能控和能观标准型课件.ppt

1、 线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统的能控性定义 在有限时间段在有限时间段t0, tf内内,通过改变通过改变u，若能使，若能使x,由由任意初态任意初态 x(t0)转移到终态转移到终态x(tf)0，则称系统，则称系统状态完全能控。反之，只要有一个状态不能控，状态完全能控。反之，只要有一个状态不能控，就称系统不能控。就称系统不能控。 若在有限时间若在有限时间t0, tf内内,通过改变通过改变u，能使，能使x,由初由初态态 x(t0)0转移到终态转移到终态x(tf)为为任意值，则称系统状任意值，则称系统状态完全能达。态完全能达。x3x1x20 x(t0)x(tf)x3x1x20 x(t0)

2、x(tf) 一一.单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型)673( CxybuAxx 若系统若系统)683(,1 xTxc则存在线性非奇异变换则存在线性非奇异变换是能控的是能控的 )693(11111211 nnnncaaabbAbAT将系统变成能控型)703( xCyubxAx)713(1000010000101210111 nccaaaaATTA)723(100011 bTbc其中其中的的各各项项系系数数。是是系系统统特特征征多多项项式式中中的的式式0111110,)713(aaaAIaaannnn )733(1101 ncCTC 。、写写出出、再再由由也也可可由由CBAaaaasa

3、sasssBAsICsWn201100122301221,)()( xyuxx100112020113021 12218611642(1)2bAAbbM判能控性判能控性解解能控能控3rank M29029)2(0123 aaaAI即即求特征多项式求特征多项式 CbA计算出计算出、写出写出据式据式,73)-(371)-(3)3( 092100010100010210aaaA 100b 12310100121221 aaabAbbACCTCc210 2221032321023( )92ssssW ssa sa sass)793( CxybuAxx 若系统若系统)803(,2 xTxc则存在线性非奇

4、异变换则存在线性非奇异变换是能控的是能控的将系统变成能控型)813( xCyubxAx)823(1000100010001210212 nccaaaaATTA)833(000112 bTbc2011(384)cnCCT )863(12 bAAbbMTnc其中 xyuxx100112020113021 能控能控已求得已求得例例解解3rank 12-3(1) M29029)2(0123 aaaAI即即求特征多项式求特征多项式 010901200100100210aaaA 001b 122122 bCACAbCbCTCc计算计算012CbA计算出计算出、写出写出据式据式,84)-(382)-(3)3

5、()913(100001000010121001101 naaaaATTA若若S S(A A b C)是是能观的能观的,则通过则通过 将将S S(A A b C)化化为能观为能观型型)(C b AS S101T )923(110101 nbTb )933(00101 CTC)943(1101 nCACACNT xyuxx100112020113021 能观能观判能观性判能观性解解3rank(1) N3210(2)920092IAaaa bCA,93)-(391)-(3)3(计算出计算出、写出写出、据式据式 092100010100010210aaaA 001 C10121212CbT bCA

6、bCA 012 1221001010901200 CbA 0011221092100010 CbA)(CbA)(CbATTTbCCbAA 其中其中)963(100010010121123121102 CCACACAaaaaaaTnnnn)(C b AS S102T 若若S S(A b C)是能观的是能观的,则通过则通过 将将S S(A b C)化为能观化为能观型型)983(100010001000121002102 naaaaATTA011021(399)nbT b )1003(100002 CTC0111012211)(asasasssssWnnnnnnn 和和能控能控型一样，根据能观型一样

7、，根据能观型，也可型，也可直接写出传递函数：直接写出传递函数： 1101210,100010001000nnbaaaaA xyuxx100112020113021 100)-(3 - 96)-(3290 012由式由式已知已知解解 aaa 1000207261001012212102CCACAaaaT直接写出 100010901200 CA 123112100020726102bTb计算计算012 123100092100010 CbA 100123010901200 CbATTTbCCbAA 210 012 )(CbA)(CbA)(CbA)(CbA4.4.传递函数矩阵的实现问题一一.实现问题

8、的基本概念实现问题的基本概念 对于给定的传递函数阵对于给定的传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式，若有一状态空间表达式 S S：DuCxyBuAxx 使其满足使其满足)()(1sWDBAsIC (1)传函阵传函阵W(s)中的每个元中的每个元Wik(s)(i=1,2m;k=1,2, r)的分子分母多项式的系数均为实常数。的分子分母多项式的系数均为实常数。(2) W(s)中的每个元素中的每个元素Wik(s)均为均为s的真有理分式的真有理分式,nm 当当nm时，对应时，对应 D=0 当当n=m时时, 对应对应lim( )(3 126)sDW s- 根据严格真有理分式传递函数阵根据严格真有理分式传

9、递函数阵 C(sI - -A)-1B =W(s) - - D寻求形式为寻求形式为S S(A,B,C)的实现。的实现。 需指出, ,并不是任意一个W(s)阵都能找到实现，它必须满足物理可实现条件，即2113 ( )112sssW sssss 例已知例已知将将W(s)化为严格化为严格 的真有理分式。的真有理分式。解解 根据式根据式(3-126)得得1111013lim( )lim11111112ssssDW sss 11113()( )1112ssC sIABW sDss 二. . 系统的标准型实现0111012211)(asasasssssWnnnnnnn 设设其能控标准型实现其能控标准型实现

10、1210100001000010ncaaaaA 1000cb 1210 nncC 1.单变量系统单变量系统 12100100010001000naaaaA 1100nb 1000 CmrRyRu ,)1273()(0111012211 asasasssssWnnnnnnn 设设;-1n10常常数数阵阵式式中中rm 对具有个对具有个r 输入和输入和m个输出的多变量系统，个输出的多变量系统，可把可把mr 维的传递函数阵维的传递函数阵W(s)写成和单变量系写成和单变量系统相类似的形式，即统相类似的形式，即分母多项式分母多项式该传递函数阵的特征多项式。该传递函数阵的特征多项式。)1283(000000

