第三章-泛函分析初步课件.ppt

1、1第三章 泛函分析初步 3.1 线性空间 3.2 线性子空间 3.3 距离空间 3.4 Banach空间 3.5 Hilbert空间 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 23.1 线性空间 线性空间：设W（W为非空集合） (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,Z W,有.,WWW 00 +0 +=+=+=+（加法封闭性）半群（结合律）使（存在零元）群交换群使（存在逆元）（交换律）X XY YX XY YZ ZX XY YZ ZX XX X X XX XX XX XY YY YX X 33.1 线性空间 (2)对 X,Y W， , C（复数域）有： . . . . 称W为线性空间；

2、若 , C ，则W为复线性空间；若, R，则W为实线性空间。W 1+=+=X XX XX XX XX XX XY YX XY YX XX X43.1 线性空间 1,NiiiiiWW 1)加法封闭有2)数乘封闭XXXX C,a ba b 上所有连续函数的全体 是线性空间。1212,nnspan是由张成的线性空间。XXXXXXXXXXXX53.1 线性空间 线性空间W上的算子L为线性算子 零状态线性系统系统算子为线性算子11LLNNiiiiiiXXXX63.2 线性子空间 线性子空间：设 V W， V是W的线性子空间 直和：设,VV +对有X YXYX YXY1211212,1,ppippW WW

3、WWWipWW WWWWWW=+ 是的子空间,若可唯一表示成其中则称是的直和,记为:。X XXXXXXXXXXX73.3 距离空间（度量空间Metric Space） 距离空间：设W ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包 括0）， X,Y W 满足以下三条公理： 称为W上的距离， 为度量空间。 ,:WWRX YX Y i. ,0,0 ii. ,iii. ,=且（正定性） （可交换性） （三角不等式）X X Y YX X Y YX XY Y X X Y YY Y X XX X Z ZX X Y YY Y Z Z,X YX Y,W83.3 距离空间 例： 例：,X YXY ,maxa t

4、bC a bX tY tX tY t 93.3 距离空间 例：1111221,maxnnnnniiiniiiiiixyxyxyxyxy,XYXYX YX YX YX YX YX Y103.3 距离空间收敛 收敛： 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 010100,0,limnnnnnnnWxxxxxxnxx 度量空间中的点列收敛于是的极限当,W113.3 距离空间完备度量空间 柯西序列Cauchy Sequence 例： 11,0,nnnmnnxWNNxxn mNxW 设是中的点列,若对使则称是中的柯西序列。,lim0nmmnmnm nxxxxxx123.3 距离空间完备度量空间 中任

5、意收敛序列是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 中 例：,W,W,W 111,0,1 ,110,00,1nnWXYX YWnnnn 是柯西序列,但133.3 距离空间完备度量空间 完备度量空间Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。 极限运算在完备时可行 如何完备化？ W不要求线性空间,W143.4 巴拿赫（Banach）空间 153.4.1 赋范线性空间 赋范线性空间：设W是线性空间，若对 X W， X 满足：称为X的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。 i. 0,0 ii. , iii. 0 =+（正定性）（正齐性）

6、 （三角不等式）XXXXXXXXXXXYXYXYXY,W163.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例1： 1211122,1,max,2,Tnnnnppipiix xxxppxip 特别的： 欧式范数X XX XX XXXXXXX173.4.1 赋范线性空间 （广义）长度的推广： 例2： 1111,1,1,sup,ppnininppipiilxxpxppxi 特别的：X XX XX X183.4.1 赋范线性空间 Minkowski不等式： 1111111111,0,(),1ppiiiiiippppppiiiiiiiiiiia biabababpba 设则等号成立条件为：193.4.

7、1 赋范线性空间 12111.,1,1,ppninippnnnpqnnn Nn NqpqllllxxplxNnNxxxqplll 其中。证明： 使得当时 恒有 。X XX XX X203.4.1 赋范线性空间 例 1111,C,C,1 Minkowski,1,|,supbpppabbbppppppaaabppata ba bx ta bx tx tdtpx ty tdtx tdty tdtpLa bx tx tdtpx tx t 对不等式:当213.4.1 赋范线性空间 强收敛： 弱收敛：依泛函收敛。 注：强收敛弱收敛。 1,lim0,nnnnWxxxx在中,收敛于指也称为依范数收敛。223.

