第4章-多元函数微积分学课件.ppt

1、1考试内容1.1.多元函数的概念多元函数的概念 邻域 :, ),(0PU),(0PU(开)区域连通的开集边界点内点外点若点集若点集 E 的点都是内点的点都是内点, ,则称则称 E 为为开集开集. .若集若集 E 中任意两点都可用中任意两点都可用一完全属于一完全属于 E 的折线相连的折线相连, 则称则称 E 是是连通连通的的. E开区域连同它的边界一起开区域连同它的边界一起称为闭区域称为闭区域.2xyo用不等式用不等式( (组组) )表示区域表示区域: :0| ),( yxyxxyoab)(xfy )(xgy | ),(yxD X-型 ,bxa )()(xfyxg 3用不等式用不等式( (组组)

2、 )表示区域表示区域: :| ),(yxD dcxyo)(yx )(yx Y-型 ,dyc )()(yxy 42.2.二元函数的几何意义二元函数的几何意义 n元函数:, ),(21nxxxfu.RnD 53.3.二元函数的极限与连续的概念二元函数的极限与连续的概念 极限,),(lim0Ayxf,),(lim00Ayxfyyxx,),(lim),(),(00Ayxfyxyx.)()(2020yyxx其中其中 反之反之,若沿不同的线路得到不同的极限若沿不同的线路得到不同的极限,则原极则原极限不存在限不存在. ( (此结论常用于证明极限不存在此结论常用于证明极限不存在) ) 6连续4.4.有界闭区域

3、上二元连续函数的性质有界闭区域上二元连续函数的性质 有界定理有界定理, 最值定理最值定理, 介值定理介值定理. .一切多元初等函数在其定义区域内连续一切多元初等函数在其定义区域内连续. .5.多元函数偏导数的概念与计算多元函数偏导数的概念与计算 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000),(dd0 xxyxfx 本质上仍然是一元函数求导数本质上仍然是一元函数求导数,故一元函数中的求故一元函数中的求导公式导公式,求导法则都适用于求偏导数求导法则都适用于求偏导数.),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx76.6.二阶偏导数二阶偏导数 ),(22yxfxz

4、xzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 8多元函数连续、可偏导与可微的关系多元函数连续、可偏导与可微的关系可可 微微连连 续续 连续的偏导数连续的偏导数 可偏导可偏导7.7.全微分全微分 98.8.多元复合函数的求导法与隐函数求导法多元复合函数的求导法与隐函数求导法 全导数公式全导数公式 链导公式链导公式 ,xvvzxuuzxz.yvvzyuuzyz, ),(vuxfz 若若, ),(yxu则则, ),(yxv,xvvzxuuzxfxz.yvvzyuuzyz, ),(vufz 若若, ),(yxu则则, ),(yxv(1)(1

5、)(2)(2)注意注意xzxf与与的区别的区别. .10隐函数求导法隐函数求导法 方法一方法一: :.,zyzxFFyzFFxz方法二方法二: : ( (公式法公式法) ) 当当 时时, ,0zF方程两边关于方程两边关于x 或或 y 求偏导数求偏导数;119.9.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 , ),(00yxfBxy , ),(00yxfAxx . ),(00yxfCyy 记记 ),(yxfz 二元函数的二元函数的 极值求法极值求法12( (拉格朗日乘数法) )条件极值条件极值 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数, ),(),(),(yxyx

6、fyxF求出极值可能点求出极值可能点,再根据具体问题判断再根据具体问题判断. ,0),(0),(),(0),(),(yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx令令其中其中为参数为参数,称为拉格朗日乘数称为拉格朗日乘数. 则构造拉格朗日函数为则构造拉格朗日函数为. ),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL,0),(zyx,0),(zyx1310.10.二重积分的概念、基本性质和计算二重积分的概念、基本性质和计算 二重积分的概念二重积分的概念nkkkkfI10),(limDyxfd),(记作记作直角坐标系下直角坐标系下, ,面积元素面积元素. yxddd极坐标系下极坐标系下, ,面积元

7、素面积元素.dddDDrrrrfyxyxfdddd)sin,cos(),(1411.11.无界区域上简单的反常二重积分无界区域上简单的反常二重积分 二重积分的性质二重积分的性质与一元函数定积分的性质完全类似与一元函数定积分的性质完全类似.二重积分的计算二重积分的计算将二重积分转化成累次积分将二重积分转化成累次积分.15考试要求1.1.了解多元函数的概念了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义了解二元函数的几何意义 . .3.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、会求多元复合函数一阶、二阶偏导数二阶偏导数,会求全微分会求全微分,会求多元隐函

8、数的偏导数会求多元隐函数的偏导数 . . 4.4.了解多元函数极值和条件极值的概念了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的掌握多元函数极值存在的必要条件必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最会求简单多元函数的最大值和最小值小值,并会解决简单的应用问题并会解决简单的应用问题 . .2.2.了解二元函数的极限与连续的概念了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续了解有界闭区域上二元连续函数的性质函数的性质 . .

