第3章-连续信号的正交分解课件.ppt

1、 信号与线性系统第3章 信号分析 3.1 引言引言n复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加nLTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征n信号分析研究信号如何表示为各分量的和n通常用正交函数集作为单元函数n三角函数集 信号与线性系统第3章 信号分析 3.2 正交函数集和信号的分解正交函数集和信号的分解 3.2.1 矢量的正交分矢量的正交分解解 1. 矢量的分量矢量的分量 oV2V190 信号与线性系统第3章 信号分析 1. 矢量的分量矢量的分量 n两矢量V1与V2正交时的夹角为 。矢量V1在V2上的分量为c12V2，则n所以系数oV2V1Vec12V2cos1212VVc22212121211

2、2coscosVVVVVVVVVVc 信号与线性系统第3章 信号分析 分析n若V1与V2正交，则=90, cos=0，此时系数c12=0。 这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。因此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：n给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量Ve = V1 c12V2 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。n当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1V2=0。n当V1=V2 时， c12=1 信号与线性系统第3章 信号分析 2. 矢量的

3、正交分解矢量的正交分解n平面矢量的正交分解oVc2V2c1V1V1V2212211VcVcV222222111111coscosVVVVVVcVVVVVVc 信号与线性系统第3章 信号分析 2. 矢量的分解矢量的分解n三维空间矢量的正交分解oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2332211VcVcVcV 信号与线性系统第3章 信号分析 2. 矢量的分解矢量的分解n推广到n维情况nnrrVcVcVcVcV2211rrrrVVVVc其中，系数 信号与线性系统第3章 信号分析 3.2.2 信号的正交分解信号的正交分解n1、正交函数、正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两

4、个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 dttfEtfctftftteee2122121)()()()( 信号与线性系统第3章 信号分析 设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。n式中， “*”代表取共轭复数。将上式右边展开， 得 dttfctftfctfdttfctfdttfEttttttee212121)()( )()()()()(*2*1212121221212dttftfcdttfcdttftfcdttfEtttttttte21212121)()()()()()(21*1222212211221 信号与

5、线性系统第3章 信号分析 据平方误差的定义知Ee0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使误差能量Ee最小，于是有n若f1(t)、f2(t)正交，c12应为零。因此dttfdttftfctttt2121222112)()()(0)()(2121dttftftt 信号与线性系统第3章 信号分析 2. 信号的正交展开信号的正交展开n设有一函数集g1(t), g2(t)，gN(t)，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有 ijttiKdttgtg0)()(*21jiji则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果 10)()(*21dttgt

6、gjttijiji则称该函数集为归一化正交函数集归一化正交函数集。 信号与线性系统第3章 信号分析 例如,三角函数集1,cost,cos2t,cosmt,sint,sin2t,sinnt,在区间（t0,t0+）(式中T=2/)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为 信号与线性系统第3章 信号分析 n1.三角三角傅里叶级数傅里叶级数 周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开。 f(t)应满足狄利克雷条件。 3.3 信号表示为傅里叶级数信号表示为傅里叶级数1021210)sincos(2sin2sinsinco

7、s2coscos2)(nnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatf直流分量基波分量n =1 谐波分量n1 信号与线性系统第3章 信号分析 tdtntfTaTttncos)(200tdtntfTbTttnsin)(200dttfTaTtt)(12000直流分量余弦分量系数正弦分量系数 信号与线性系统第3章 信号分析 n 根据三角函数的运算法则,上式还可以写成。10cos2)(nnntnAatf22nnnbaAnnnabarctannnnnnnAbAasincos 信号与线性系统第3章 信号分析 说明n实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误

8、差nn愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。n 方均误差趋于零。)(sincos2)(10ttkbtkaatfnnknnn 信号与线性系统第3章 信号分析 例3-1 将下列方波信号展开成三角级数1-1)(tftTT/2 信号与线性系统第3章 信号分析 解：要把函数展开成三角级数，只要求得分量系数a和b。为偶数为奇数nnntdtntdtnTtdtntfTbtdtntdtnTtdtntfTadtdtTdttfTaTTTTnTTTTnTTTT04sinsin2sin)(20coscos2cos)(202)(22200220022000 信号与线性系统第3章 信号分析 因此，该非周期信号在区间（0，

9、T）内可以表示为ttttf5sin513sin31sin4)(红-一项近似，绿-两项近似，水红-三项近似 信号与线性系统第3章 信号分析 2. 复指数傅里叶级数复指数傅里叶级数n指数函数具有如下关系n因此，指数函数 ， 为一完备的正交函数集TtttjntjmTtttjntjnnmdteeTdtee00000*tjne, 2, 1, 0n 信号与线性系统第3章 信号分析 n任意函数 ，可在区间（t0,t0+T）内用此函数表示为 上式称为复指数形式的傅里叶级数。它是可以从三角傅里叶级数直接导出的。)(tfntjnnectf)(TtttjnndtetfTc00)(1 信号与线性系统第3章 信号分析

