三重积分详解课件.ppt

1、一、三重积分的概念一、三重积分的概念设设),(zyxf是是空空间间有有界界闭闭区区域域 上上的的有有界界函函数数， ( (1 1) )将将闭闭区区域域 任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1v ，2v , ,nv ，其其中中iv 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的体体积积, , ( (2 2) )在在 每每 个个iv 上上 任任 取取 一一 点点),(iii 作作 乘乘 积积iiiivf ),( ，),2,1(ni ， 1(3)(,)niiiiifv ( (4 4) )如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时， 这这和和式式

2、的的极极限限存存在在， 则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在闭闭区区域域 上上的的三三重重积积分分，记记为为 dvzyxf),(, ,即即 .),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 来来划划分分用用平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则三三重重积积分分记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中 dxdydz三重积分的性质与二重积分的类似。三重积分的性质与二重积分的类似。

3、特别地，特别地，被被积积函函数数1),( zyxf时时， 的的体体积积 dv . . x0z yz2(x,y)I = DyxddPNM. Dz1(x,y)zyxzyxfIddd ),( 二、直角坐标系下三重积分的累次积分法二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法先一后二法,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ),(),(d),(yxzyxzzzyxfx0z yz2(x,y)I =Dz1(x,y).zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxf Dyxdd二、直角坐标系下三重积分的累次积

4、分法二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法先一后二法三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D(4) Dx向向轴轴投投影影，得得到到ab ).()(, :21xyyxybxaD(2) ( ,),x yD 过过点点作作直直线线得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx 21( , )( , )(3)( , , )( , , ).zx yzx yDf x y z dvdxdyf x y z d

5、z 注意注意相相交交不不多多于于两两点点情情形形的的边边界界曲曲面面区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域平平行行于于Sz )1(分若干个小区域来讨论分若干个小区域来讨论相交多于两点时，把相交多于两点时，把的边界曲面的边界曲面闭区域闭区域内部的直线与内部的直线与轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域若平行于若平行于 )2(Sz例例 计计算算三三重重积积分分 xdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标 面面及及平平面面12 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. . 211xozy1。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .210, 10 :xyxD, ),(的直线的直线轴轴

6、作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxxxx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx, ),(的直线的直线轴轴作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.210yxz oxyz12例例 计计算算三三重重积积分分 dxdydzz 。 其其中中 ：平平面面 , 0 , , 2 , 1 zxyxx

7、及及 yz 2 所所围围成成的的闭闭区区域域. . 。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(轴的直线轴的直线作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即于是，于是， dxdydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(轴的直线轴的直线作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 例例 化化三三重重积积分分 dxdydzzy

8、xfI),(为为三三次次积积分分， 其其中中积积分分区区域域 为为由由曲曲面面 222yxz 及及 22xz 所所围围成成的的闭闭区区域域. . 解解由由 22222xzyxz, , 得交线投影区域得交线投影区域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , .),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因此，因此，故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , 666x+y+z=63x+y=62.例例x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+

9、z = 6所围成的区域所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例例x0z yzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y

10、=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域z = 0y = 042x+y+z=6.x0z y666zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域42.x0z y666 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域例例.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yxDzz , y,xfyxI6 0)d(dd.D0y x624D yxyyzzy

11、xfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.y14x+ y = 4x = 0 xzo1 22 yxz.例例zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxzy14x+ y = 4xzo11 22 yxz.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算取第一卦限部分取第一卦限部分 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz 4 1:22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz4x+ y = 4y = 0 xyz Dy

12、xzz , y,xfyxId )(dd1022.Dzzyxfyxyxxd ),(dd .ozyxz , y,xfIddd )( 计计算算11x+ y=1yozx1z=xy.例例例例. . 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算z =01x+ y=1ozx1yz=xy.例例 所所围围成成的的区区域域 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=xy.例例 所所围围成成的的区区域域

13、 与与 : z,yxxyzzyxz , y,xfIddd )( 计计算算 x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z ,y,x )()(21 其中其中 c1c2z Dz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 .zDz x0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(.zDzx0z yzyxzyxfIddd ),( zDy,x,czc|z , y,x )()(21 其中其中 c1c2. I

14、 = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(zzD(1) 把积分区域向某轴（例如轴把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投投影，得投影区间影区间 c1,c2(2) 对用过轴且平行对用过轴且平行xoy平面的平面去截，平面的平面去截，得截面得截面Dz; 截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：zyxzIddd2 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyaxx0yzbc 例例 计算计算aD0 2222221)(czbyax, czc|z , y,xd2ccz z zDyxddzyxzIddd2 Dz 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 c

15、zbyax.bczyxzIddd2 cczzczabd)1(222.3154abc .x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax. 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz0 xz yM(r, , z)z rNxyz(x, y, z) (r, , z)三、柱面坐标下三重积分的计算三、柱面坐标下三重积分的计算. .,sin,coszzryrx 1、柱面坐标、柱面坐标,0 r,20 . z简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标 + + z 坐标坐标柱面坐标与柱面坐标与直角坐标的直角坐标的关系为关系为 z动点动点M(r, ,

