2022年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学调研试卷（理科）（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学调研试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|x24，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，22（5分）在复平面内，复数11-i的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，若S3a6，则a2（）A1B1C2D24（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为y=12+2，那么f（1）+f（1）（

2、）A1B2C3D45（5分）随机变量X的分布列为X101Pa13 c则P（|X|1）等于（）A12B13C23D166（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若basinC，cacosB，则ABC一定是（）A等腰三角形非直角三角形B直角三角形非等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形7（5分）长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积为（）A10B20C30D408（5分）已知sin(23+x)=35，则cos(x+76)等于（）A35B45C-35D-459（5分）已知圆C过点A（0，2）且与直线y2相切，则圆心C的轨迹方程为（）

3、Ax24yBx28yCx24yDx28y10（5分）已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（）A(1，2)B(2，+)C(22，1)D(22，+)11（5分）四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA8，BC4，PBPCABAC，且平面PBC平面ABC，则球O的表面积为（）A64B65C66D12812（5分）函数f（x）的导函数为f（x），对xR，都有2f（x）f（x）成立，若f（ln4）2，则不等式f（x）ex2的解是（）Ax1B0x1Cxln4D0xln4二、填空题：本大题共4

4、小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）若函数f（x）满足f（1lnx）=1x，则f（2）等于 14（5分）若向量a，b满足|a|1，|b|=2，且a（a+b），则a与b的夹角为 15（5分）(1+x2)(1-1x)6的展开式中，常数项为 16（5分）为迎接2022年北京冬奥会，桂林市某中学举办了“迎接冰雪之约，奔向美好未来”的奥运知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮假定某选手正确回答每个问题的概率都是23，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于 三、解答题：共70分

5、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必答题：共60分17（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知公差d0，S735，且a2，a5，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Tn为数列1anan+1的前n项和，求Tn18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等

6、，求PMPD的值19（12分）某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：A，B，C三级为合格，D级为不合格百分制85，10070，85）60，70）50，60）等级ABCD为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（）求n及频率分布直方图中x，y的值；（）根据统计思想方法，以事件发生的频

7、率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（）上述容量为n的样本中，从 A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记为所抽取的3名学生中成绩为A等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标21（12分）已知函数f（x）x2（2a+1）x+aln

8、x（aR）（）若f（x）在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；（）函数g（x）（1a）x，若x01，e使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围（二）选答题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。【选修44：坐标系与参数方程】（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，-3），曲线C的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+3）=32（）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（）设直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求1

9、|PA|+1|PB|的值【选修45：不等式选讲】（10分）23已知函数f（x）|2x+a|+|2xb|+2的最小值为3（1）求a+b的值；（2）若a0，b0，求证：a+b3-log3(4a+1b)2022年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学调研试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，Bx|x24，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，2【解答】解：A1，0，1，2，Bx|2x2，AB1，0，1故选：A2（5分）在复平面内，复数11-i的共轭复数对应的

10、点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：复数11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i，共轭复数对应点的坐标（12，-12）在第四象限故选：D3（5分）已知等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，若S3a6，则a2（）A1B1C2D2【解答】解：等差数列an的公差为1，Sn为其前n项和，S3a6，31+322d1+5d，解得d1，则a21+12故选：D4（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为y=12+2，那么f（1）+f（1）（）A1B2C3D4【解答】解：f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程为

11、y=12x+2，f（1）=12，又f（1）=121+2=52，f（1）+f（1）=52+12=3故选：C5（5分）随机变量X的分布列为X101Pa13 c则P（|X|1）等于（）A12B13C23D16【解答】解：由随机变量X的分布列得：P（|X|1）P（X1）+P（X1）a+c1-13=23故选：C6（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若basinC，cacosB，则ABC一定是（）A等腰三角形非直角三角形B直角三角形非等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解答】解：cacosB，根据余弦定理可得caa2+c2-b22ac，化简可得c2+b2a2，ABC为直角三角形，

12、basinCaca=c，故ABC的形状为等腰直角三角形，故选：D7（5分）长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积为（）A10B20C30D40【解答】解：如图，不妨设ABa，BCb，CC1c，则abc120，则VE-BCD=13SBCDCE=1312ab12c=112abc=112120=10故选：A8（5分）已知sin(23+x)=35，则cos(x+76)等于（）A35B45C-35D-45【解答】解：cos(x+76)=cos（x+23+2）sin（x+23）=-35故选：C9（5分）已知圆C过点A（0，2）且与直线y2相切，则圆心C的轨

