第3章-随机信号的频域分析课件.ppt

1、第三章 随机信号的频域分析1/30随机信号分析第三章第三章 随机信号的频域分析随机信号的频域分析n3.1 3.1 实随机过程的功率谱密度实随机过程的功率谱密度 （3 3）n3.2 3.2 两个实随机过程的互功率谱密度两个实随机过程的互功率谱密度（1717）n3.3 3.3 白噪声白噪声 （2222）第三章 随机信号的频域分析2/30随机信号分析3.1 3.1 实随机过程的功率谱密度实随机过程的功率谱密度3.1.1 3.1.1 确知信号的频谱和能量谱密度确知信号的频谱和能量谱密度（1 1）狄里赫利）狄里赫利 设信号s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件：u ,即s(t)绝对可积；us(t)

2、在 内只有有限个第一类间断点和有限个极值点。dtts )(),(第三章 随机信号的频域分析3/30随机信号分析（2 2）频谱密度）频谱密度s(t)的傅立叶变换又称为频谱密度，也简称为频谱。dtetsStj)()(信号s(t)可以用频谱的傅立叶反变换来表示deStstj)(21)(第三章 随机信号的频域分析4/30随机信号分析（3 3）能量谱密度）能量谱密度信号s(t)的总能量为 dttsE)(2 根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即 dSdttsE22)(21)( 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。 2)(S 能谱密度存在的条件是即总能量有限，所以s(

3、t)也称为有限能量信号。dtts)(2第三章 随机信号的频域分析5/30随机信号分析3.1.2 3.1.2 实随机过程的功率谱密度实随机过程的功率谱密度 随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。经推导可得 21()lim() 2XTTGE XT为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。 （1 1）定义）定义第三章 随机信号的频域分析6/30随机信号分析n通过截取样本函数-T到T的一段，傅立叶变换得TTtjTtjTTdtetxdtetxX)()()(dXdttxQTTTT22)(21)(dXTdttxTTQTTTT22)(41)(212具有随机性n根据能量守恒，总能量：n

4、时间平均能量:注：平均功率包含了集合平均和时间平均的双重含义 )(41)(2122dXTEdttxTETTTT222( )11( )lim( )lim222TTTTTTTEXE x tE xt dtdTTn统计平均能量:n平均功率：第三章 随机信号的频域分析7/30随机信号分析l随机过程的平均功率为 1()2XXPGdl对于平稳随机过程，其平均功率为221( )( )()2XE XtE XtGdl若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即21()lim(, )2XTTGXeT 21( )lim( )2XTTGEXT第三章 随机信号的频域分析8/30随机信号分析性质1：非负实

5、函数( ) 0XG( )()XXGG（2 2）实随机过程功率谱密度的性质）实随机过程功率谱密度的性质性质2：偶函数性质3：平稳过程功率谱密度绝对可积性质4：若平稳过程的功率谱密度可以表示为 的有理函数形式 dGX)(00G 0222220222220.)(bbaaGGnnnmmmXn m则必定满足：式中分母无实根(即在实轴上无极点),且 。第三章 随机信号的频域分析9/30随机信号分析（1 1）维纳辛钦定理）维纳辛钦定理()( )1( )()2jXXjXXGRedRGed它它成立的条件是 绝对可积，即)()(XXRS和()()XXRdGd 3.1.3 3.1.3 功率谱密度与自相关函数之间的关

6、系功率谱密度与自相关函数之间的关系21(0)( )()2XXRE XtGd第三章 随机信号的频域分析10/30随机信号分析对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：00()2( )cos1( )()cosXXXXGRdRGd第三章 随机信号的频域分析11/30随机信号分析00()4( )cos1( )()cos2XXXXFRdRFd 2()0()00XXGF物理物理功率谱功率谱第三章 随机信号的频域分析12/30随机信号分析例3.2：已知广义平稳过程的自相关函数为0, 0A,Ae)(RX求过程的功率谱密度。00()()0022( )112jjX

7、jjGAe edAeedeeAAjjAjjA 解：第三章 随机信号的频域分析13/30随机信号分析例3.3：设X(t)为随机相位随机过程0( )cos()X tat其中a， 为实常数； 为随机相位，在 均匀分布。可以推倒导出X（t）是广义平稳过程，其自相关函数为：0)2 , 0()cos(2)(02aRX求X(t)的功率谱密度( )XG解：)()()cos(000200( ) ()()2XaG 第三章 随机信号的频域分析14/30随机信号分析例3.4：已知平稳过程X(t)，具有功率谱密度为4216( )1336XG求该过程的自相关函数和均方值。42221616/516/5( )133649XG