10、根据欧拉公式n且考虑到An是n或频率的偶函数，而 是奇函数因此由于其数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。 jjee21cosnntjnnntnjnntnjntnjneAeAeAeAatfnnn2121212)(10TtttjnndtetfTA00)(2 信号与线性系统第3章 信号分析 n下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。 n设有一幅度为A,脉冲宽度为的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图所示，试求其傅里叶系数3. 4 周期信号的频谱 T202T2T1tf (t)A 信号与线性系统第3章 信号分析 TnTnTAdtAeTdtetfTAtjnTTtjnnsin22)(2

11、2222令上式中的n=0，求其极限得直流分量TAa20周期矩形脉冲的指数傅立叶级数（=2/T）tjnnennTAtf22sin)( 信号与线性系统第3章 信号分析 n画出了T=5、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。2461 信号与线性系统第3章 信号分析 周期信号频谱具有以下几个特点：n第一为离散性离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 n第二为谐波性谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。 n第三为收敛性收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是

12、随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|An|0。 信号与线性系统第3章 信号分析 n1. 频谱与周期的关系T= 10T= 2011246246 信号与线性系统第3章 信号分析 n2. 频带宽度与脉宽的关系1fHz TT115 . 02244051015202500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.205101520253035404500.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1 信号与线性系统第3章 信号分析 n 3. 频带宽度周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将=0 这段频率范围称为矩形脉冲信号

13、的频带宽度。记为 2)/(2sradB)(1HzBf或 信号与线性系统第3章 信号分析 n周期方波信号的频谱（幅度谱）15131na1-1)( tftTT/2 信号与线性系统第3章 信号分析 n非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。n当周期T无限趋大时，3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱dTnd22,dejFdedtetfedtetfTtftjtjtjtjnTTtjnn)(21)(21)(221)(22 信号与线性系统第3章 信号分析 n傅里叶变换对dtetfjFtj)()(dejFtftj)(21)(正变

14、换：反变换：)()(tfFF)()(FtfF)()(1FFtf记作：记作： 信号与线性系统第3章 信号分析 n频谱密度函数)(| )(|)(jeFF| )(|F)(幅频特性相频特性 信号与线性系统第3章 信号分析 n 从物理意义上理解傅里叶变换： 是一个密度函数的概念是一个密度函数的概念 是一个连续谱是一个连续谱 包含了从零到无限高频的所有频率分量包含了从零到无限高频的所有频率分量各频率分量的频率不成谐波关系各频率分量的频率不成谐波关系)(F)(F)(F 信号与线性系统第3章 信号分析 傅立叶变换存在的充分条件dttf)(绝对可积 信号与线性系统第3章 信号分析 n 例32 求冲激信号(t)的

15、频谱。 解: 由频谱函数的定义式有( )( )1( )1j tFt edtt3.6 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换 信号与线性系统第3章 信号分析 冲激信号及其频谱0t(t)(1)0F()1(a)(b) 信号与线性系统第3章 信号分析 n 例33 求矩形脉冲信号 的频谱。 矩形脉冲信号及其频谱 )(tg22)(F 信号与线性系统第3章 信号分析 n 解：矩形脉冲信号是一个门函数。其定义为g(t)的傅里叶变换为 2021)(tttg 2)(sin2/2/sin)(22SatgFxxxSadtetgFtj 信号与线性系统第3章 信号分析 n 例34 求单边指数信号的频谱。 解: 单边指数

16、信号是指 0,1)()(0),()(0jdeedetfFtetftjttjt 信号与线性系统第3章 信号分析 单边指数信号及其频谱0 0 (a)(b)argF()(F1212442)(tft 信号与线性系统第3章 信号分析 n例35 求双边指数信号的频谱。 解：从频谱函数的定义式出发0,)(| |tetf2200| |211)(jjdteedteedteejFjtjtjt 信号与线性系统第3章 信号分析 双边指数信号及其频谱00 1tf (t)(a)(b)12)(F 信号与线性系统第3章 信号分析 n例36求符号函数的频谱。 解 符号函数简记为sgn(t),它的定义为 10sgn( )0010

17、tttt 信号与线性系统第3章 信号分析 符号函数及其频谱f (t)011t0F()(a)(b) 信号与线性系统第3章 信号分析 n 符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:0( )0ttetf tet(其中0)22220 ( )112202lim002sgn( )tj ttj tF f teedteedtjjjjjFtj 信号与线性系统第3章 信号分析 3.7 周期信号的傅里叶变换n在引入奇异函数之前，周期信号因不满足绝对可积条件而无法进行傅里叶变换，只能通过傅里叶级数展开为谐波分量来研究其频谱性质。而在引入奇异函数之后，从极限的观点来分析，周期信号也存在傅里叶变换

