围岩应力和位移的弹塑性分析.课件.ppt

1、2022-3-3013.4 3.4 围岩应力和位移的弹塑性分析围岩应力和位移的弹塑性分析 n当围岩的二次应力状态可能超过围岩的抗压强当围岩的二次应力状态可能超过围岩的抗压强度或是局部的剪应力超过岩体的抗剪强度，从度或是局部的剪应力超过岩体的抗剪强度，从而使该部分的岩体进入塑性状态。而使该部分的岩体进入塑性状态。n此时坑道或发生脆性破坏，或在坑道围岩的某此时坑道或发生脆性破坏，或在坑道围岩的某一区域内形成塑性应力区，发生塑性剪切滑移一区域内形成塑性应力区，发生塑性剪切滑移或塑性流动，并迫使塑性变形的围岩向坑道内或塑性流动，并迫使塑性变形的围岩向坑道内滑移。滑移。n塑性区的围岩因变得松弛，其物理力

2、学性质塑性区的围岩因变得松弛，其物理力学性质（c c、值）也发生变化。值）也发生变化。 2022-3-302限定讨论问题的条件限定讨论问题的条件n侧压力系数侧压力系数 1 1时，圆形坑道围岩的弹时，圆形坑道围岩的弹塑性二次应力场和位移场的解析公式。塑性二次应力场和位移场的解析公式。n此时，荷载和洞室都呈轴对称分布，塑此时，荷载和洞室都呈轴对称分布，塑性区的范围也是圆形的，而且围岩中不性区的范围也是圆形的，而且围岩中不产生拉应力。产生拉应力。n因此，要讨论的只有进入塑性状态的一因此，要讨论的只有进入塑性状态的一种可能性。种可能性。 2022-3-303需要解决的问题是需要解决的问题是n确定形成塑

3、性变形的塑性判据或破坏准则；确定形成塑性变形的塑性判据或破坏准则；n确定塑性区的应力、应变状态；确定塑性区的应力、应变状态；n确定塑性区范围；确定塑性区范围；n弹性区内的应力。弹性区内的应力。 2022-3-304分析问题的思路分析问题的思路n围岩的塑性判据；围岩的塑性判据；n塑性区内围岩的应力应满足塑性判据和塑性区内围岩的应力应满足塑性判据和平衡方程；平衡方程；n弹性区内围岩的应力应满足弹性条件和弹性区内围岩的应力应满足弹性条件和平衡方程平衡方程；n在弹塑性边界上即满足弹性条件又满足在弹塑性边界上即满足弹性条件又满足塑性判据，且满足应力和位移的协调性塑性判据，且满足应力和位移的协调性2022

4、-3-3051. 1. 围岩的塑性判据围岩的塑性判据 n摩尔摩尔- -库仑条件作为塑性判据库仑条件作为塑性判据 ：n其塑性条件是，可以在其塑性条件是，可以在 - -平面上表示平面上表示成一条直线，称为剪切强度线，它对成一条直线，称为剪切强度线，它对轴的斜率轴的斜率为为tgtg，在，在轴上的截距为轴上的截距为c c。n摩尔摩尔- -库仑条件的几何意义是：若岩体某库仑条件的几何意义是：若岩体某截面上作用的法向应力和剪应力所绘成截面上作用的法向应力和剪应力所绘成的应力圆与剪切强度线相切，则岩体将的应力圆与剪切强度线相切，则岩体将沿该平面发生滑移。沿该平面发生滑移。 2022-3-306图图3.4.1

5、 3.4.1 材料强度包络线及应力圆材料强度包络线及应力圆 n最大主应力最大主应力n最小主应力最小主应力nRc的表达式的表达式 cRcsin1cos22022-3-307n塑性判据：式（塑性判据：式（3.4.33.4.3）或式（）或式（3.4.43.4.4）n式（式（3.4.53.4.5） 0cos 2)sin1 ()sin1 (ppcrtsin1sin1cot cot ppcctrcRRcrtsin1cos2,sin1sin1, 0 cpp2022-3-308n当当 1 1时，坑道周边的时，坑道周边的n n将该值代入式（将该值代入式（3.4.33.4.3），即可得出隧道周），即可得出隧道周边