13、迹方程为（）Ax24yBx28yCx24yDx28y【解答】解：设动圆圆心C的坐标为（x，y）圆C过点M（0，2），且与直线l：y2相切，圆心到定点（0，2）及到直线y2的距离都等于半径，x2+(y-2)2=|y+2|，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x28y；故选：B10（5分）已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左焦点，若双曲线右支上存在一点P，使直线PF与圆x2+y2a2相切，则双曲线离心率的取值范围是（）A(1，2)B(2，+)C(22，1)D(22，+)【解答】解：直线PF与圆x2+y2a2相切，则直线PF的斜率k=ab，又点P在双曲线的右支上，所以|k|ba

14、，即abba，所以b2a21，所以e2=1+b2a22，即e2，故选：B11（5分）四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA8，BC4，PBPCABAC，且平面PBC平面ABC，则球O的表面积为（）A64B65C66D128【解答】解：由于PBPC，取BC的中点为O，则POBC，由于平面ABC平面PBC，即有PO平面ABC，PA8，BC4，PBPCABAC，PB6，PO42，ABC中，ABAC6，BC4，sinABC=426=223，2r=6223，设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，则（922）2+h2（42-h）2+（42-922）2R2，解得R=652球O的表面积为4R26

15、5，故选：B12（5分）函数f（x）的导函数为f（x），对xR，都有2f（x）f（x）成立，若f（ln4）2，则不等式f（x）ex2的解是（）Ax1B0x1Cxln4D0xln4【解答】解：xR，都有2f（x）f（x）成立，f（x）-12f（x）0，于是有（f(x)ex2）0，令g（x）=f(x)ex2，则有g（x）在R上单调递增，不等式f（x）ex2，g（x）1，f（ln4）2，g（ln4）1，xln4，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）若函数f（x）满足f（1lnx）=1x，则f（2）等于e【解答】解：根据题意，f（1lnx）=1

16、x，令1lnx2，解可得x=1e，将x=1e代入解析式，可得f（2）e，故答案为：e14（5分）若向量a，b满足|a|1，|b|=2，且a（a+b），则a与b的夹角为34【解答】解：向量a，b满足|a|1，|b|=2，且a（a+b），设a与b的夹角为，则有 a(a+b)=0，即 a2=-ab，故有 112cos，cos=-22再由0，可得=34，故答案为 3415（5分）(1+x2)(1-1x)6的展开式中，常数项为 16【解答】解：（1-1x）6展开式的通项公式为Tr+1（1）rC6rxr，r0，1，2，3，4，5，6，所以(1+x2)(1-1x)6的展开式中，常数项为（1）0C60+（1）

17、2C62=16故答案为：1616（5分）为迎接2022年北京冬奥会，桂林市某中学举办了“迎接冰雪之约，奔向美好未来”的奥运知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮假定某选手正确回答每个问题的概率都是23，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于 1681【解答】解：根据题意，若该选手恰好回答了5个问题晋级一轮，则必有第2 个问题回答错误，第3，4，5个问题回答正确，第一个问题可对可错，概率为P1=1113(23)3=881，若该选手恰好回答了6个问题晋级下一轮，则第4，5，6个问题回答正确，第3个

18、问题回答错误，前2个问题可对可错，概率为P2=1113(23)3=881，该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率PP1+P2=1681故答案为：1681三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答（一）必答题：共60分17（12分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知公差d0，S735，且a2，a5，a11成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若Tn为数列1anan+1的前n项和，求Tn【解答】解：（1）由S735，知7a1+762d35，即a1+3d5，因为a2，a5，a11成等比数列，

19、所以a52=a2a11，即（a1+4d）2（a1+d）（a1+10d），化简得3a1d6d20，解得a12，d1，所以ann+1（2）因为1anan+1=1(n+1)(n+2)=1(n+1)-1(n+2)，所以Tn=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2)18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上（）求证：EF平面PAC；（）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值【解答】（）证明

20、：在平行四边形ABCD中，BCD135，ABC45，ABAC，ABACE，F分别为BC，AD的中点，EFAB，EFAC侧面PAB底面ABCD，且BAP90，PA底面ABCD又EF底面ABCD，PAEF又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，EF平面PAC（）解：PA底面ABCD，ABAC，AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（2，2，0），E（1，1，0），PB=（2，0，2），PD=（2，2，2），BC=(-2，2，0)，PE=（1，1，2）设P

21、MPD=（01），则PM=（2，2，2），ME=PE-PM=（1+2，12，22），显然平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），则nBC=0nPB=0，即-2x+2y=02x-2z=0令x1，得n=（1，1，1）cosn，ME=nME|n|ME|=23|ME|，cosmME=mME|m|ME|=2-2|ME|直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，|23|ME|2-2|ME|，即 |2-2|=|23|，解得=3-32，或=3+32（舍）PMPD=3-3219（12分）某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，