18、。 信号与线性系统第3章 信号分析 3.7.1 指数函数 的傅里叶变换tjcedtedteeeFtjtjtjtjccc)(因为1)(Ft)(121 1 1tdeFtj则有由于 是偶函数 )(t)(2)(2ttdetj 信号与线性系统第3章 信号分析 改变积分变量：ctt ,)(2)(ctjtjdteeFcc则有即)(2ctjce 信号与线性系统第3章 信号分析 特别的，当 时，有0c)(21利用欧拉公式，有)()(2coscctjtjccceet)()(2sincctjtjcjjeetcc 信号与线性系统第3章 信号分析 3.7.2 周期信号的傅里叶变换一个以T为周期的周期信号f(t)，总有傅

19、里叶级数展开：ntjnneAtf21)(222,)(2TTtjnnTdtetfTA 信号与线性系统第3章 信号分析 则，周期信号f(t)的傅里叶变换为nntjnnnntjnnnAeFAeAFtfFjF)(2121)()( 信号与线性系统第3章 信号分析 例3-7 求均匀冲激序列的傅里叶变换。 信号与线性系统第3章 信号分析 解：nTnTtTtTtTtTttt)()2()()2()()()(则22002222)(2)(2TTjjTTtjnnTeTdtetTdtetTA 信号与线性系统第3章 信号分析 所以)()(2)()()(nnTnTnTtFtFjF即)()(tT 信号与线性系统第3章 信号分

20、析 均匀冲激序列的频谱 信号与线性系统第3章 信号分析 傅里叶变换表：见P125，表3-1 信号与线性系统第3章 信号分析 3.8 傅里叶变换的基本性质n 为了方便起见,我们将傅里叶变换式重写如下1( )( )( ) ( )( )1( ) ( )( )2Fj tj tf tFFF f tf t edtf tFF tFed性质： 信号与线性系统第3章 信号分析 n1. 线性 )()()()(22112211jFajFatfatfa),()(),()(2211jFtfjFtf且设a1, a2为常数，则有 若 信号与线性系统第3章 信号分析 n 例3-8 求单位阶跃函数 的频谱函数。)(t jt1)

21、sgn(2121由于 jt1)(因此解：单位阶跃函数 可看作是幅度为1/2的直流信号与幅度为1/2的符号函数sgn(t)之和,即)sgn(2121)(tt)(t 信号与线性系统第3章 信号分析 n2. 对称性()()( )( )( )( )1( ) ( )( )2( )21( )()21()( )2( )2()FFj tjtjtFf tFF tffF F tF t edtF t edtF t edfffF tf 信号与线性系统第3章 信号分析 n例3-9 利用对称性求单位直流信号的频谱。1)(tf)(2)(211)(FFt 信号与线性系统第3章 信号分析 单位直流信号及其频谱0f (t)10t

22、F()2(a)(b) 信号与线性系统第3章 信号分析 n例3-10 利用对称性求Sa(t)的频谱。解：由于2Sa)(tg)(22Sagt所以 )(Sagt 2令 信号与线性系统第3章 信号分析 抽样函数Sa(t)及其频谱-11)(2gSa(t)t 信号与线性系统第3章 信号分析 n3. 尺度变换 ()( )( )()11 ()()()()111 ()()()()()()j tj tjatajatjataaF f atF f tf t edtf at edtF f atf at ed atFaaaF f atf at ed atf at ed atFaaaa ( )( )1()()FFf tFf

23、 atFaa将时间函数f(t)中的t换成at(a为常量),考察与之对应的频谱函数。现在来求时间函数f(t)尺度变换后的频谱函数。设f(at)=f1(t),则有 信号与线性系统第3章 信号分析 n例311 已知求 的频谱函数。 2Sa)(tg解：根据傅里叶变换的尺度变换性质, 的频谱函数为)2( tg)2( tg2/4Sa)2(tg 信号与线性系统第3章 信号分析 尺度变换22)(F44) 2/(5 . 0F 信号与线性系统第3章 信号分析 n4. 时移特性( )( )f tF0000110()00 () ( )( )( )()( )()()( )j tj tj tjt tj tF f ttF

24、f tf t ed tf tt ed tef tt ed tteF在时间函数f(t)中,当时间t变为t+t0时,就会引起相应的频谱函数的变换,称为时移特性。这里t0为实常量。设f(t+t0)=f1(t)，且已知 信号与线性系统第3章 信号分析 n时移特性可表示如下：( )( )f tF)()(00FettftjF)()(00FettftjF01)()()(0)()(| )(| )(| )(| )(|)(| )(|)()()()(0010tFGeFeeGGeFFFeGttftjtjjjtjF幅频特性：保持不变相频特性：增加线性相位 信号与线性系统第3章 信号分析 n例3-12 已知)( tf 3

