第5章给水管网水力分析和计算课件.ppt

1、管网模型中的节点总数的流量节点的流量；段相连的各管段的流量管与节点NjQiqNjQqjijSiijj,.,2 , 10)(节点流量方程节点流量方程（根据质量守恒定律）（根据质量守恒定律）含义：流入某一节点的流量等于流出该节点的流量。含义：流入某一节点的流量等于流出该节点的流量。注意：注意：1管段流量方向（指向节点为负，离开为正）管段流量方向（指向节点为负，离开为正） 2节点流量方向（流入为负，流出为正）节点流量方向（流入为负，流出为正）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）198765432Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q

2、8,h8q9,h9q4,h4环状网节点流量方程组环状网节点流量方程组0000485374326321521QqqQqqqQqqqQqqq000084716975986QqQqQqqQqqq 线性变换线性变换 求出包括节点（求出包括节点（5）和（和（6）的大节点）的大节点连续性方程。连续性方程。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）198765432Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h400605658766975986QQqqqQqqQqqq两方程相加：）节点（）解：节点（所有节点流量方程相加：所有节

3、点流量方程相加：0QN1jj树状网节点流量方程组树状网节点流量方程组000045374326321521QqQqqqQqqqQqqq（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）1765432Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q4,h4000084716756QqQqQqQq节点流量方程组经过线性变化，可得到：节点流量方程组经过线性变化，可得到：67564584863386532271QqQqQqQqQQQqQQQQQqQq 可以看出：树状网中，各管段流量可以看出：树状网中，各管段流量qi可以用节点可以用节点流量流量Qj表示出来。表示

4、出来。管段压降方程管段压降方程（根据能量守恒定律）（根据能量守恒定律）管段两端节点水头之差等于该管段的压降：管段两端节点水头之差等于该管段的压降： HFi HTi= hi i-1,2,M HFi管段管段i的上端点水头；的上端点水头； HTi管段管段i的下端点水头；的下端点水头； hi管段管段i的压降；的压降； M管段模型中的管段总数。管段模型中的管段总数。注意：注意：o 判断上下端点时按管段设定的方向，而非实际流向。判断上下端点时按管段设定的方向，而非实际流向。o M个管段，可以列出个管段，可以列出M个方程。个方程。438332221117hHHhHHhHHhHH（1）（2）（3）（4）（5）

5、（6）（7）（8）198765432Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4965854763652541hHHhHHhHHhHHhHH环状网管段压降方程组环状网管段压降方程组h hi i可以通过管段的水力特性表示可以通过管段的水力特性表示hi=siqin hi=siqi|qi|n-1 hi=siqi|qi|n-1-hei i=1,2,Mhi管段压降，管段压降，m；qi管段流量，管段流量，m/s;si管段阻力系数，应为管段上管道、管件、阀门、泵站所以管段阻力系数，应为管段上管道、管件、阀门、泵站所以设施阻力之和；

6、设施阻力之和；hei 管段扬程，如管段上未设泵站，则管段扬程，如管段上未设泵站，则hei =0；n管段阻力指数。管段阻力指数。管段流向和设定方向一致，为正，即管段流向和设定方向一致，为正，即siqi|qi|n-1=siqin管段压降方程组的变换管段压降方程组的变换 如果一些管段首尾相连，形成一条路径，将这些管段如果一些管段首尾相连，形成一条路径，将这些管段的能量守恒方程相加或相减，得到路径能量方程。的能量守恒方程相加或相减，得到路径能量方程。 例：将管段例：将管段1、2、3的能量方程相加，再减的能量方程相加，再减去管段去管段4的能量方程，可导出从节点（的能量方程，可导出从节点（7）到节点）到节

7、点（8）之间一条路径的能量方程，即：）之间一条路径的能量方程，即：H7-H8=h1+h2+h3-h4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）198765432Q7Q3Q2Q1Q4Q5Q6Q8q1,h1q6,h6q5,h5q2,h2q3,h3q7,h7q8,h8q9,h9q4,h4思考题：由节点能量方程导出：思考题：由节点能量方程导出：1）由节点（）由节点（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（6）、（）、（5）、）、（4）组成的回路能量方程。）组成的回路能量方程。2）由节点（）由节点（1）、（）、（2）、（）、（5）、（）、（4）组成的环能量）组成的环能量方程。方程。 可以证明，对