6、的岩体是否进入塑性状态的判据为边的岩体是否进入塑性状态的判据为: :n zt20rCzR22022-3-309n实际上岩石在开挖后由于爆破、应力重实际上岩石在开挖后由于爆破、应力重分布等影响已被破坏，分布等影响已被破坏，其其c c、值皆有变值皆有变化。化。n设以岩体的残余粘聚力设以岩体的残余粘聚力c cr r和残余内摩擦和残余内摩擦角角 r r表示改变后的岩体特性，则（表示改变后的岩体特性，则（3.4.33.4.3）式可写成式（式可写成式（3.4.63.4.6） 的形式。的形式。0rrrcrrtR 2022-3-30102. 2. 轴对称条件下围岩应力的弹轴对称条件下围岩应力的弹塑性分析塑性分

7、析 塑性区内单元体的受力状态塑性区内单元体的受力状态2022-3-3011（1 1）塑性区内的应力场）塑性区内的应力场 n塑性区内任一点的应力分量需满足平衡塑性区内任一点的应力分量需满足平衡条件。对于轴对称问题，不考虑体积力，条件。对于轴对称问题，不考虑体积力，某一单元体极坐标平衡方程式某一单元体极坐标平衡方程式（3.4.73.4.7） ： 0ddppprrtrr2022-3-3012n在塑性区的边界上，除满足平衡方程外，在塑性区的边界上，除满足平衡方程外，还需满足塑性条件还需满足塑性条件 ，应用式（，应用式（3.4.53.4.5）的塑性判据，的塑性判据，n将式（将式（3.4.53.4.5）中

8、的）中的tptp用用rprp表示，代表示，代入上述平衡方程，经整理并积分后，得入上述平衡方程，经整理并积分后，得n )cot ln(lnsin1sin2pcCrrsin1sin1cot cot ppcctr2022-3-3013n当有支护时，支护与围岩边界上（当有支护时，支护与围岩边界上（r = rr = r0 0）的应）的应力即为支护阻力，即力即为支护阻力，即 ，则求出积分，则求出积分常数常数 C C；代入式（；代入式（3.4.83.4.8）及式（）及式（3.4.93.4.9），并整），并整理之，即得塑性区的应力理之，即得塑性区的应力 n式式3.4.103.4.10apprcot sin1s

9、in1 cot cot cot sin1sin20apsin1sin20apcrrcpcrrcptr2022-3-3014n由式（由式（3.4.103.4.10）中可知，）中可知，n围岩塑性区内的应力值与初始应力状态围岩塑性区内的应力值与初始应力状态无关，无关，n仅与围岩的物理力学性质、开挖半径及仅与围岩的物理力学性质、开挖半径及支护提供的阻力有关。支护提供的阻力有关。n为什么？为什么？ 2022-3-3015（2 2）弹性区内的应力场）弹性区内的应力场 n在塑性区域以外的弹性区域内，其应力状态是在塑性区域以外的弹性区域内，其应力状态是由初始应力状态及塑性区边界上提供的径向应由初始应力状态及塑

10、性区边界上提供的径向应力力R0R0 决定的。决定的。n令塑性区半径令塑性区半径为为R R0 0，且塑性区与弹性区边界上，且塑性区与弹性区边界上应力协调，当应力协调，当r r R R0 0 时，对于弹性区，时，对于弹性区，r r R R0 0 ，相当于，相当于“开挖半径开挖半径”为为R R0 0 ，其周边作用，其周边作用有有“支护阻力支护阻力” ” R0R0时，围岩内的应力及变形。时，围岩内的应力及变形。 2022-3-30162022-3-3017n可参照式（可参照式（3.3.113.3.11），弹性区内的应力），弹性区内的应力 n对比式（对比式（3.3.113.3.11）n将两式相加消去将两

11、式相加消去R0R0，得，得n并应满足边界处塑性判据（式并应满足边界处塑性判据（式3.4.43.4.4）：）：220220e220220e0011rRrRrRrRRztRzr2a22a2)1 ()1 (ppztzrere t2z 2022-3-3018n即求得弹、塑性区边界上（即求得弹、塑性区边界上（ r r R R0 0 ）的应力表达式。（式的应力表达式。（式3.4.133.4.13）：）：n该应力式与围岩的初应力状态该应力式与围岩的初应力状态z z、围岩、围岩本身的物理力学性质本身的物理力学性质c c、有关，而与支有关，而与支护阻力护阻力p pa a和开挖半径和开挖半径r r0 0无关。无关

