第三节-正定二次型和正定矩阵课件.ppt

1、1设设AXXXfT )(是一个实二次型，若对任意的非是一个实二次型，若对任意的非零向量零向量0),(21 TnxxxX，恒有，恒有0)( Xf，则称，则称)(Xf是是正定二次型正定二次型， 它所对应的矩阵， 它所对应的矩阵A称为称为正定矩阵正定矩阵。 一、正定二次型正定矩阵一、正定二次型正定矩阵定义定义由定义，可得以下结论：由定义，可得以下结论： （1 1）二二次次型型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是0 id。 充分性是显然的；下面用反证法证必要性：充分性是显然的；下面用反证法证必要性： 假设某个假设某个0 kd， 取取1 ky，其其

2、余余)( 0kjyj ， 代入二次型，得代入二次型，得 0)0 , 1 , 0( kdf， 与与二二次次型型),(21nyyyf正正定定矛矛盾盾。 2( (2 2) ) 二二次次型型AXXT若若正正定定，经经过过可可逆逆线线性性变变换换CYX ，化化为为YACCYTT)(，其其正正定定性性保保持持不不变变。 这这是是因因为为C是是可可逆逆矩矩阵阵，只只要要0 Y，就就有有0 X， 于于是是0 AXXT， 即即0)( YACCYTT。 由由变变换换的的可可逆逆性性，若若YACCYTT)(正正定定，也也可可推推出出AXXT正正定定。 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要由上述两个结论可知，

3、研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。定理判别其正定性。 ( (1 1) ) 二二次次型型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是0 id。 3n元元实实二二次次型型AXXfT 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的正正惯惯性性指指数数等等于于n。 定理定理推论推论 实对称矩阵实对称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特征值的特征值全为正。全为正。均均为为则则为为正正定定矩矩阵阵若若实实对对称称矩矩阵阵 AAAAT,1正

4、定矩阵。正定矩阵。矩矩阵阵A与与它它的的转转置置TA有有相相同同的的特特征征值值； 这是因为：这是因为：;)(1)(1AA .)()(AAA 4解解例例1 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。32212322213212232),(xxxxxxxxxxf 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为 ,310121011 A310121011 AE312122012321 ccc,)14)(2(2 5, )14)(2(2 AE求求得得 A 的的特特征征值值为为32 , 2 ， 全为正，全为正， 因此二次型正定。因此二次型正定。 6下下面面，我我们们从从二二次次型型矩矩阵阵A的的子子式式，来来判判别

5、别二二次次型型AXXT的的正正定定性性。先先给给出出A正正定定的的两两个个必必要要条条件件，再再给给一一个个充充分分必必要要条条件件。 定理定理设矩阵设矩阵A正定，则正定，则 （1 1）A的主对角元全为正；的主对角元全为正； （2 2）A的的行行列列式式0 A。 证明证明（1 1）因为）因为 ninjjiijTxxaAXXXf11)(正定，正定， 取取TiX)0 , 1 , 0( ，则则有有 )., 1 , 0( , 0)(niaXfiii 。 （2 2）因因为为A正正定定，所所以以A的的特特征征值值全全大大于于零零，即即得得021 nA 。 7上述上述定理是定理是A正定的必要条件，但不是充分

6、条件。正定的必要条件，但不是充分条件。 定理定理二二次次型型AXXT正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是，A的的顺顺序序主主子子式式全全大大于于零零。 （证证略略） 其其中中nnijaA)( 的的k阶阶顺顺序序主主子子式式是是指指行行列列式式 kkkkkkkaaaaaaaaaA212222111211 8解解例例2 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。323121232221244555xxxxxxxxxf 二次型对应的矩阵为二次型对应的矩阵为 ,512152225 A它的顺序主子式为：它的顺序主子式为： ,051 A,02152252 A,0885121522253 A因此因此 A是

7、正定的，是正定的， 即二次型即二次型 f 正定。正定。 9解解例例3 设有实二次型设有实二次型 问问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？取何值时，该二次型为正定二次型？ 3231212322214225xxxxxxtxxxf f 的矩阵为的矩阵为 ,5212111 ttA顺序主子式为：顺序主子式为： ,011 A,011122 tttA,04523 ttAA解得解得.054 t10 实对称矩阵实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵可逆矩阵C，使得使得 .CCAT 实际上，正定二次型的规范形为实际上，正定二次型的规范形为,22221nzzz 即即A正定