8、4.1 赋范线性空间 度量空间与赋范线性空间的关系： 例 ,WWW在中,定义反之不然X YXYX YXY0,1,iiS在 中,但不满足范数定义（ 条）XYXYX YX YXYXYX YXYX YXY233.4.2. Banach空间 Banach空间：完备的 称为Banach空间。 是Banach空间。 在 中，取 完备。 ,W,nnpl,C a b maxa x bxx t 1,1,pbpppaLa bpx tx tdtRiemannLebesgue 不完备积分积分243.4.2. Banach空间 定理：若 Hlder不等式： 证明思路：1, , , qppqL a bL a b 则。 1

9、111 , , , ,1,pqbbbpqpqaaaf xL a b g xL a bpqf x g x dxf xdxg xdx若则 ,101bppqaf xL a bf xdxpppqrqr 构造253.5 Hilbert空间 263.5.1 内积空间 内积：设W为实或复线性空间，若对 X,Y,ZW,C，均有一个实数或复数与之对应，记为X,Y，满足： 则称X,Y为X与Y的内积，定义了内积的空间为内积空间。 * i.,0,0 ii.,iii.,iv.,0且（正定性）（共轭交换性）（齐次性）（加法分配性）X XX XX X XX XX X YY XX YY XX YX YX YX YXY ZX

10、ZY ZXY ZX ZY Z273.5.1 内积空间 注： 例子： *1.,2.,:,3. iiiiv,WWW 若为数的集合,则为 通常的二元函数。和可以合并:X XY YX X Y YX X Y YX X Y YX XY Y Z ZX X Z ZY Y Z Z12111,nnTTnnnnTiiispanxxyyx y=X XX XX XX XY YX X Y YX X Y Y283.5.1 内积空间 例子： *, H,nHbaUa bx ty tx t yt dtC（约定了内积复线性空间）表示共轭转置。X XY YX XY Y 2221,( )|( ) ( )( ),1,( ) ( )bHn

11、aTnnibHaLa bttt dttx txtLa bx tL a bintttt dt XXXXXXX XXYXYXYXY293.5.2 Hilbert空间 定义欧氏范数 ，则内积（线性）空间成为赋范线性空间。 Hilbert空间：依欧氏范数 完备的内积空间称为Hilbert空间。 有限维内积空间必完备： 完备。 完备，定义内积 。 H空间是能量有限信号的集合。122,XX XXX X122,XX XXX X,nnU2,L a b bax t yt dt303.5.2 Hilbert空间 Cauchy-Schwarz不等式：W为内积空间， X,YW，有 注： 1.在Hlder不等式中，取

12、，就成为Cauchy-Schwarz不等式。 2.在 空间中，有Cauchy不等式： 3.在 空间中，有Schwarz不等式： 22,X YXYX YXYnU 1122HHHXYXXYYXYXXYY2,L a b 112222*bbbaaax t yt dtx tdty tdt2pq313.5.3 线性泛函 算子Operator：X,Y为线性空间，算子： 其中， 为定义域， 为值域。 T:D TR(T)T:XYXY或 D T R T323.5.3 线性泛函 泛函Functional：值域是实复数域的算子为泛函。 注：定积分，距离，范数，内积， 函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。 线性算

13、子： X,Y为线性空间， ，若对 ，有： 则T为线性算子。T: XY,iiXCX X11TTNNiiiiiiXXXX333.5.3 线性泛函 线性泛函：线性算子T的值域为实复数集。 距离、范数是泛函，但非线性泛函。 连续线性算子T 线性算子：有界连续 内积为连续线性泛函 积分算子 22T:,T,baL a bL a bx th txdh ta ba b在上连续343.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 353.6.1 正交Orthogonal 正交：在内积空间W中，若 ，满足： ，则称 正交，记为： 。其中k为常数， 为Kronecker符号 正交（子）集： 中任意两个元正交。 ,ijWXXX

14、X,ijijkXXXXijXXXX与ijXXXXij1,0,ijijij=VW363.6.1 正交 集正交：若 正交补： 规范正交完备集V： 1. （完备性） 2. （规范正交） ,X YWXYXYXYXYXYXYXY对有则称集与集 正交,记为：。,|,VW VVWVVVXXXX的正交补显然。 0V,ijijijVXXXXXXXX373.6.1 正交 定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。 定理：W是Hilbert空间， ，V是W的正交子集。WVV383.6.2正交投影Orthogonal Projection 正交投影： W是Hilbert空间， 在V上的正交投影或投影，记为： 。 注

15、： 的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。 000,VWWVV X XY YX X= = Y YY YX X若使则称是0PVYXYX0YXYX与393.6.3 广义傅里叶展开 广义傅里叶展开：设 是H空间W的规范正交完备集，则对 为广义傅里叶系数。 注： 是Hilbert空间W的规范且完备的一组基。 是 X 在 上的投影。 1iiV,XW有11,iiiiiiXcX ,iicX 1iiVici403.6.3 广义傅里叶展开 Parseval等式：设 ， 则 物理解释：信号的总能量各个分量的能量的和。 几何解释：广义勾股定理。11,iiiiiiXcX 222211,iiiiXXc413.6.3 广义傅里叶展开 用N项广义傅里叶展开逼近X： 设 是Hilbert空间W的规范正交完备集， X在 上的投影： 。 这里 规范正交，但不完备。 1iiV 111NiiiNNiii NVVV1,NiiiXX NVNV42结束