空间直角坐标系与矢量的坐标表达式课件.ppt

1、Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 1x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即即以以右右手手握握住住z轴轴，当当右右手手的的四四个个手手指指从从正正向向x轴轴以以2 角角度度转转向向正正向向y轴轴时时，大大拇拇指指的的指指向向就就是是 z轴轴的的正正向向. 一、空间直角坐标系 从空间某一点从空间某一点O引三条互相垂直的射线引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz.并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系并取定长度单位和方向，就建立了空

2、间直角坐标系 .其其中中O 点称为点称为坐标原点坐标原点，数轴，数轴Ox, Oy, Oz称为称为坐标轴坐标轴，每两，每两个坐标轴所在的平面个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做叫做坐标平面坐标平面.Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 2xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限三个坐标面、八个卦限Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 3空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊

3、点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,CHigher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 4设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在 直直 角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中 ， 使使 用用 勾勾 股股 定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点

4、间的距离Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 5,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2MHigher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 6例例 1 1 求证以求证以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3

5、, 2 , 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 7例例 2 2 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 ,2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,

6、(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 8三、矢量在直角坐标系中的分解式 下面我们将空间任一矢量沿直角坐标系的坐标轴的方向下面我们将空间任一矢量沿直角坐标系的坐标轴的方向来分解来分解 .SMOSOMa 由由于于ORSM,OQOPOS 因因此此, OROQOPa 设空间直角坐标系中有一矢量设空间直角坐标系中有一矢量a，

7、其起点为，其起点为O，终点为，终点为M 。M的坐标为的坐标为(a1, a2, a3),过过M点作三坐标轴的垂直平面，分别与三点作三坐标轴的垂直平面，分别与三坐标轴的交点为坐标轴的交点为P、Q、R，根据矢量，根据矢量的加法法则可得的加法法则可得 xyz MoPRQS1a2a3aHigher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 9kaORjaOQiaOPaaaMOzOyOxkji321321 ,),(,因因此此的的坐坐标标为为由由于于轴轴正正向向的的单单位位矢矢量量，轴轴、轴轴、分分别别是是设设.,321321aaaakajaiaOMa 或或

8、记记于于是是，上式称为矢量上式称为矢量 a 在直角坐标在直角坐标系中的分解式，其中系中的分解式，其中称为矢量称为矢量 a 的坐标，的坐标，i, j, k 称为直角坐标系中的一组基称为直角坐标系中的一组基.321aaa,xyz MoPRQS1a2a3a三、矢量在直角坐标系中的分解式Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 10232221321aaaOMakajaiaOMa 得得由由为为了了表表示示矢矢量量 a 的的方方向向，我我们们把把矢矢量量 a 与与 Ox 轴轴、Oy 轴轴、 Oz 轴轴正正向向的的夹夹角角分分别别记记为为,

9、, 称称为为矢矢量量 a 的的方方向向角角， 由由同同时时我我们们称称cos、cos、cos为为矢矢量量 a 的的方方向向余余弦弦。 23222111aaaaaa |cos23222122aaaaaa |cos23222133aaaaaa |cosOxyzMPQRS1a2a3aHigher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 11232221321aaaOMakajaiaOMa 得得由由为为了了表表示示矢矢量量 a 的的方方向向，我我们们把把矢矢量量 a 与与 Ox 轴轴、Oy 轴轴、 Oz 轴轴正正向向的的夹夹角角分分别别记记为为, ,

10、 称称为为矢矢量量 a 的的方方向向角角， 由由同同时时我我们们称称cos、cos、cos为为矢矢量量 a 的的方方向向余余弦弦。 23222111aaaaaa |cos23222122aaaaaa |cos23222133aaaaaa |coscos、cos、cos,满满足足如如下下关关系系式式： 1coscoscos222 这这说说明明方方向向余余弦弦 cos、cos、cos （或或方方向向角角,）不不是是相相互互独独立立的的 。 Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 12设kjia321aaa，kjib321bbb 则k

11、jiba)()()(332211bababa kjiba)()()(332211bababa kjia)()()(321mamamam 四、矢量的代数运算Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 13例例 3 已 知kjibkjia23,432 求求 （ 1） a+b; （ 2）b ba;（ 3） 3a+2b. 解解 （1）kjiba)24() 13()32(kji225; （2）kjiba)2(4()1(3() 32( kji64; （3）kjiba)2(243()1(233() 3223(23 kji8712. Higher-

12、 mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 14例例 4 已已知知)1,2,4(),3 ,2, 1(21MM ,求求21MM以以及及其其方方向向余余弦弦. 解解,kjiOMOMMM4431221 ,4144322221 MM,cos413 ,cos414 .cos414 OxyzM1M2Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 15空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、

13、卦限）五、小结 21221221221zzyyxxMM 矢量在直角坐标系中的分解式矢量在直角坐标系中的分解式矢量的代数运算矢量的代数运算Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 16思考题在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1 ( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思考题解答思考题解答A:; B:; C:; D:;Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 20221

14、9 - 17 1 1、下列各点所在卦限分别是：、下列各点所在卦限分别是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题Higher- mathematics ( II )Sunday, March 27, 202219 - 18二二、在在yoz

15、面面上上，求求与与三三个个已已知知点点)2,1,3(A， )2,2,4( B和和)1,5,0(C等等距距离离的的点点 . 练习题答案练习题答案一一 、 1 1、 , , , , , , ； 2 2、 ( (- -3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,- -1 1) ), ,( (- -3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) ), , ( (- -3 3, ,- -2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) )； 二、二、(0,1,(0,1,- -2)2). . 三三、 求求平平行行于于向向量量 的的单单位位矢矢量量的的分分解解式式. kjia676 .116117116kji 三、三、