16、 z)柱面柱面Sr =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：x0yzMrz2. 2. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面动点动点M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：zx0yzMr .2. 2. 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的圆柱面；的圆柱面； 平面平面 z及及 z+dz；xz y0 drrrd d z平面平面z元素区域由六个元素区域由六个坐标面围成：坐标面围成：3 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xz y0 drrrd

17、 d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六元素区域由六个坐标面围成：个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz.3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz( cos , sin , )Vf rrz zrrdddzyxddddV =z

18、rrddd .d d d(, )Vfx y zx y z dV3 3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据再根据 V 中中 z，r， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 z 积分，再对积分，再对 r ，最后对最后对 积分。积分。例例 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 ,Vz dxdydz其中其中V所围成的闭区域。所围成的闭区域。与平面与平面是由曲面是由曲面 4 22 zyxz解解(1) 画画 V 图图(2) 确定确定 z，r， 的上下限的上下限将将 V 向向 xoy 面投影，得面投影，得 4 :22

19、yxD或或 . 20,20 : rD 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyzo4xyzo4Ao22 r ),( rxyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得202 ,: 02, 4Vrrz 于是，于是， Vz dxdydz .Vz r dr ddz 420202 rdzzrdrd Ao22 r, dzddrrdv Vz dxdydz Vz r dr ddz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 20520)(16 21drrrd 202 0

20、6261821drr2 0 62618221 rr .364 例例 求求 zdxdydzI，其其中中 是是球球面面 4222 zyx 与与抛抛物物面面 zyx322 所所围围的的立立体体. . 解解 zyxzyx3422222求交线：求交线：xyzo将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxD . 1, 322zyxoA3 r或或 .30,20 : rD dzdrdrzdxdydzzI .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 .43,30,20 :22 rzrr ),(

21、 r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rD 例例 计算三重积分计算三重积分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所围成。所围成。与平面与平面面面 )0( 22 HHzyxz解解将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得222 :HyxD 或或 .0,20 : HrD xyzoHxyzoHxyoHHH H .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 ),( r ,0,20 : HzrHr 即即或或 .0,20 : HrD .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyoHHH H

22、 HxyzoH ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv HHrdrzrd0 320 HdrrHr043)(2 .10 5H ,0,20 : HzrHr 即即 dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1zzyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上顶上顶z = 0.0 xz yDxyzzrrrddd2101020 例例. . 计算

23、计算I =10 xz y x y zM(r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.四、球面坐标系下三重积分的计算四、球面坐标系下三重积分的计算,0 r.20 ,0 规定：规定：1、球面坐标、球面坐标 SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , ) 2 2、球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半平面半平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C. 2 2、球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥

24、面 及及 +d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 3 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d r drd xz y0( sincos , sinsin , cos )f rrr d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d .zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd

25、d r 2dVdV = 3 3、球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式球面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据再再根据再 中中 r， ， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。例例 用球面坐标计算用球面坐标计算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解画画 图。图。确定确定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 过原点

26、作过原点作射线，得射线，得. 10 rxyzoxyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos51dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22si

27、ncos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 计算计算已知已知 )( .zyx,aazyx: z 0 xyar=2a cos 4 .M. cos20:ar 20 40 r M例例. .zyxzyxfIddd ),( rrrrrfIsadsin )cos,sinsin,cossin(ddco2 024 02 0 例例 计算计算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 围成。围成。)0( R将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 过过 z.40 在半

28、平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr 解解轴作半平面，得轴作半平面，得xyzoR即即 .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2sin Rdrrdd044020 sin xyzoR dvzyx )( 222 .cos,sinsin,cossin rzryrx).22(515 R 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr ddrdrdvsin2 11212(1)( , , )( , ,)( , , )( , , )0(2)( , , )( , ,)( , , )( , , )2( , , )X

29、OYf x y zzf x yzf x y zf x y z dxdydzf x y zzf x yzf x y zf x y z dxdydzf x y z dxdydzYOZXOZ 设设积积分分区区域域，且且与与关关于于坐坐标标面面对对称称：若若是是关关于于 的的奇奇函函数数，即即：，则则：若若是是关关于于 的的偶偶函函数数，即即：，则则：同同理理，可可写写出出关关于于面面及及面面对对称称时时的的()结结果果 自自己己总总结结！222222222:1(,)ln(1)10 xyzX O Yfxy zzzxyzdxdydzxyz 关关 于于面面 对对 称称为为 的的 奇奇 函函 数数例例 ：( , , )( , ,),( , , )(, , ),( , , )( , ),x y zx yzXOYx y zx y zYOZx y zxy zXOZ 若若则则 关关于于坐坐标标面面对对称称；若若则则 关关于于坐坐标标面面对对称称；若若则则 关关于于坐坐标标面面对对称称。