8、于任意环状管网，环能量方程的一般形可以证明，对于任意环状管网，环能量方程的一般形式为：式为：0)(ihMihHHNjQqiTiFijSiij,.,2 , 1,.,2 , 10)(o 水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。水力分析的数学含义就是解恒定流方程组。o 水力分析的工程意义就是已知给水管网部分水水力分析的工程意义就是已知给水管网部分水力学参数，求其余水力参数。力学参数，求其余水力参数。（1 1）给水管网水力分析的数学含义：）给水管网水力分析的数学含义： 求解管网恒定流方程组。求解管网恒定流方程组。（2 2）管网水力分析命题：）管网水力分析命题： 在满足供水需求（用水量分布、供水压力和水质

9、）条件下，在满足供水需求（用水量分布、供水压力和水质）条件下，确定给水管网的科学设计方案（管网布置、管径计算、确定给水管网的科学设计方案（管网布置、管径计算、造价经济、运行安全）。造价经济、运行安全）。（3）给水管网的水力特性参数：）给水管网的水力特性参数： 1）节点：节点流量、节点压力、节点标高、自由水头；）节点：节点流量、节点压力、节点标高、自由水头； 2）管段：）管段：管段流量、管径、长度、摩阻系数、管段压降；管段流量、管径、长度、摩阻系数、管段压降； 3）环：管网供水保证率、安全可靠性。）环：管网供水保证率、安全可靠性。管网水力分析条件和目的管网水力分析条件和目的:1、已知条件：、已知

10、条件： （1）管网布置：枝状管网、环状管网；）管网布置：枝状管网、环状管网； （2）节点：节点流量、地面标高、服务压力；）节点：节点流量、地面标高、服务压力； （3）管段：长度、管径、经济流速）管段：长度、管径、经济流速 、摩阻系数；、摩阻系数；2、管网水力分析求解内容：、管网水力分析求解内容： （1）计算管段流量；）计算管段流量； （2）计算节点压力；）计算节点压力； （3）确定水泵流量、扬程；）确定水泵流量、扬程；3、管网水力分析目的、管网水力分析目的满足安全供水目标：满足安全供水目标： （1）设计方案水力状态流量、压力分布和变化；）设计方案水力状态流量、压力分布和变化； （2）管网事故、

11、消防、转输流量工况校核。）管网事故、消防、转输流量工况校核。 1、节点方程：求解节点压力、节点方程：求解节点压力Hi。方程数。方程数N-1。2、环方程：方程数环数。、环方程：方程数环数。3、管段方程：方程数管段数。、管段方程：方程数管段数。MihqqsHHeiniiiTiFi, 3 , 2 , 11MiqqsHHniifiTiFi, 3 , 2 , 11LkhkRii, 3 , 2 , 10)(NjQqjsiji, 3 , 2 , 10)(（1 1）节点流量与节点水头必须有一个已知）节点流量与节点水头必须有一个已知已知节点水头而未知节点流量的节点称为已知节点水头而未知节点流量的节点称为定压节点

12、定压节点。已知节点流量而未知节点水头的节点成为已知节点流量而未知节点水头的节点成为定流节点定流节点。 （2 2）管网中中至少有一个定压节点）管网中中至少有一个定压节点（1 1）树状管网水力计算）树状管网水力计算各管段的流量是唯一确定的，与管段流量对应的管段各管段的流量是唯一确定的，与管段流量对应的管段水头损失、管段流速、节点压力可以一次计算完成水头损失、管段流速、节点压力可以一次计算完成 （2 2）环状管网水力计算）环状管网水力计算将节点流量方程组和环能方程组转换成节点压力方程将节点流量方程组和环能方程组转换成节点压力方程组或环校正流量方程组，通过求解方程组得到环状组或环校正流量方程组，通过求

13、解方程组得到环状管网的水力参数。管网的水力参数。l 解环方程组解环方程组l 解节点方程组解节点方程组l 解管段方程组解管段方程组解环方程水力分析方法解环方程水力分析方法 解环方程的基本思想解环方程的基本思想：先进行管段流量：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过施加破坏的前提下，通过施加环校正流量环校正流量，设法使各环的能量方程得到满足。设法使各环的能量方程得到满足。 在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段在管网水力计算时，根据求解的未知数是管段流量还是节点水压，

