第三节-导数与函数的极值、最值课件.pptx

1、栏目索引理数课标版第三节导数与函数的极值、最值栏目索引1.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.教材研读教材研读栏目索引(2)函数的极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0),f(x)=-+=,当x2时,f(x)0,此时f(x)为增函数;当0 x2时,f(x)-1时,

2、y0;当x-1时,y0)的极小值为.答案答案 a-alna解析解析 f(x)的定义域为(0,+),易知f(x)=1-.由f(x)=0,解得x=a(a0).又当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna.ax栏目索引考点一运用导数解决函数的极值问题考点一运用导数解决函数的极值问题命题角度一求已知函数的极值命题角度一求已知函数的极值典例典例1(2017成都双流中学月考)设a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+lnx).求函数f(x)的极值.解析解析 f(x)的定义域为(0,+).f(x)=x-(a+1)+=.当0a0,函数f(x)单调递

3、增;若x(a,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+alna,极小值是f(1)=-.12ax2(1)xaxax(1)()xxax1212考点突破考点突破栏目索引当a=1时,f(x)=0,2(1)x-x所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值.当a1时,若x(0,1),则f(x)0,函数f(x)单调递增;若x(1,a),则f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值

4、是f(a)=-a2+alna.综上,当0a1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+alna.121212121212栏目索引命题角度二已知函数的极值情况求参数的值或范围命题角度二已知函数的极值情况求参数的值或范围典例典例2已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范围.解析解析(1)f(x)=,x(-,0)(0,+),f(x)=.当f(x)=0时,x=1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表:exxexx2e (1)xxxx(-,0)(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)极小值栏目索

5、引故f(x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1).(2)易得g(x)=ex-ax+1,g(x)=ex-a,当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在(0,+)上无极值点.当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=lna;令g(x)=ex-a0,得x(lna,+);令g(x)=ex-a1.栏目索引方法技巧方法技巧1.利用导数研究函数极值问题的一般流程栏目索引2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以

6、利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.栏目索引1-1已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为()A.-B.-2C.-2或-D.不存在ab2323答案答案 Cf(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,f(x)=3x2+2ax+b,由题意知f(1)=3+2a+b=0,b=-3-2a,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10,将代入整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6.当a=-2时,b=1;当a=-6时,b=9.=-2或=-,故选C.abab23栏目索引1-2 (2016河北石家庄一模)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,

7、aR).求f(x)的单调区间与极值.解析解析由f(x)=ex-3x+3a知,f(x)=ex-3.令f(x)=0,得x=ln3,于是当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x(-,ln3)ln3(ln3,+)f(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(-,ln3,单调递增区间是ln3,+),f(x)在x=ln3处取得极小值,极小值为f(ln3)=-3ln3+3a=3(1-ln3+a).ln3e栏目索引考点二运用导数解决函数的最值问题考点二运用导数解决函数的最值问题典例典例3 已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单

8、调性;(2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值.解析解析(1)f(x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,由f(x)0得x0,由f(x)0得x0.故函数f(x)在(0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减.当a0得0 x-,由f(x)0得x-.故函数f(x)在上单调递增.在(-,0)与上单调递减.2a2a20,a2,a栏目索引(2)当a=0时,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值为f(1)=1.当-2a1,f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值是f(1)=ea.当a-2时,0-1,x=-是函数f(x)在区间0,1上唯一的极大值点,也就是最大值点,此时函数f(

9、x)的最大值是f=.综上得当-2a0时,f(x)在0,1上的最大值是ea;当a-2时,f(x)在0,1上的最大值为.2a2a2a2a224ea224ea栏目索引规律总结规律总结求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2-1(2016湖北七市(州)协作体联考)设nN*,a,bR,函数f(x)=+b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.(1)求a,b;(2)求f(x)的最大值.lnnaxx栏

10、目索引解析解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=.f(1)=a,又切线斜率为1,故a=1.由曲线y=f(x)过点(1,0),有f(1)=b=0.故a=1,b=0.(2)由(1)知f(x)=,f(x)=.令f(x)=0,得1-nlnx=0,解得x=.当0 x0,得f(x)在(0,)上是增函数;当x时,有f(x)0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值.解析解析(1)f(x)=,令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex0,所以y=f(x)的零点就是g(

11、x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f(x)与g(x)符号相同.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;2exaxbxc22(2)e()e(e )xxxaxbaxbxc2(2)exaxab xbc栏目索引当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.55e栏目索引方法技巧方法技巧解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论,即函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.栏目索引3

12、-1 (2016云南统一检测)已知常数a0,f(x)=alnx+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.解析解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+),f(x)=+2=.ax2axx当a=-4时,f(x)=.当0 x2时,f(x)2时,f(x)0,即f(x)单调递增.24xxf(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln2.当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln2.栏目索引(2)f(x)=,当a0,x(0,+)时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值;当a0得,x-,f(x)在上单调递增;由f(x)0得,x-,f(x)在上单调递减.当a0时,f(x)的最小值为f=aln+2.根据题意得f=aln+2-a,2axx2a,2a2a0,2a2a2a2a2a2a2a即aln(-a)-ln20.a0,ln(-a)-ln20,解得a-2,实数a的取值范围是-2,0).