rg13233iAik 则有则有cos ,sinxryr于是复数就有三种表示法：于是复数就有三种表示法：zxyi指数

5、形式表示法指数形式表示法ire zxyi7 7、设复数、设复数 的辐角为的辐角为 ，模为，模为 r cossinri三角形式表示法三角形式表示法代数形式表示法代数形式表示法例如：例如：12 cossin44ii 42ie 在进行复数的乘除运算时，使用指数形式在进行复数的乘除运算时，使用指数形式会较为方便，设会较为方便，设121122,iizrezr e 12121 2121 2iiiz zre r err e 1122111222iiizrerezr er 于是有：于是有：111 21222,zzz zzzzz 1 212rgrgrgAz zAzAz 1212rg/rgrgAzzAzAz,nn

6、zznZ 8 8、复数的幂、复数的幂 设设 z 的的 n 次方根正好有次方根正好有 n 个根。个根。izre cossinri而而则则nninzr e cossinnrnin2kinnnzre 0,1,2,1kn例如：例如：2333882kiiee 当当2330 , 2213kiikeei 当当231 , 222kiikee 当当25332 , 2213kiikeei 的的 n 个根正好是内接于原点为圆心个根正好是内接于原点为圆心nz为半径的圆的正为半径的圆的正 n 边形的顶点坐标。边形的顶点坐标。nr0,1,2k 9 9、平面曲线的复数方程、平面曲线的复数方程如何将曲线一般方程如何将曲线一般

7、方程 改写为改写为 yfx 复数方程复数方程 ?zt zxyi表示复平面上的所有点，但当表示复平面上的所有点，但当x 与与 y 满足一定关系式时，则此时的满足一定关系式时，则此时的就表示某曲线上的动点，于是就表示某曲线上的动点，于是zxyi ,xt yf t只要令只要令 ，则，则 ztf t i 就表示就表示 的复数方程。的复数方程。 yfx 例如：例如： 1zttii t 的复数方程为的复数方程为yx 的复数方程为的复数方程为 2220 xyaacossinzatiatitae 或或za 2ztt i 的复数方程为的复数方程为2yx tR 0,2t 而圆心在而圆心在的圆复数方程为的圆复数方程

8、为000zxy i0zza或或0itzaez 二、复变函数 1,1zf zz 2,wf zz1 1、 称为实称为实( (变变) )函数，函数，xR yfx 称为复变函数，称为复变函数，zC wf z 例如例如 ,zf ze 2 2、当、当 代入时，代入时， 可表示为可表示为zxyi f z ,f zu x yv x y i 22wf zzxyi例如例如 222xyxyi 22,2u x yxy v x yxy zxyiwf zee cossinxyixe eeyiy ,cos ,sinxxu x yey v x yey 三、复变函数的连续性与极限 2,wf zz等均为连续函数，等均为连续函数，

9、 1 1、 的连续性与的连续性与 类似。类似。 fx f z例如例如 ,zf ze 11zf zz 而而则在则在 处连续。处连续。 1z 间断点称为间断点称为奇点奇点。 f zz 211f zz z 如如的奇点为：的奇点为： 0,zzi 00limzzf zf z 如如 2 2、 的极限的极限 f z若若 f (z) 连续，则连续，则 331 2lim1zizii 也可以将也可以将 代入求极限，此时代入求极限，此时000zxy i就与二元函数求极限类似。就与二元函数求极限类似。 000limlimzzxxyyf zfxyi例如例如注意：注意：20ReImlimzzzz 此时的变化趋势是从任意方

10、向无限接近。此时的变化趋势是从任意方向无限接近。2200limxyxyxy 000,zzxxyy令令,ykx 222222000limlimxxyxykxxyxk x 21kk 20ReImlimzzzz 所所以以不不存存在在00limxyxyixyi 当当0,x 0limzzz所所以以不不存存在在例例 证明证明0limzzz不存在不存在证证0limzzz000limlim1xyyxyiyixyiyi 当当0,y 000limlim1xxyxyixxyix 性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则性质：求极限时等价无穷小与洛必达法则如如均可使用。均可使用。011lim22zzez 0sinlim1zzz 0coslim3sinzzzzzz 201cos1lim2zzz 性质：性质： 3 3、无穷远点、无穷远点 ,0 ,0,aaaaa R 对于对于 ，当，当 时，则时，则 zR z 练习练习 4400,zaaaR3 3、解方程、解方程132iz 1 1、 ，求，求,rgz Az121,32izzi 2 2、 ，求，求11 22,zz zz的指数表示形式。的指数表示形式。0limzzzzz 4 4、证明、证明 不存在不存在答案答案1,23zArgzk 1 1、3 3、2 2、5112121 2212,2iizz zeez 221,122aiai