第4讲-半群和群的定义和性质课件.ppt
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- 定义 性质 课件
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1、2022-3-271主要内容n半群n独异点n群2022-3-272半群n定义10.1(1): 是一个代数系统, 其中S是非空集合, 是S上的一个二元 运算(运算 是封闭的),如果运算 是 可结合的,即对任意的x,y,zS,满足(x y) z=x (y z) 则称代数系统为半群.2022-3-273例10.1n,为半群n设n2, 为半群n,为半群nA=a1, a2, ., an,nZ+,*为A上的二元运算,a, b A有ai*aj=ai , 则A关于*运算构成半群nSk=x|xZxk,为半群n,不是半群 2022-3-274例10.2n=a,b ,+为为所有由a, b组成的字符串 , “ ”为为
2、字符串的连接运算.n则 做成半群。2022-3-275独异点n定义10.1(2):设是一个半群, 若存在eS为S中关于运算 的单位元单位元, , 则称为幺半群幺半群,也叫做独异点独异点。 (有时也把单位元标明)2022-3-276例10.1nSk=x|xZxk,n(k0) ?n? 不是独异点是独异点2022-3-277例10.2n=a,b ,+为所有由为所有由a,b组成的字符组成的字符串串 ,“ ”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.n思考:思考:半群半群 是否做成独异点?是否做成独异点?空串空串 *=+ 做成独异点做成独异点2022-3-278例10.3n幂集?n?n ?2022-3-27
3、910.4*n是单位元n可结合性在运算表中无特殊体现10群(Group)n定义10.1(3):设是一个代数系统,其中G是非空集合, 是G上一个二元运算,如果n(1).运算 是封闭的n(2).运算 是可结合的n(3).存在单位元en(4).对于每一个元素xG,存在着它的逆元x-1则称是一个群2022-3-2711例10.1nSk=x|xZxk,n(k0) ?n? 不是群不是群2022-3-2712例10.2n=a,b ,+为所有由为所有由a,b组成的字符组成的字符串串 ,” ”为字符串的连接运算为字符串的连接运算.空串空串 *=+ 思考:思考:独异点独异点 是否做成群?是否做成群?2022-3-
4、2713例10.3n幂集?n?n ?单位元和逆元?2022-3-2714例10.4(1-2)n(1) 整数加群n(2) 模n整数加群n 思考: 是不是群?2022-3-2715例10.4(3-6)n(3) n阶实矩阵加群n(4) n阶实可逆矩阵乘法群;n(5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵 关于矩阵乘法;2022-3-2716例10.5nKlein 四元群G=e,a,b,c*eabceeabcaaecbbbceaccbae2022-3-2717例10.5(2)nKlein 四元群G=e,a,b,cne=(0,0)na=(0,1)nb=(1,0)nc=(1,1)n运算为逐分量模2加法,2022
5、-3-2718群的等价定义n定理 (等价定义) , 可结合,若存在右单位元e,且每个元素a 相对于e 存在右逆元a,则G是群.n证明: n封闭性n可结合性n单位元?n逆元?2022-3-2719群的等价定义n证明: 证e为左单位元. aG, 有a e = a ,所以有 e e = e (e为右单位元)。设存在a G,使得a a=e,代入得e (a a) = a a.因为a G ,存在a G,使得a a =e上式两边右乘 a 得 e a a a= a a a , 而a a =e因此有 e a = a . e 是G中的单位元. 证a为a 的左逆元,设 a a=ea = e a = (a a) a
6、= a (a a) = a e = a2022-3-2720群的相关术语(定义10.2)n平凡群 只含单位元的群 en有限群与无限群n群G 的阶 G 的基数,通常有限群记为|G|n交换群或阿贝尔(Abel)群2022-3-2721例10.6(交换群)n(1) 无限群;n(2) 模6整数加群,阶为6n(3) 模4整数加群,阶为4n(4) Klein 四元群G=e,a,b,c,阶为4n(5) 群,阶为| P(B)|2022-3-2722n次幂n定义 设是一个半群,xS, n Z+, 定义的x 的n次幂xn为:11,nnxxxxxnZn 推广到独异点01,nnxexxxnN2022-3-2723n次
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