12、。 002cos )sin1 (cos )sin1 (RzztRzrcc2022-3-3019（3 3）塑性区半径与支护阻力的关系）塑性区半径与支护阻力的关系 n将将r r R R0 0代入式（代入式（3.4.103.4.10），求出），求出R R0 0处的处的应力，该应力应满足式（应力，该应力应满足式（3.4.133.4.13）所示）所示的塑性条件，可得塑性区半径的塑性条件，可得塑性区半径R R0 0与与p pa a的关的关系：系：sin1sin200a cot cos )sin1 ( cot Rrcccpz2022-3-3020n表达了在其围岩岩性特征参数已知时，径向支表达了在其围岩岩性特

13、征参数已知时，径向支护阻力护阻力p pa a与塑性区大小之间的关系。与塑性区大小之间的关系。n该式说明，随着该式说明，随着p pa a的增加，塑性区域相应减小。的增加，塑性区域相应减小。n讨论讨论1 1：径向支护阻力：径向支护阻力p pa a的存在的存在限制了塑性区域的发展。限制了塑性区域的发展。 2022-3-3021n讨论讨论2 2：若坑道开挖后不修筑衬砌，即径：若坑道开挖后不修筑衬砌，即径向支护阻力向支护阻力p pa a0 0时时 的极端情况下塑性区的极端情况下塑性区是最大的，式（是最大的，式（3.4.163.4.16）（包含开挖半径）（包含开挖半径和围岩参数的表达式）；和围岩参数的表达

14、式）；sin2sin100cotcot)sin1 (ccrRz2022-3-3022n讨论讨论3 3：若想使塑性区域不形成：若想使塑性区域不形成，即，即r r0 0 R R0 0时，时，就可以由式（就可以由式（3.4.153.4.15）求出不形成塑性区所需）求出不形成塑性区所需的支护阻力的支护阻力 ，式（，式（3.4.173.4.17） ；n这就是维持坑道处于弹性应力场所需的最小支这就是维持坑道处于弹性应力场所需的最小支护阻力。护阻力。n对比式（对比式（3.4.133.4.13）cos )sin1 (cpza0cos )sin1 (Rzrc2022-3-3023n它的大小仅与初始应力场及岩性指

15、标有它的大小仅与初始应力场及岩性指标有关，而与坑道尺寸无关。关，而与坑道尺寸无关。n式（式（3.4.173.4.17）的）的p pa a实际上和弹塑性边界实际上和弹塑性边界上的应力表达式（上的应力表达式（3.4.133.4.13）一致，说明）一致，说明支护阻力仅能改变塑性区的大小和塑性支护阻力仅能改变塑性区的大小和塑性区内的应力，而不能改变弹塑性边界上区内的应力，而不能改变弹塑性边界上的应力。的应力。 2022-3-3024确定松动区半径确定松动区半径 n松动区边界上的切向应力为初始应力，由式松动区边界上的切向应力为初始应力，由式（3.4.103.4.10）：）：n松动区半径松动区半径ztcr

16、Rcpcot sin1sin1 cot sin1sin20apsin2sin10sin11 RRcot sin1sin1 cot sin1sin20apcrrcpt 2022-3-3025例例3.4.13.4.1比较不同塑性区边界上应力的特点比较不同塑性区边界上应力的特点2022-3-3026 n假定塑性区内的岩体在小变形的情况下假定塑性区内的岩体在小变形的情况下体积不变。体积不变。n则塑性区的围岩位移与弹性区位移表达则塑性区的围岩位移与弹性区位移表达式一样，比较（式一样，比较（3.4.233.4.23）、（）、（3.4.243.4.24）和式（和式（3.3.133.3.13）。）。n式式23

17、23、24 24 n式（式（3.3.133.3.13）)()1 (020p0RzeRErRuurrpEuzr20ae )(12022-3-3027（1 1）径向位移与支护阻力的关系式）径向位移与支护阻力的关系式n如将含有支护阻力的塑性区半径如将含有支护阻力的塑性区半径R R0 0的表的表达式（达式（3.4.153.4.15）代入上式，即可得出洞）代入上式，即可得出洞室周边径向位移与支护阻力的关系式室周边径向位移与支护阻力的关系式 ：sinsin1a0pcot cot )sin1()cos sin (10pcccEruzzr式式3.4.252022-3-3028计算式计算式n或或3.4.263.