14、可以分为流量还是节点水压，可以分为解环方程、解节解环方程、解节点方程和解管段方程三类。点方程和解管段方程三类。 特点：特点：（1）不存在环方程；）不存在环方程；（2）管段流量）管段流量qi不变化，管段水头损失不变化，管段水头损失 hi 不不变化，节点变化，节点方程组系数矩阵元素值为常数，未知节点压力存在直接方程组系数矩阵元素值为常数，未知节点压力存在直接解。解。 即直接求解线性化节点压力方程组。即直接求解线性化节点压力方程组。 枝状管网直接算法枝状管网直接算法 1 1、管段流量：采用逆推法。、管段流量：采用逆推法。 从树枝末端节点流量开始，用节点流量连续性方程，从树枝末端节点流量开始，用节点流

15、量连续性方程，向前逐一累加，每一管段下游所有节点流量的和即为向前逐一累加，每一管段下游所有节点流量的和即为该管段的管段流量；该管段的管段流量； 2 2、节点压力（水头）：采用顺推法。、节点压力（水头）：采用顺推法。 从已知压力节点出发，用管段能量方程求节点水头，从已知压力节点出发，用管段能量方程求节点水头，可立即解出。可立即解出。例例5.1 某城市树状给水管网系统如图所示，节点（某城市树状给水管网系统如图所示，节点（1）处为水厂）处为水厂清水池，向整个管网供水，管段清水池，向整个管网供水，管段1上设有泵站，其水力特性为：上设有泵站，其水力特性为：sp1=311.1(流量单位流量单位m3/s，水

16、头单位，水头单位m),he1=42.6m，n=1.852。根据清水池高程设计，节点（。根据清水池高程设计，节点（1）水头为）水头为H1=7.8m，各节点流量、各管段长度与直径如图所示，各节点地面标高见表各节点流量、各管段长度与直径如图所示，各节点地面标高见表5.1，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水头与，试进行水力分析，计算各管段流量与流速、各节点水头与自由水头。自由水头。节点编号(1)(2)(3)(4)(5）（6）（7）（8）（9）（10）地面标高(m)9.811.511.815.217.413.312.813.712.515.00单定压节点树状管网水力分析单定压节点树状管网水力

17、分析 【例5.1】计算结果1.8521.8521111.8524.871.8524.8710.6710.67(93.75/1000)6001.37100(400/1000)fiqlhmCD泵站扬程按水力特性公式计算：泵站扬程按水力特性公式计算：1.852111 142.6311.1 (93.75/1000)38.72npephhs qm0.89解环方程水力分析方法解环方程水力分析方法 解环方程的基本思想解环方程的基本思想：先进行管段流量初分配，使节：先进行管段流量初分配，使节点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量点流量连续性条件得到满足，然后，在保持节点流量连续性不被破坏的前提下，通过

18、施加连续性不被破坏的前提下，通过施加环校正流量环校正流量，设，设法使各环的能量方程得到满足。法使各环的能量方程得到满足。由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以连由于初分流量时是严格按照节点流量平衡来进行的，所以连续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满足，即环内续性方程能够满足，但是能量方程就有可能不满足，即环内正反两个方向的水头损失不相等。环内正反两个方向的水头正反两个方向的水头损失不相等。环内正反两个方向的水头损失之差称作损失之差称作闭合差闭合差。调整管段流量，减少闭合差到一定精。调整管段流量，减少闭合差到一定精度范围的过程就叫度范围的过程就叫管网平差管网平差。管网自然环：单

19、一闭合回路。管网自然环：单一闭合回路。自然环数：自然环数：LMN1。（。（M L N 1）管网水力环方程：管网水力环方程：（1 1）管段方程线性化：）管段方程线性化：对于管网中管段，给定初始工况对于管网中管段，给定初始工况点，对式（点，对式（5.1）微分得该点的切线方程：）微分得该点的切线方程： 0kiniikiiqshiiiniiidqzdqqnsdh)0(1)0(ieiiniiiqhhnqnsz)(1管段管段i的阻尼系数的阻尼系数（2 2）环方程线性化）环方程线性化环方程转换：未知管段流量 未知环校正流量。式中，qi(0)管段初始分配流量； qk 环校正流量。0)(0）（kinkiikin