9、5.5.了解二重积分的概念与基本性质了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法掌握二重积分的计算方法( (直角直角坐标、极坐标坐标、极坐标) ).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算 . .16典型例题分析例例1 1解解,01limlimlim2022220220kkxkxkxyxxyxxkxyx17. )0 , 0(,0, )00(,),(22) )( x,y,x,yyxxyyxfxfxffxx)0 , 0()0,0(lim)0 , 0(0;00lim0 xx),(yxfyfxffyxfzyx)0 , 0()0 , 0()0 , 0(

10、)0 ,0(, )(22yxo22yxyx最后考察可微性最后考察可微性:18|)1 (lim222023xxkxkx,22220limyxyxyxxkyx实际上实际上,可微一定连续可微一定连续,不连续当然不可微不连续当然不可微. 19解法解法1 101lim1100 xyyx原式解法解法2 2 令,xky 01lim0kkxx原式解法解法3 3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式例例2 2 讨论二重极限yxyxyx00lim时, 下列算法是否正确是否正确?20分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令令,xky , 01lim

11、0kkxx原式原式 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, ,此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况. . 时时例如例如xxy21lim2230 xxxx原式原式此时极限为此时极限为 1 .1 .第二步未考第二步未考虑分母变化的所有情况虑分母变化的所有情况, , , 1,111xyxxy时时例如例如21解法解法3 3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式原式此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性, ,时时当当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在极限不存在! !

12、由以上分析可见由以上分析可见, ,三种解法都不对三种解法都不对, ,因为都不能保证自因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意特别要注意, ,在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限, ,但但要注意在定义域内要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的的变化应该是任意的. 同时还可看到同时还可看到, ,本题极限实际上不存在本题极限实际上不存在 .22解解.)(lim22)0 , 0(),(yxxxyyx求极限求极限)0(,sin,cosyx令令. 0)0 , 0(),(等价于等价于则则yxcos)cos(sin)(0

13、222yxxxycos)cos(sin),0(02. 0)(lim22)0 , 0(),(yxxxyyx例例3 3故由夹逼准则知故由夹逼准则知 23例例4 4解解,22yxyxfe,22yxxyfe,222322yxxyxfe,222322yxyxyfe,)21 (22222yxyxyxfe.222222222yxyfxyyxfxfyxe 所以所以24例例5 5解解)1(213xfxfxyz,2214fxfx)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz22)(2)(4222212221211413xyfyfxfxxyfyfxfx

14、.2422114213fyfyxfxfx ., : )( , ),( 2223yxzyzyzfxyxyfxz求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设25例例6 6解法一解法一222)2(2zzxzxzx .)2()2(322zxz ,0422 xzxzzx,2zxxz 解法二解法二 (公式法公式法) 设设zzyxzyxF4),(222 则则,2xFx zxFFxz 2 zx.2zx 42 zFz26解解两边微分两边微分, ,0)(xyzxxxyzxyzxyzdddededdd.ddeedyxxxzxyzxyz1) 1(1解得解得将将方方程程两两边边对对x求求偏偏导导， 解解,22xzyz

15、yzfxxxee27解解 方程两边对方程两边对 x 求导求导, ,得得xzdd)0(23FFfx其中其中. 23221FFfxFffFxfFx 32121FFfxFFfxffx例例9 9 设设其中其中 f 与与 F 分别具有分别具有一一,0),(,)(zyxFyxfxz阶导数或偏导数, 求.ddxzxzdd fx1Ff)dd1 (xyxyFdd20dd3xzFfxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyF即即28例例1 10 0解解,06)268() 1 , 2() 1 , 2(2 yxyyzAxx,4)438() 1 , 2() 1 , 2(2 xyxxzBxy,8)2() 1 ,

16、2() 1 , 2(2 xzCyy,0322ACB6 yxoxyD296 yxoxyD)4(),(2yxyxyxfz30例例1 11 1解解，构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数)2000103(804143 yxyxL 令令200010301020036043434141yxyxLyxLyx 50500yx解解得得惟惟一一驻驻点点由实际问题由实际问题,此即最佳分配方案此即最佳分配方案. 31将将yxyxfdd ),(D 化为二次积分化为二次积分,其中其中 D 由直线由直线4 , 2 , 2 , yyxyxy围成围成.解法解法 1 1先画出积分区域先画出积分区域 D，xyo24624xy 2 xy

17、24. 2, 42 :yxyyD先先 x 后后 y, , yxyxfdd ),(Dxyxfyyd ),(2 42d y例例1212型计算型计算积分区域按积分区域按 y32解法解法 2 2先先y后后 x, , 26.21DDD yxyxfyxyxfyxyxfDDDdd ),(dd ),(dd ),(21 yyxfxd ),(2 42dx41D2D.2, 42 :1xyxD. 42, 64 :2yxxDyyxfxd ),(42 64dxxyo24624xy 2 xy 型计算型计算积分区域按积分区域按 x33例例1313. d),(d 21 1 1 0 交交换换积积分分次次序序将将 yyxyxfy1

18、2先先 x 后后 y, ,将将 D 向向 y 轴投影轴投影,.11, 10 :2yxyyD先先 y 后后 x, ,将将 D 向向 x 轴投影轴投影,.21DDD . 11, 10 :1yxxD . 11, 21 :2yxxD.d),(dd),(d 1 1 2 1 1 -1 1 0 xxyyxfxyyxfxI解解 0 xy1yx 121yx 34.2,d2所所围围成成的的闭闭区区域域及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算 xyxyDxyD 解法解法1 1 2212dddyyDxxyyxy .8456234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy例例1414

19、先先x后后y, ,yyyyd)2(212152 35 Dxy d.845 选择积分次序的原则：选择积分次序的原则： 解法解法2 2先先 y 后后 x, ,xy 2 xy 1, 1 2 , 4xyxy xxyxyxdd10 xxyxyx241dd(1)(1)积分容易积分容易; (2)(2)尽量尽量少分块少分块或不分或不分块块. . 36 例例1 15 5解解 sin200d)sincos4(drrrrI d)sin38cossin38sin8(4032 204202dsin316dsin16 .32214331622116 .cos20 ,22| ),( rrD37精品课件精品课件！38精品课件精品课件！39