18、4.26sin1sin p0a0 )cot ( sin)1 ( )cot )(sin1 (cot rzzurcEccp2022-3-3029（2 2）洞室周边位移的影响因素）洞室周边位移的影响因素n由此可见，在形成塑性区后，由此可见，在形成塑性区后，n坑道周边位移不仅与岩体特性、坑道尺寸、坑道周边位移不仅与岩体特性、坑道尺寸、初始应力场有关，还和支护阻力有关。初始应力场有关，还和支护阻力有关。n支护阻力随着洞周位移的增大而减小，若允支护阻力随着洞周位移的增大而减小，若允许的位移较大，则需要的支护阻力变小。许的位移较大，则需要的支护阻力变小。n而洞周位移的增大是和塑性区的增大相联系而洞周位移的增

19、大是和塑性区的增大相联系的的。 2022-3-3030（3 3）洞周位移与支护阻力的关系曲线）洞周位移与支护阻力的关系曲线n当围岩的二次应力场处于弹性状态时，当围岩的二次应力场处于弹性状态时，可由式（可由式（3.3.133.3.13）给出。）给出。n当二次应力形成塑性区时，可由式当二次应力形成塑性区时，可由式（3.4.253.4.25）或式（）或式（3.4.263.4.26）给出。）给出。n2 2段的衔接点为洞室周边围岩不出现塑性段的衔接点为洞室周边围岩不出现塑性区所需提供的最小支护阻力，由式区所需提供的最小支护阻力，由式（3.4.173.4.17）求出）求出 。cos )sin1 (cpza

20、2022-3-3031围岩特征曲线围岩特征曲线弹性状态弹性状态塑性状态塑性状态极限位移对于的极限位移对于的最小支护阻力最小支护阻力2022-3-3032n当当 PaPaz z时，洞壁径向位移时，洞壁径向位移u ur0r0 0 0。即全部。即全部荷载由支护结构来承受。荷载由支护结构来承受。n当当 Pa Pa 0 0时，只要围岩不坍塌，就可以通过时，只要围岩不坍塌，就可以通过增大塑性区范围来取得自身的稳定，此时的洞增大塑性区范围来取得自身的稳定，此时的洞周位移周位移 可以由式（可以由式（3.4.243.4.24）求出）求出n将式中的将式中的r r替换替换为为r r0 0（坑道周边）：（坑道周边）：

21、n且且R R0 0为无支护阻力时的塑性区半径。为无支护阻力时的塑性区半径。n两端虚线的含义，洞周的极限位移两端虚线的含义，洞周的极限位移 )()1 (00020maxRzprErRu2022-3-3033n围岩的特征曲线，亦称围岩的支护需求曲围岩的特征曲线，亦称围岩的支护需求曲线。（线。（P82P82）n根据接触应力相等的原则，亦称为支护的根据接触应力相等的原则，亦称为支护的荷载曲线。荷载曲线。n支护阻力的存在控制了坑道岩体的变形和支护阻力的存在控制了坑道岩体的变形和位移，从而控制了岩体塑性区的发展和应位移，从而控制了岩体塑性区的发展和应力的变化，这就是支护结构的支护实质。力的变化，这就是支护

22、结构的支护实质。同时由于支护阻力的存在也改善了周边岩同时由于支护阻力的存在也改善了周边岩体的承载条件，从而相应地提高了岩体的体的承载条件，从而相应地提高了岩体的承载能力。承载能力。 2022-3-3034n支护阻力对围岩应力场和位移场的影响支护阻力对围岩应力场和位移场的影响（分弹性分析和塑性分析）？（分弹性分析和塑性分析）？n塑性区半径的影响因素？塑性区半径的影响因素？n弹塑性边界上应力的特点？弹塑性边界上应力的特点？n塑性区内的应力影响因素？塑性区内的应力影响因素？n洞周位移的影响因素？洞周位移的影响因素？2022-3-30353.5 3.5 围岩与支护结构的相互作用围岩与支护结构的相互作用