20、iikiiqqsqsh环校正流量方程：LkqqqFhLkRiik, 3 , 2 , 10),()(210)()()()(0)()()()(21)0(662)0(992)0(772)0(331)0(551)0(8821)0(661)0(22nnnnnnnnqqqsqqsqqsqqsqqsqqsqqqsqqs环方程线性化泰勒展开式在环校正流量初值点处 ， 将环水头函数用泰勒公式展开，忽略高次项，取线性项，得线性方程组： )0, 0, 0()0()0(2)0(1Lqqq)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0 , 0 , 0()0(22)0(11)0(2)0(222)0(211)0(21)0

21、(122)0(111)0(1LLLLLLLLLLFqqFqqFqqFFqqFqqFqqFFqqFqqFqqF在初步分配流量的基础上，逐步调整管段在初步分配流量的基础上，逐步调整管段流量以满足能量方程。流量以满足能量方程。L个非线形的能量方程：个非线形的能量方程：0),(3211PqqqqF0),(3212PqqqqF0),(321PLqqqqF环方程线性化泰勒展开式初步分配的流量一般不满足能量方程：初步分配的流量一般不满足能量方程： 0),(00302011PqqqqF0),(00302012PqqqqF0),(0030201PLqqqqF 初步分配流量与实际流量的的差额为初步分配流量与实际流

22、量的的差额为q，实际流量应满足能量方程：，实际流量应满足能量方程：0),(03032021011PPqqqqqqqqF0),(03032021012PPqqqqqqqqF0),(0303202101PPLqqqqqqqqF将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：将函数在分配流量上展开，并忽略高阶微量：0)(),(1221111002011PPPqqFqqFqqFqqqF0)(),(2222112002012PPPqqFqqFqqFqqqF0)(),(221100201PPLLLPLqqFqqFqqFqqqF100302011),(hqqqqFP200302012),(hqqqqFPLPLhqq

23、qqF),(0030201方程组的第一部分称为闭合差：方程组的第一部分称为闭合差： 将闭合差项移到方程组的右边，得到关将闭合差项移到方程组的右边，得到关于流量误差（校正流量）的线性方程组：于流量误差（校正流量）的线性方程组：11221111hqqFqqFqqFPP22222112hqqFqqFqqFPPLPPLLLhqqFqqFqqF2211环方程矩阵形式将线性方程组式（5.19）表示成矩阵形式：系数矩阵： )0()0(hqFLjLkqFjk、321,321,)0()0(F不相邻和且环的公共管段和为相邻环jkjkjkizqnsjkzqnsqFiniiRiiRiniijkkk0)()0(1)0(

24、)0(1)0()0(（对角线元素）（对角线元素）（1 1）牛顿）牛顿- -拉夫森算法：拉夫森算法：1）拟定管段流量初值，给定闭合差最大允许值，）拟定管段流量初值，给定闭合差最大允许值， 手工计算时一般取手工计算时一般取=0.10.5m， 计算机计算时一般取计算机计算时一般取=0.010.1m；2）由式（）由式（5.20）计算各环水头闭合差；）计算各环水头闭合差；3）闭合差均小于最大允许闭合差，则解环方程组结束，）闭合差均小于最大允许闭合差，则解环方程组结束， 转转7）进行后续计算；否则继续下步；）进行后续计算；否则继续下步；4）计算系数矩阵，式（）计算系数矩阵，式（5.26）；）；5）解线性方

25、程组式（）解线性方程组式（5.21），得环校正流量；），得环校正流量；6）将环校正流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新）将环校正流量施加到环内所有管段，得到新的管段流量，作为新的初值（迭代值），转第的初值（迭代值），转第2）步重新计算，管段流量迭代计算公）步重新计算，管段流量迭代计算公式为：式为：(5.29)7）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自）计算管段压降、流速，用顺推法求各节点水头，最后计算节点自由水压，计算结束。由水压，计算结束。(0)(1)1,2,ijliqqqqiM （2 2）哈代）哈代- -克罗斯算法克罗斯算法 水头平差法水头平差法哈代-克罗斯（

26、Hardy Crose）1936年提出，适合于手工计算。 系数矩阵为对称正定、主对角优势稀疏矩阵，只保留主对角元素，忽略非对角元素，直接迭代求解： LkzhqkRiikk, 2 , 1)0()0(哈代哈代- -克罗斯平差公式克罗斯平差公式 哈代哈代- -克罗斯法克罗斯法 hqSqSqSqS25454241412525222121 Q Q1 1Q Q2 2Q Q3 3Q Q4 4Q Q5 5Q Q6 621q32q63q52q41q54q65q4 45 56 63 32 21 1hqSqSqSqS25252232322656526363Q Q1 1Q Q2 2Q Q3 3Q Q4 4Q Q5 5