25、5)3(31)35( 3)53(jFeFtftf)()(FtfF)53( tf求 和 的频谱。)()(FtfFabjFeaFaabtafbatf)(|1)()(解：一般的： 信号与线性系统第3章 信号分析 n例3-13求移位冲激函数(t+t0)的频谱函数。0000 ()1()j tj tttette解：由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t+t0)的频谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式。 信号与线性系统第3章 信号分析 n5. 频移特性频移特性与时移特性对称,此时所考虑的是频谱函数F()中,频率变为+0,相应的时间函数怎样随之而变。这里0为实常量。 000110110(

26、)00()( )1( )21()21()()2( )j tj tjjtjtFFFFFedFedFedef t e tje0 信号与线性系统第3章 信号分析 n 因此,移频特性可简写如下：000cos2jtjteet例313 求高频脉冲信号的频谱函数。( )( )f tF)()(00FetfFtj且0为实常数ttgtp0cos)()(解：由于 信号与线性系统第3章 信号分析 故有 根据频移特性有：tjtjtjtjetgFetgFeetgFttgFtpF0000)(21)(212)(cos)()(02Sa22Sa2)(00tpF 信号与线性系统第3章 信号分析 频移特性 信号与线性系统第3章 信号

27、分析 n6. 卷积定理(1)时域卷积性质1212122( )( )( )()( )()()( )j tj tj tjF f tf tff tdedtftedf tedtFe设有两个时间函数f1(t)和f2(t),它们分别对应的频谱函数为F1()和F2()。两个函数卷积的傅里叶变换为 信号与线性系统第3章 信号分析 这就是时域卷积定律，可简记为： 21122121)()()()(FFdtetfFdteFtftftfFtjtj 11)(FtfF 2121)()(FFtftfF 22)(FtfF 信号与线性系统第3章 信号分析 (2)频域卷积性质同时域卷积定律一样，我们也可以证明频域卷积定律。在这里

28、略去证明，只写出结论。 11)(Ftf 22)(Ftf 212121)()(FFtftf 信号与线性系统第3章 信号分析 7. 时域微分时域微分 )()(Ftf若，则)()(FjdttdfF此性质证明如下。根据傅立叶变换定义，有deFtftj)(21)()()(2)(21)(tfjdeFjddtedFdttdftjtj上式两端对t求微分得 信号与线性系统第3章 信号分析 例如，我们知道 , 利用时域微分性质显然有 1)(FtjtF)( 此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域中用j乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理

29、论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。 此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即 )()()(Fjdttfdnnn 信号与线性系统第3章 信号分析 n例3-14 求如下三角函数的频谱。1)(tf )(tf )(tf)2()2()4( 三角形脉冲及其一、二阶导数的波形 信号与线性系统第3章 信号分析 n解： 4sin8222222)(22/2/jjeetttFtfF)()(2FjtfF 根据时域微分的性质因此42)(2SaF 信号与线性系统第3章 信号分析 )(F三角函数及其频谱 信号与线性系统第3章 信号分析 8. 时域积分时域积分 jFFdttft)()()0()()()(Ftf若

30、，则如果0)0(F，则有jFdttft)()(证明：由于dfdtfttft)()()()()(应用时域卷积定理，有jFFjFtFtfFdfFt)()()0(1)()()()()( 信号与线性系统第3章 信号分析 时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。 dtetfFtj)( dttfF)(0由于显然有当f(t)的波形在t轴上、下对称时 0)(0dttfF因而jFdtetfttj)()( 信号与线性系统第3章 信号分析 9. 频域微分频域微分10. 频域积分频域积分)()(Ftf若，则 )()(nnFtfjt .)(阶导数的对为nFFn

31、djFjttftf)()()()0()()(Ftf若，则如果f(0)=0，则djFjttf)()( 信号与线性系统第3章 信号分析 表表 3.1 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 信号与线性系统第3章 信号分析 3.9 Parseval定理与能量频谱3.9.1 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理 设 , 则)()(FtfdFdttf22)(21)(在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞瓦尔定理，即dFdttfTnTT2222)()(1 信号与线性系统第3章 信号分析 dttfW)(2 一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量W为 非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于2)(F是 的偶函数，因而上式还可写为dFdFdttfW222)(1)(21)( 信号与线性系统第3章 信号分析 2)(1)(FG 非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入 个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱 为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为)(GdGW)(03.9.2 能量频谱能量频谱