23、 n1. 1. 围岩的支护需求曲线围岩的支护需求曲线 n洞周位移与支护阻力的关系式（洞周位移与支护阻力的关系式（3.4.253.4.25或或3.4.263.4.26）：）：sinsin1a0pcot cot )sin1 ()cos sin (10pcccEruzzr2022-3-30362. 2. 支护结构的补给曲线（支护支护结构的补给曲线（支护特性曲线特性曲线） n在一般情况下，支护结构的力学特性可在一般情况下，支护结构的力学特性可表达为表达为n式中的式中的 K K 为支护阻力为支护阻力p p与其位移与其位移u u的比的比值，称之为支护结构的刚度，即值，称之为支护结构的刚度，即 )(Kfp

24、upKdd2022-3-3037支护结构特性曲线的物理概念支护结构特性曲线的物理概念 在弹性范围内，结构的承载力与变形成正比，达到极限承载力后进入理想的塑性状态2022-3-3038支护特性曲线支护特性曲线n是指作用在支护是指作用在支护上的荷载与支护上的荷载与支护变形的关系曲线，变形的关系曲线，支护结构所能提支护结构所能提供的支护阻力随供的支护阻力随着支护结构的刚着支护结构的刚度而增大，所以度而增大，所以这条曲线也称为这条曲线也称为“支护补给曲支护补给曲线线” ” 。2022-3-3039n式（式（3.5.53.5.5）：）：n因为这里只考虑径向匀布压力，所以式因为这里只考虑径向匀布压力，所以

25、式中只包含支护结构受压（拉）刚度。若中只包含支护结构受压（拉）刚度。若隧道周边的收敛不均匀，则支护结构的隧道周边的收敛不均匀，则支护结构的弯曲刚度就成为主要的了。弯曲刚度就成为主要的了。n若有初始位移，则为式（若有初始位移，则为式（3.5.63.5.6） 00ruKpiriKrpuuiir00000)(0ruuKpri 2022-3-3040n（1 1）混凝土或喷混凝土的支护特性曲线）混凝土或喷混凝土的支护特性曲线n模筑混凝土（厚壁筒）模筑混凝土（厚壁筒）n薄壁筒（薄壁筒（d0.04rd0.04r0 0) )n（2 2）灌浆锚杆的特性曲线）灌浆锚杆的特性曲线( (与破坏形态有关）与破坏形态有关

26、）n锚杆本身屈服锚杆本身屈服 n锚杆与胶结材料脱离锚杆与胶结材料脱离n胶结材料与孔壁脱离胶结材料与孔壁脱离n（3 3）组合支护体系的特性）组合支护体系的特性 2022-3-30413. 3. 围岩与支护结构准静力平衡状态的建立围岩与支护结构准静力平衡状态的建立 n利用围岩的支护利用围岩的支护需求曲线和支护需求曲线和支护结构的支护补给结构的支护补给曲线（或是收敛曲线（或是收敛约束的概念），约束的概念），分析隧道围岩和分析隧道围岩和支护结构在相互支护结构在相互作用的过程中达作用的过程中达到平衡状态。到平衡状态。围岩与支护结构的相互作用围岩与支护结构的相互作用2022-3-3042n支护结构特性曲线

27、与围岩支护需求曲线支护结构特性曲线与围岩支护需求曲线交点处的横坐标为形成平衡体系时洞周交点处的横坐标为形成平衡体系时洞周发生的位移。发生的位移。n交点纵坐标以下的部分为支护结构上承交点纵坐标以下的部分为支护结构上承受的荷载，以上的部分由围岩来承担。受的荷载，以上的部分由围岩来承担。2022-3-3043对位移与支护结构相互作用图进行分析对位移与支护结构相互作用图进行分析 n（1 1）不同刚度的支护）不同刚度的支护结构与围岩达成平衡时结构与围岩达成平衡时的的p pa a和和u ur0r0是不同的；是不同的；n（2 2）同样刚度的支护）同样刚度的支护结构，架设的时间不同，结构，架设的时间不同，最后

28、达成平衡的状态也最后达成平衡的状态也不同。不同。2022-3-3044塑性变形压力的计算塑性变形压力的计算（P96P969797） n塑性变形压力是塑性变形压力是按围岩与支护共按围岩与支护共同作用原理求出同作用原理求出的，应用了洞壁的，应用了洞壁上围岩与支护的上围岩与支护的应力和变形的协应力和变形的协调条件。调条件。n此外，亦可根据此外，亦可根据图图3.5.53.5.5中围岩变中围岩变形特性曲线与支形特性曲线与支护变形特性曲线护变形特性曲线的交点求出。的交点求出。 2022-3-3045例题例题3.6.13.6.12022-3-3046n考虑支护前考虑支护前围岩洞壁已释放了的位移围岩洞壁已释放