27、Q Q6 621q32q63q52q41q54q65q4 45 56 63 32 21 1hh0)()()()(25454241412525222121qqSqqSqqqSqqS0)()()()(25252232322656526363qqqSqqSqqSqqS忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：忽略相邻环校正流量和二阶微量的影响：0)(25454414152522121qqSqSqSqSh)(2Sqhq0222222254545425454241414124141252525252252525225252221212122121qSqqSqSqSqqSqSqSqqSqqSqSqqSqSqSq

28、qSqS校正流量的符号与水头损失闭合差的符号相反校正流量的符号与水头损失闭合差的符号相反环方程组解法（管网平差）环方程组解法（管网平差）哈代哈代-克罗斯法解环方程组步骤：克罗斯法解环方程组步骤：绘制管网平差计算图，标出各计算管段的长度和各节点绘制管网平差计算图，标出各计算管段的长度和各节点的地面标高。的地面标高。计算比流量、管段流量和节点总流量。计算比流量、管段流量和节点总流量。根据城镇供水情况，拟定环状网各管段的水流方向，按根据城镇供水情况，拟定环状网各管段的水流方向，按每一节点满足每一节点满足Qi+qij=0的条件，并考虑供水可靠性要的条件，并考虑供水可靠性要求分配流量，得出分配的管段流量

29、求分配流量，得出分配的管段流量qij(0)。根据经济流速或查界限流量表选用各管段的管径。根据经济流速或查界限流量表选用各管段的管径。计算各管段水头损失计算各管段水头损失hij。假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆假定各环内水流顺时针方向管段中的水头损失为正，逆时针方向管段水头损失为负，计算该环内各管段的水头时针方向管段水头损失为负，计算该环内各管段的水头损失代数和损失代数和hij，如，如hij0，其差值为第一次闭合差，其差值为第一次闭合差h(0)。 【如果如果h(0) 0，说明顺时针方向各管段中初步分配的，说明顺时针方向各管段中初步分配的流量多了些，反之，如流量多了些，反之，如h(

30、0) 0，说明逆时针方向管，说明逆时针方向管段中的流量多些。段中的流量多些。】计算各环内各管段的计算各环内各管段的Sijqij其总和其总和 Sijqij ，按下式求出，按下式求出校正流量。校正流量。 如闭合差为正，校正流量为负，反之则校正流量为正。如闭合差为正，校正流量为负，反之则校正流量为正。(0)(1)1(0)nijijhqnS q 设图上的校正流量符号以设图上的校正流量符号以顺时针为正，逆时针方向为顺时针为正，逆时针方向为负负，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流，凡流向和校正流量方向相同的管段，加上校正流量，否则减去校正流量。据此得第一次校正的管段流量，否则减去校正流量。据此得第

31、一次校正的管段流量量 式中，式中，qs为本环的校正流量；为本环的校正流量； qn为临环的校正流为临环的校正流量。量。按此流量再行计算，如闭合差尚未达到允许的精度，按此流量再行计算，如闭合差尚未达到允许的精度，在从第二步起按每次调整后的流量反复计算，直到每在从第二步起按每次调整后的流量反复计算，直到每环的闭合差达到要求为止。手工计算，每环闭合差要环的闭合差达到要求为止。手工计算，每环闭合差要求小于求小于0.5m，大环闭合差小于，大环闭合差小于1.0m。(1)(0)ijijsnqqqq单水源管网平差单水源管网平差 泵站泵站水塔水塔0Q Qt tQ Qp p多水源管网平差多水源管网平差 1 12 2

32、3 34 48 812129 9111110106 65 57 7QQ-H-Ht t-H-Hp p对置水塔系统对置水塔系统最高用水时最高用水时 供水分界线供水分界线泵站泵站水塔水塔0最大传输时最大传输时 1 12 23 34 48 812129 9111110106 65 57 7QQQ Qp p Q Qt t -H-Hp pH Ht t对置水塔系统对置水塔系统虚环虚环 P95l 应用虚环的观念，将多水源管网转化成为单水源管网。l 虚环将各水源节点与虚节点用虚管段连接成的环。l 虚管段虚管段水源节点与虚节点相连接的管段。虚管段中水源节点与虚节点相连接的管段。虚管段中的流量等于水源的流量等于水源