8、解：3215854)(eeRX154)0()(2XRtXE第三章 随机信号的频域分析15/30随机信号分析n例：设平稳随机过程 ，其中a为常数，是服从0，2的均匀分布的随机变量，是具有分布密度为 偶函数的随机变量，且与相互独立，试证 的功率谱密度为 ( )cos()X tat )(xf( )X t2( )( )XGa f返回22( )cos()cos() ( )22XaaREfd1( )cos()( )2x tXd傅里叶变换对傅里叶变换对1( )cos()( )2XXRGd2( )( )XGa f第三章 随机信号的频域分析16/30随机信号分析（1 1）互谱密度的定义）互谱密度的定义*1()l

9、im()()2XYTTTGE XYT *1()lim()()2YXTTTGE YXT 称为两个联合平稳随机过程X(t)和Y(t) 的互功率谱密度，简称互谱密度。3.2 3.2 两个实随机过程两个实随机过程的互功率谱密度的互功率谱密度第三章 随机信号的频域分析17/30随机信号分析（2 2）互谱密度与互相关函数的关系）互谱密度与互相关函数的关系 ()( )1( )()2jXYXYjXYXYGRedRGed()( )1( )()2jYXYXjYXYXGRedRGed第三章 随机信号的频域分析18/30随机信号分析（3 3）实随机过程互谱密度的性质）实随机过程互谱密度的性质*()()()()XYYX

10、YXXYGGGG性质1：性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。 Re( )Re()Re( )Re()Im( )Im()Im( )Im()XYYXYXXYXYYXYXXYGGGGGGGG 性质3：如果X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零。()()0XYYXGG第三章 随机信号的频域分析19/30随机信号分析性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有()()2()XYYXXYGGm m 性质5：互谱密度的幅度平方满足 2()()()XYXYGGG第三章 随机信号的频域分析20/30随机信号分析例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关

11、函数为：0009)(3eRXY求互相关函数 和( )XYG( )YXG解：30( )( )993jjXYXYGRedeej9( )()( )3YXXYXYGGGj返回第三章 随机信号的频域分析21/30随机信号分析3.3 3.3 白噪声白噪声（1 1）噪声的定义）噪声的定义n信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。n误差的来源 n信号传输处理过程中串入了其它信号n信息传输处理时，信道或设备不理想造成 n 广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。3.3.1 3.3.1 噪声噪声第三章 随机信号的频域分析22/30随机信号分析（2 2）噪声的分类

12、）噪声的分类n从噪声与电子系统的关系来看：n内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的n外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声n根据噪声的分布：n高斯噪声：具有高斯分布的噪声n均匀噪声：具有均匀分布的噪声n从功率谱的角度来看：n白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是什么分布）。n色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。第三章 随机信号的频域分析23/30随机信号分析（1 1） 定义定义 一个均值为零均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为，即的平稳过程平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。0( )2NNG )(2)(0NRN（2 2）白噪声的自相关函数）白噪声的自相关函数3.3.2 3.3.2

13、 理想白噪声理想白噪声0( )NG02N( )NR00()2N第三章 随机信号的频域分析24/30随机信号分析（3 3）白噪声的相关系数）白噪声的相关系数02220( )1(0)( )( )2( )0(0)(0)(0)2NNNNNNNNCRmNRm 这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要0，状态之间都是不相关的；白噪声过程的样本随时间起伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。第三章 随机信号的频域分析25/30随机信号分析n 白噪声是一个理想化的数学模型白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为

14、0的冲激(t) 做为样本。平均功率 无穷大无穷大 任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的（4 4）白噪声的特点）白噪声的特点)0(2)0(0NNNNRPn 数学上有很好的分析性质数学上有很好的分析性质常数功率谱密度冲激自相关函数)()(NNGRn 是大多数噪声的模型是大多数噪声的模型第三章 随机信号的频域分析26/30随机信号分析n 白噪声可以替代系统中的宽带噪声白噪声可以替代系统中的宽带噪声在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统后的结果都一样。只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。0)(XG0)(YG0)(H0)(

15、NGn 高斯白噪声在任意两个时刻是相互独立的，且高斯白噪声在任意两个时刻是相互独立的，且具有各态历经性具有各态历经性第三章 随机信号的频域分析27/30随机信号分析 若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。 3.3.2 3.3.2 理想限带白噪声理想限带白噪声（1 1）定义）定义分类分类l低通型限带白噪声l带通型限带白噪声第三章 随机信号的频域分析28/30随机信号分析（2 2）低通白噪声）低通白噪声0/2( )0NGG 其它l自相关函数0sin(2)( )2(2)NGR0(0)2NGRl平均功率l功率谱密度( )NR0420G220( )NG中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组主讲：陈友兴精品课件精品课件！中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组主讲：陈友兴精品课件精品课件！第三章 随机信号的频域分析31/30随机信号分析000/2( )220NGG其它00sin(2)( )cos2(2)NGR （3 3）带通白噪声）带通白噪声l自相关函数l平均功率l功率谱密度0(0)2NGR00022( )NG0( )NR42返回