29、了的位移u u0 0；n即：即：n带入式（带入式（3.4.263.4.26）（支护阻力与洞周位）（支护阻力与洞周位移的关系式），得式（移的关系式），得式（3.6.63.6.6）：）： 0000pcrruuusin1sin 00a00) cot( sin)1 () cot)( sin1 ( cotcrzzuurcEccp2022-3-3047n关键是关键是u u0 0的测定，与支护的施工条件有关，它的测定，与支护的施工条件有关，它可由实际量测、经验估算或计算方法确定。可由实际量测、经验估算或计算方法确定。 n此外，需借助于此外，需借助于支护阻力与结构刚度的关系支护阻力与结构刚度的关系 ，如薄壁筒

30、或厚壁筒公式（如薄壁筒或厚壁筒公式（3.3.163.3.16）：）：n（3.6.73.6.7）n联立式（联立式（3.6.63.6.6）与式（）与式（3.6.73.6.7）即可解出）即可解出u ur0r0和和p pa a0000c2120cc02120ca)21)(1 ()(crcruKurrrrrEp2022-3-3048n再由式（再由式（3.4.153.4.15）求出塑性区的半径。）求出塑性区的半径。n n则围岩弹性区（式则围岩弹性区（式3.4.113.4.11）、塑性区的）、塑性区的应力（式：应力（式：3.4.103.4.10）和位移均可求出。）和位移均可求出。n支护结构的应力和位移可由（

31、支护结构的应力和位移可由（P73P73）厚壁）厚壁圆筒的公式（圆筒的公式（3.3.143.3.14）和式（）和式（3.3.153.3.15）给出给出 。sin2sin1a100cot cot )sin1 (pccrRz2022-3-3049小结围岩应力和位移的弹塑性分析小结围岩应力和位移的弹塑性分析cot sin1sin1 cot cot cot sin1sin20apsin1sin20apcrrcpcrrcptr式式3.4.10塑性区内的应力塑性区内的应力2022-3-3050弹性区内的应力弹性区内的应力220220e220220e0011rRrRrRrRRztRzr式3.4.112022-

32、3-3051弹塑性边界上的应力弹塑性边界上的应力002cos )sin1 (cos )sin1 (RzztRzrcc式3.4.132022-3-3052塑性区半径与支护阻力的关系塑性区半径与支护阻力的关系 n式（式（3.4.143.4.14）或（）或（3.4.153.4.15）sin1sin200a cot cos )sin1 ( cot Rrcccpz2022-3-3053洞室周边径向位移与支护阻力洞室周边径向位移与支护阻力的关系式的关系式n式（3.4.25）或（3.4.26）sinsin1a0pcot cot )sin1()cos sin (10pcccEruzzr2022-3-3054考

33、虑支护前围岩洞壁已释放了的位移考虑支护前围岩洞壁已释放了的位移u u0 0n得式（得式（3.6.63.6.6）：）：sin1sin 00a00) cot( sin)1 () cot)( sin1 ( cotcrzzuurcEccp2022-3-3055借助于支护阻力与结构刚度的关系式借助于支护阻力与结构刚度的关系式n联立式（联立式（3.6.63.6.6）与式（）与式（3.6.73.6.7）即可解出）即可解出u ur0r0和和p pa anP Pa a即为支护上的荷载即为支护上的荷载0000c2120cc02120ca)21)(1 ()(crcruKurrrrrEpsin1sin 00a00)

34、cot( sin)1 () cot)( sin1 ( cotcrzzuurcEccp2022-3-3056n再由式（再由式（3.4.153.4.15）求出塑性区的半径。）求出塑性区的半径。n则围岩弹性区（式则围岩弹性区（式3.4.113.4.11）应力、塑性）应力、塑性区的应力（式：区的应力（式：3.4.103.4.10）和洞周位移均）和洞周位移均可求出。可求出。n支护结构的应力和位移可由（支护结构的应力和位移可由（P73P73）厚壁）厚壁圆筒的公式（圆筒的公式（3.3.143.3.14）和式（）和式（3.3.153.3.15）给出给出 。2022-3-3057n复习：例题3.4.1，3.6.1；n作业：P117：n 13，14