33、( (定压定压) )节点的供水量，管段流量方向是节点的供水量，管段流量方向是从虚节点流向水源节点。虚管段的水头损失等于各水源从虚节点流向水源节点。虚管段的水头损失等于各水源节点水压，方向是水源节点指向虚节点。虚管段无阻力，节点水压，方向是水源节点指向虚节点。虚管段无阻力，虚拟设一泵站，也无阻力。虚拟设一泵站，也无阻力。l 虚节点水头虚节点水头H0 = 0l 定压节点流量定压节点流量 = 0。例5.3 p100多定压节点管网多定压节点管网5.3.35.3.3哈代哈代- -克罗斯平差算法的改进克罗斯平差算法的改进 1）改各环同时平差为每次只平差一个环）改各环同时平差为每次只平差一个环每次只平差一个

34、环，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新每次只平差一个环，平差后立即更新管段流量，后面的平差用新的值计算闭合差，则平差的收敛速度可以得到提高。的值计算闭合差，则平差的收敛速度可以得到提高。2）优先平差闭合差较大的环）优先平差闭合差较大的环每次只平差一个环时，可以选择闭合差绝对值最大或较大的环进每次只平差一个环时，可以选择闭合差绝对值最大或较大的环进行平差，因为这样传递出去的闭合差最大，计算效率最高。行平差，因为这样传递出去的闭合差最大，计算效率最高。3）改自然环平差为回路（大环）平差）改自然环平差为回路（大环）平差由多个相邻环合并可以组成回路（大环），同样可以列出回路平由多个相邻环合并可以组

35、成回路（大环），同样可以列出回路平差公式，计算效率得以提高。选择合并环的原则，一是闭合差公式，计算效率得以提高。选择合并环的原则，一是闭合差方向相同，二是闭合差绝对值比较大。差方向相同，二是闭合差绝对值比较大。5.45.4解节点方程水力分析方法解节点方程水力分析方法 未知量：节点水头（定压节点除外）；未知量：节点水头（定压节点除外）； 方程：非线性节点流量连续性方程组；方程：非线性节点流量连续性方程组； 由由 得得 节点方程：可以列出以节点方程：可以列出以 H Hi 为未知数的独立方程。为未知数的独立方程。 ijnijijnijijjijiqqsqsHHh|1)(|1jiijnijijjiji

36、HHCqsHHq0)(ijiijijQHHC|11nijijijqsC管段流量系数管段流量系数节点方程组举例：87643287643297979986868855773343632252520000000000000000QQQQQQHHHHHHCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC节点方程通式：,QAH。kijjikijjiCkijjiCAkkij, 0,节点方程求解方法：节点方程求解方法：已知条件：已知条件：节点流量、管段直径、摩阻系节点流量、管段直径、摩阻系数、定压点压力；数、定压点压力；计算程序：计算程序：1）设定未知压力节点（定流点）设定未知压力节点（定流点）初始压

37、力初始压力Hi(0)；2）计算系数矩阵）计算系数矩阵A（0）；3）解线性化节点方程组，得新）解线性化节点方程组，得新的节点压力的节点压力Hi(1)；4）检验）检验| Hi(1) Hi(0)| ？若否，计算系数矩阵若否，计算系数矩阵A（1），返，返回回3；若是，计算完成，得若是，计算完成，得Hi；5）计算管段流量、水头损失等。）计算管段流量、水头损失等。节点方程的牛顿-拉夫森解法由管段i水头损失微分变换管段流量系数niiiqsh 1niiiiqnsdqdhiiiniiidhcdhqnsdq11)(11eiiiniiihhnqqnsc节点方程的牛顿-拉夫森解法（续1）节点流量函数：式中，Hj为节点

38、的水头增量； Gj节点流量函数，各定流节点水头增量的非线性函数，只与本节点及相邻环节点水头增量有关。 可以写出： 式中，Gj(0,0,0)为给定节点水头初值下的节点流量闭合差： 为定流节点为定流节点jjHGQqjjSijij0),()(为定流节点）（为恒流点jGHHGjkkkj)0 , 0 , 0()0(为定流节点jQqGQjSijijj)()0 , 0 , 0()0()0(节点方程的牛顿-拉夫森解法（续2）由上二式，可得由上二式，可得近似于近似于G(0)为一系数矩阵，为一系数矩阵，)0()0(QHGiiiniiidhcdhqnsdq)0(1)0(1均为定流节点jkHGjk,)0()0(G不相

