第三章微分中值定理与导数的应用习题课课件.ppt
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- 关 键 词:
- 第三 微分 中值 定理 导数 应用 习题 课件
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1、1一、内容提要一、内容提要1. 理解罗尔理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2. 了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Tayloy)定理定理.3. 理解函数的极值概念理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数掌握用导数判断函数定理定理.的单调性和求极值的方法的单调性和求极值的方法.2 5. 会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径曲率半径. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点
2、会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形会描绘函数的图形(包括水平包括水平,铅直和斜渐近线铅直和斜渐近线).3洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘;
3、 ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、内容提要一、内容提要4)()(bfaf 1 1. .微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 0)( f)()()()()()( FfaFbFafbf 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )()()(bfafxxF 10)1()()!1(1 nnxxfn 柯西中值定理柯西中值定理 xxF )( 泰勒中值定理泰勒中值定理 nnxxxfn)(!100)( )()()(000 xxxfxfxf abafbff )()()( 0 n52. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究
4、函数或导数的性态(3) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性6利用利用一般解题方法一般解题方法: :证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在, ,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数, ,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数, ,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值, ,3 3. .有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数. .(2)柯西中值定理柯
5、西中值定理. .中值定理中值定理. .(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思维逆向思维, ,设设辅助函数辅助函数. . 多用多用罗尔定理罗尔定理, ,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理. .(5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.7(1) 研究函数的性态研究函数的性态: :增减增减, ,极值极值, ,凹凸凹凸, ,拐点拐点, ,渐近线渐近线, ,曲率曲率(2) 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立目标函数的建立 最值的判别问题最值的判别问题(3)其他应用其他应用: :求不
6、定式极限求不定式极限; 几何应用几何应用;相关变化率相关变化率; 证明不等式证明不等式; 研究方程实根等研究方程实根等. .4.4.导数应用导数应用8二、典型例题二、典型例题例例 证明方程证明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证证证 令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续,上连续,在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由Rol
7、le 定理知定理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)内有一实根内有一实根9满足其中实数 , , 1naa 012) 1(3121naaann 证明方程0) 12cos(3coscos21xnaxaxan, 2 , 0 内至少有一根在)(xnnaxaxaxFn) 12sin(123sin3sin)( 21令, )(02)0( FF则且满足罗尔定理其它条件且满足罗尔定理其它条件,使故 2 , 0 )(0) 12cos(3coscos)(21naaaFn . 2 , 0 内至少有一根即方程在)(练习练习证:证:10例例 ccfcfcffxf)()()1 ,
8、0(, 0)1(, 1)0()1 , 0(1 , 0)( 使使证明证明且且内可导,内可导,上连续,在上连续,在在在已知已知提示:提示:)()(xxfxF 记记上上在在则则1 , 0)(xF满足满足Rolle 定理的条件定理的条件0)()1 , 0( cFc使使P181 题题711在在)(xf 1 ,0内可导内可导, ,且且,0)1( f证明至少存在一点证明至少存在一点 )(2)(ff , )1 ,0( 使使上连续上连续, ,在在)1 ,0(问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数)()(2xfxxF )(xF用用RolleRolle定理定理, , )1 ,0( 使使即有即有例例证证上上在在
9、1 , 0 )(2)(ff 分析分析0 )(2xfx x0)(2)( ff0)()(2)(2 ffF12例例,)(,)(的两个零点之间的两个零点之间试证在试证在可导可导若若xfxf一定一定.0)()(的零点的零点有有 xfxf分析分析 构造辅助函数构造辅助函数F(x),),()()(xfxfxF 使使则问题转化为则问题转化为)(xF 的零点存在问题的零点存在问题.证证 设设),()(xfexFx 设设, 0)(, 0)(21 xfxf,21xx Rolle定理定理),(21xx 使得使得)()()( fefeF 0)()( ffe, 0 e因此必定有因此必定有. 0)()( ff13例例.设函
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