22、已知这些学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：A，B，C三级为合格，D级为不合格百分制85，10070，85）60，70）50，60）等级ABCD为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（）求n及频率分布直方图中x，y的值；（）根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；

23、（）上述容量为n的样本中，从 A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记为所抽取的3名学生中成绩为A等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望【解答】解：（）由题意知样本容量n=60.01210=50，x=25010=0.004y=1-0.04-0.1-0.12-0.5610=0.018（）成绩是合格等级人数为：（10.1）5045人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，则P（A）1（1-910）3=9991000（）由题意C等级学生人数为0.18509人，A等

24、级的人数为3人，的可能取值为0，1，2，3，P（0）=C93C123=2155，P（1）=C92C31C123=2755，P（2）=C91C32C123=27220，P（3）=C33C123=1220，的分布列为： 0 12 3 P 2155 2755 27220 1220E（）=02155+12755+227220+31220=3420（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原

25、点）；当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标【解答】解：（1）依题意有c=2a=3ba2-b2=c2=4解得a2=6b2=2所以椭圆C的标准方程为x26+y22=1（2）设T（3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），证明：由F（2，0），可设直线PQ的方程为xmy2，则PQ的斜率kPQ=1m由x=my-2x26+y22=1（m2+3）y24my20，所以=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)0y1+y2=4mm2+3y1y2=-2m2+3，于是y0=y1+y22=2mm2+3，从而x0=my0-2=2m2m2+3-2=-6m2+3，即N(-6m2+3，2

26、mm2+3)，则直线ON的斜率kON=-m3，又由PQTF知，直线TF的斜率kTF=t-0-3+2=-1kPQ=-11m，得tm从而kOT=t-3=-m3=kON，即kOTkON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证由两点间距离公式得|TF|=m2+1，由弦长公式得|PQ|=|y1-y2|m2+1=(y1+y2)2-4y1y2m2+1=24(m2+1)m2+3m2+1，所以|TF|PQ|=m2+124(m2+1)m2+3m2+1=m2+324(m2+1)，令x=m2+1(x1)，则|TF|PQ|=x2+226x=126(x+2x)33（当且仅当x22时，取“”号），所以当 |T

27、F|PQ|最小时，由x22m2+1，得m1或m1，此时点T的坐标为（3，1）或（3，1）21（12分）已知函数f（x）x2（2a+1）x+alnx（aR）（）若f（x）在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；（）函数g（x）（1a）x，若x01，e使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数的导数f（x）2x（2a+1）+ax=2x2-(2a+1)x+ax=(2x-1)(x-a)x （2分）当导函数f（x）的零点xa落在区间（1，2）内时，函数f（x）在区间1，2上就不是单调函数，所以实数a的取值范围是：a2或a1；（6分）（也可以转化为恒成立问题酌情给分）（2

28、）由题意知，不等式f（x）g（x）在区间1，e上有解，即x22x+a（lnxx）0在区间1，e上有解 （7分），当x1，e时，lnx1x（不同时取等号），lnxx0，ax2-2xx-lnx在区间1，e上有解 （8分）令h(x)=x2-2xx-lnx，则h（x）=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2 （9分）x1，e，x+222lnx，h（x）0，则h（x）单调递增，x1，e时，h（x）的最大值为h（e）=e(e-2)e-1，（11分）ae(e-2)e-1 则实数a的取值范围是（，e(e-2)e-1（12分）（也可以构造函数F（x）x22x+a（lnxx），分类讨论酌情给分）（二）选答

29、题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。【选修44：坐标系与参数方程】（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，-3），曲线C的参数方程为x=2cosy=2sin（为参数）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+3）=32（）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（）设直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求1|PA|+1|PB|的值【解答】解：（）直线l：cos（+3）=32（12cos-32sin)=32=32cos-3sin3，即x-3y-3=0，斜率k=33，倾斜角3

30、0，点P（0，-3）满足此方程，所以点P在直线l上；（）曲线C的普通方程为x2+y24直线l的参数方程为x=32ty=-3+12t（t为参数） 把代入得t2-3t-10，设A，B两点对应的参数为t1，t2得t1t21t1+t2=3，又|PA|t1|PB|t2|，且t1与t2异号，1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2|t1t2|=|t1-t2|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=7【选修45：不等式选讲】（10分）23已知函数f（x）|2x+a|+|2xb|+2的最小值为3（1）求a+b的值；（2）若a0，b0，求证：a+b3-log3(4a+1b)【解答】（1）解：f（x）|2x+a|+|2xb|+2|（2x+a）（2xb）|+2|a+b|+2，所以|a+b|+23，即a+b1；（2）证明：由a+b1，则原式等价为：log3(4a+1b)2，即4a+1b9，而4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab5+24baab=9，故原不等式成立