39、邻和且定流节点之间管段和为相邻定流节点为定流节点jkjkjkicqnsjkcqnsHGiniiRiiRiniijkkk01)1()0(1)0()0(1)0()0(节点方程的牛顿-拉夫森解法（续3）定流节点定流节点流量方程流量方程组：组： )0(8)0(7)0(6)0(4)0(3)0(2876432)0(9)0(7)0(8)0(7)0(9)0(9)0(8)0(6)0(8)0(6)0(8)0(8)0(5)0(5)0(7)0(7)0(3)0(3)0(6)0(3)0(6)0(3)0(2)0(2)0(5)0(2)0(5)0(20000000000000000QQQQQQHHHHHHccccccccccc

40、ccccccccccccccccc牛顿-拉夫森算法计算步骤：1）拟定定流节点水头初值，给定闭合差的最大允许值，）拟定定流节点水头初值，给定闭合差的最大允许值， 手工计算时一般取手工计算时一般取=0.1L/s， 计算机计算时一般取计算机计算时一般取=0.010.1L/s；2）计算各定流节点流量闭合差）计算各定流节点流量闭合差Q Q；3）判断）判断Q Q是否均小于最大允许闭合差，是否均小于最大允许闭合差， 如满足，计算结束，转（如满足，计算结束，转（7）进行后续计算，）进行后续计算， 否则继续下步；否则继续下步；4）计算系数矩阵算；）计算系数矩阵算；5）解线性方程组式，得定流节点水头增量；）解线性

41、方程组式，得定流节点水头增量；6）将定流节点水头增量施加到相应节点上，得到新的节点水头，）将定流节点水头增量施加到相应节点上，得到新的节点水头，作为新的初值（迭代值），转第作为新的初值（迭代值），转第2）步重新计算，节点水头迭）步重新计算，节点水头迭代计算公式为：代计算公式为：7）计算管段流速、节点自由水压，计算结束。）计算管段流速、节点自由水压，计算结束。为定流节点jHHHjjj)0()0(节点方程的牛顿-拉夫森解法（续4）（节点流量手工平差算法）节点流量手工平差算法）节点压力平差算法节点压力平差算法。将系数矩阵的全部非主对角元素忽略后，可导出下式：将系数矩阵的全部非主对角元素忽略后，可导出

42、下式： 计算步骤同上述牛顿-拉夫森解法步骤。详见P108为定流节点jcQHjSiijj)0()0(o 在假定每一节点水压的条件下，应用连续性在假定每一节点水压的条件下，应用连续性方程以及管段压降方程，通过计算求出每一方程以及管段压降方程，通过计算求出每一节点的水压。节点水压已知后，即可以从任节点的水压。节点水压已知后，即可以从任一管段两端节点的水压差得出该管段的水头一管段两端节点的水压差得出该管段的水头损失，进一步从流量和水头损失之间的关系损失，进一步从流量和水头损失之间的关系算出管段流量。算出管段流量。 o 原理：在初步拟订压力的基础上，逐步调整原理：在初步拟订压力的基础上，逐步调整节点水压

43、以满足连续性方程。节点水压以满足连续性方程。 精品课件精品课件！精品课件精品课件！节点方程组具体步骤：节点方程组具体步骤：根据已知控制点的水压标高，假定各节点的初始水压。根据已知控制点的水压标高，假定各节点的初始水压。由由hij=Hi-Hj=sqn的关系式求出管段流量。的关系式求出管段流量。验证每一节点的管段流量是否满足连续性方程，即进入该验证每一节点的管段流量是否满足连续性方程，即进入该节点的流量代数和是否等于零，如不等于零，则按下式节点的流量代数和是否等于零，如不等于零，则按下式求出校正水压值。求出校正水压值。除了水压已定的节点外，按校正每一节点的水压，根据新除了水压已定的节点外，按校正每一节点的水压，根据新的水压，重复上列步骤计算，直到所有节点的进出流量的水压，重复上列步骤计算，直到所有节点的进出流量代数和达到预定的精确度为止。代数和达到预定的精确度为止。1(0)1iinQHns q