11、0001210 rnrrrrrrrrrrrrrrrcIaIaIaIaIIIA)1293(000 rrrrcIB )1303(110 ncC 维维矩矩阵阵分分母母多多项项式式的的阶阶数数式式输输入入矢矢量量的的维维数数零零矩矩阵阵和和单单位位阵阵和和nrAnrrrIcrr127)-(3;0 能观标准型实现)1313(00000000012100 mnmmmmmmmmmmmmmmmIaIIaIIaIIaA0101(3132)nB 000(3133)mmmCI维维矩矩阵阵。输输出出矢矢量量的的维维数数零零矩矩阵阵和和单单位位阵阵和和nmAmmmImm0;0 2113112)(ssssssssW得得据

12、据式式化化为为严严格格的的真真有有理理分分式式先先将将解解)1263(,)( 1. sW11113()1112ssC sIABss 110121113111)()(1ssssDBAsICsW写写成成按按降降幂幂排排列列的的格格式式将将BAsIC1)( 2. )34()65(2365)3)(2)(1(1211131112222sssssssssssssss 36264535111161161223sssss2a1a0a2 1 0 r =2 m =2 n =33.将系数代入式将系数代入式(3-128) (3-130),得能控标准型实现得能控标准型实现 60110600601106100000010

13、0000010000001000000210rrrrrrrrrcIaIaIaIIA 10010000000000rrrcIB 114536113526210 cC能控标准型实现 100000010000000mmmIC 6010000601001100010011000160000006000000002100mmmmmmmmmIaIIaIIaA 1111453536262100 B设设W(s)的一个实现为的一个实现为CxyBuAxx (3-134)如果如果W(s)不存在其它实现不存在其它实现xCyuBxAx (3-135)为最小实现。为最小实现。的实现的实现的维数，则称式的维数，则称式的维数

14、小于的维数小于使使134)-(3xx能控且能观。能控且能观。是是的最小实现的充要条件的最小实现的充要条件是是系统系统定理定理),()(),(:CBAsWCBAS SS S2.寻求最小实现的步骤),(1111CBAcoS S 131161161133)2)(1)(1(s)(s) 23 sssssssssWsW降降幂幂排排列列格格式式写写成成按按将将解解0 1a0a2a1 321,0011136116210210 nrmRyRuaaamr 【例3-19】试求W(s)的最小实现。rmssssW 3)2)(12)1)(1(s) 00111361011016000000210032100 BIaIIaI

15、IaAnmmmmmmmmmmnBABABM 353110011111311660013rankrankrank020000它它为为最最小小实实现现。既既能能控控又又能能观观系系统统所所以以,)(,00,0,CBA能观标准型实现能观标准型实现 m = 1 n =3 100000 mmmICrmssssssssW 2113112)(11113()1112ssC sIABss 解解 1.先将先将W(s)化为严格的真有理分式化为严格的真有理分式,并写出并写出 能控标准型。能控标准型。r =2 m =2 n =3001000000100000010,00000160110600601106A 00000

16、0001001B 62531110,63541111CD由例3-18，得能控标准型26253116354116659136658126185271961251614CNCACArank36Nn ,所以该能控标准型实现不是所以该能控标准型实现不是最小实现。为此必须按能观性进行结构分解。最小实现。为此必须按能观性进行结构分解。3. 根据式根据式(3-114)构造变换阵构造变换阵 ,将系统按能观将系统按能观性进行分解。性进行分解。10R 2. 判断能控标准型实现的状态是否完全能观测。3. 根据式根据式(3-114)构造变换阵构造变换阵 ,将系统按能观将系统按能观性进行分解。取性进行分解。取10R 1

17、0625311635411665913100000010000001000R 00001000000100000011100103106052251301022R 于是得变换后的各矩阵于是得变换后的各矩阵11100212200100031200022304000000000111001031060522AAR ARAA 110111113,0000000BBR B 011000000010000CCRC经检验，经检验， 是能控且能观的子系统，是能控且能观的子系统，因此因此W(s)的最小实现为的最小实现为:1111(,)ABCS S11001312,22304mAA 1111113mBB 110

18、010,01011mCCD 据上列据上列Am , Bm , Cm , D求系统传递函数阵，求系统传递函数阵，则可检验所得结果。则可检验所得结果。4. 检验所得结果检验所得结果1( )()mmmW sCsIABD 2113112sssssss 101111001031211010221113304sss 当系统阶数等于当系统阶数等于W(s)阵的阶数时，称该系统阵的阶数时，称该系统为为W(s)的一个最小实现。的一个最小实现。CxybuAxx bAsICsW1)()( 其传递函数其传递函数例 设系统传递函数)1)(5 . 2()5 . 2()( ssssW判断系统能控、能观性。判断系统能控、能观性。解解 (1) 因因11)1)(5 . 2()5 . 2()( sssssW是不能控还是不能观是不能控还是不能观?视状态变量的选取而定。视状态变量的选取而定。(2)上述上述W(s)的一个实现为的一个实现为 xyuxx01115 . 2001 系统能控但不能观。系统能控但不能观。(3) W(s)的实现又可以是的实现又可以是 xyuxx11015 . 2001 系统不能控、能观。系统不能控、能观。 xyuxx01015 . 2001 系统不能控、不能观。系统不能控、不能观。(4) W(s)的实现还可以是的实现还可以是