8、的充分必要条件是正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵合同于单位矩阵E ，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C ，使，使.CCECCATT 11TTAA)(设设 A 为为nm 矩矩阵阵， 且且的的秩秩nA )(r， 则则AAT为为正正定定矩矩阵阵。 证证因为因为,AAT 故故AAT是是 n 阶阶对对称称矩矩阵阵。 又又nA )(r，可知齐次线性方程组，可知齐次线性方程组0 AX仅有零解，仅有零解， 所所以以对对任任意意0 X，必必有有0 AX， 于是于是XAAXTT)()()(AXAXT ,0 即即二二次次型型XAAXTT)(为为正正定定二二次次型型， 即即矩矩阵阵AAT为为正正定定矩矩阵阵。 122

9、、其它有定二次型、其它有定二次型设设AXXXfT )(是是一一个个实实二二次次型型, ,对对任任意意非非零零向向量量 定义定义,0),(21 TnxxxX（1 1）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是半半正正定定二二次次型型，A称称为为半半正正定定矩矩阵阵； （2 2）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是负负定定二二次次型型，A称称为为负负定定矩矩阵阵； （3 3）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是半半负负定定二二次次型型，A称称为为半半负负定定矩矩阵阵。 如果二次型不是有定的，就称为如果二次型不是有定的，就称为不定二次型不定二次型。 13 显然，显然，A是负定

10、（半负定是负定（半负定 ）的当且仅当）的当且仅当- -A是正定是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：（半正定）的。由此，容易得出以下结论： （2 2）A负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是A的特征值全负；的特征值全负； （3 3）A半负定的充分必要条件是半负定的充分必要条件是A的特征值非正；的特征值非正； （4 4）A负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； （1 1）A半正定半正定的充分必要条件是的充分必要条件是A的特征值的特征值非非负；负； （5 5）若）若A负定，则负定，则A的

11、对角元全为负。的对角元全为负。 注意注意: : 1. .最后一条只是必要条件。最后一条只是必要条件。2. .A的顺序主子式的顺序主子式全非全非负负， A也未必是半正定也未必是半正定的的。 14例如，设矩阵例如，设矩阵 显然显然A的的顺序主子式顺序主子式,100011011 A,011 A,011112 A,01000110113 A但对角元有正有负，显然但对角元有正有负，显然A是不定的。是不定的。15例例5 5判定下列二次型是否是有定二次型。判定下列二次型是否是有定二次型。 解解312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf （1

12、1）f 的矩阵为的矩阵为 ,401061112 A顺序主子式顺序主子式 ,02 ,0116112 ,038 A所以所以 f 是负定的。是负定的。 16例例5 5判定下列二次型是否是有定二次型。判定下列二次型是否是有定二次型。 解解312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf （2 2）f 的矩阵为的矩阵为 ,320222021 A顺序主子式顺序主子式 ,01 所以所以 f 是是不不定的。定的。 ,022221 17练习：练习：P222 习题五习题五18END19.00, 是否为正定矩阵是否为正定矩阵矩阵矩阵试判定分块试判定分块阶正

13、定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 BACnmBA选用例题1 1、于是于是不同时为零向量不同时为零向量则则若若维列向量维列向量维和维和是是分别分别其中其中维向量维向量为为设设因为因为, 0,),(, yxznmyxnmyxzTTT yxBAyxCzzTTT00),(,0 ByyAxxTT解解C是正定的。是正定的。且且C是实对称阵，故是实对称阵，故C是正定矩阵。是正定矩阵。20证证2. 2. 设设 A 是是 m 阶实对称阵且正定阶实对称阵且正定, ,B为为nm 实矩阵，实矩阵，试证试证: :ABBT为正定阵的充分必要条件是为正定阵的充分必要条件是nBr )(。 必要性必要性 设设ABBT为为正正定定阵阵, , 则则对对任任意意实实 n 维维向向量量0 x, , 有有 0 xBABxTT, , 即即 0)()( BxABxT, , 可可见见 0 Bx, , 这这就就是是说说, ,齐齐次次线线性性方方程程组组0 Bx只只有有零零解解, , 因此因此 B 列满秩列满秩, ,即即nB )( r； 充分性充分性: : 因因为为 BABABBTTTT)(ABBT, , 可可见见ABBT为为实实对对称称阵阵. . 将上述过程逆推将上述过程逆推, ,即可得证即可得证. .