2022年辽宁省县级重点高中协作体高考数学一模试卷（学生版+解析版）.docx

1、2022年辽宁省县级重点高中协作体高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）在复平面内，复数Z和Z1=2i1-i（i为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，则复数Z（）A1+iB1+iC1iD1i2（5分）已知集合Ax|x22x+80，Bx|xa，若ABR，则实数a的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C2，+）D（2，+）3（5分）已知曲线C：x24a+y23a+2=1，则“a0”是“曲线C是椭圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4（5分）在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见

2、，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为（）A120cm2B162.7cm2C785.4cm2D1570.8cm25（5分）函数y=cosxx的图象大致为（）ABCD6（5分）习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量

3、不得超过原污染物总量的0.25%已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0ekt（其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量）若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（）（参考数据：log520.43）A9B11C13D157（5分）将函数f（x）sinx（0）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位长度，得到函数g（x）的图像，若g（x）在（2，）上单调递减，则实数的取值范围为（）A（0，14B（0，58C14，54D14，

4、588（5分）设函数f(x)=2x+lnx，x（0，6），f（x）的图像上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线分别为l1，l2，且x1x2，l1，l2在y轴上的截距分别为b1，b2，若l1l2，则b1b2的取值范围是（）A(23-ln2，2)B(ln2-23，1+ln2)C(23-ln2，0)D（1+ln2，2）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，

5、调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（）A总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长BB校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长CA校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数DB校学生做作业时长分布更接近正态分布（多选）10（5分）若ab0，则下列结论正确的是（）Aa3b0Ba+b0Ca（ab）0Dba+ab2（多选）11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，且ABBF2=BF2F2A=F2AAB，则下列说法

6、正确的是（）AA，B两点不可能同在C的左支上BABF2为直角三角形C若|BF1|AF1|，则|AF1|2aD若x轴上存在点D满足BD+3F2A=0，则C的离心率为7（多选）12（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化如图所示，正五边形ABCDE的边长a1，正五边形A1B1C1D1E1边长为a2，正五边形A2B2C2D2E2边长为a3，依次下去，正五边形An1Bn1Cn1Dn1En1边长为an，记ACE，则下列结论中正确的是（）Aan是公长对3-52的等比数列Ban是公比为5-12的等比数列Ccos=5+14D对任意R，cos+cos（+2）+cos（+4）+cos（+6）+cos（

7、+8）0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知：AB=（6，1），BC=（4，k），CD=（2，1），若A，C，D三点共线，则k 14（5分）已知定义在R上的函数f（x）不是常值函数，且同时满足：f（2+x）f（2x）；对任意x1R，均存在x2R使得f（x1）2f（x2）成立；则函数f（x） （写出一个符合条件的答案即可）15（5分）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育馆胜利开幕冬奥会期间，北京市758个城市志愿者站点全部“开门迎客”，保障了北京冬奥会顺利举行现将含甲、乙、丙在内的6位志愿者分配到3个服务站点参加服务，要求每位志愿者只能去1个站点，每个站点

8、至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有 种（用数字作答）16（5分）若四棱锥PABCD的各顶点都在同一个球O的表面上，PB底面ABCD，PB2，ABCD1，AD2BC22，BCAD，则球O的体积为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）记数列an的前n项和为Sn，a17，a26，an+1kan+1（nN+，kR）（1）证明数列an为等差数列，并求通项公式an；（2）记Tn|a1|+|a2|+|a3|+|an|，求Tn18（12分）设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，（sinBsinC）b

9、（ac）（sinA+sinC）（）求角A的大小；（）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且AD1，求ABC面积的最小值；设点D为BC边上的中点，且AD1，求ABC面积的最大值19（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，且ABADABC是底面O的内接正三角形，P为线段DO上一点，PODO，PA平面PBC（1）求的值；（2）求PB与平面PEC所成角的正弦值20（12分）为积极响应国家强化稳就业号召，我国某世界500强企业加大招聘力度，在秋季招聘结束后，又面向应届大学毕业生全面启动了2022年春季校园招聘活动招聘方式分笔试

10、、面试这两环节进行，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，且这几个环节能否过关相互独立现M大学有甲、乙、丙三名应届硕士研究生报名参加了该企业的春季校园招聘，并已通过该企业的资料初审笔试环节设置A，B两个科目，其中甲通过A，B科目测试的概率分别为23，34，乙通过A，B科目测试的概率分别为34，45，丙通过A，B科目测试的概率与乙相同面试环节中各人通过面试的概率均为23（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；（2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元，参加了面试的同学再奖励100元丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的

11、概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；（3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望21（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点（m，0）且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点（1）当k2且p2m时，|AB|15，求抛物线C的方程；（2）已知横坐标为-p2的点D在直线l上，若对任意正数m，FAFB=|FD|2cosAFB恒成立，求k的值22（12分）已知函数f（x）xlnxax3x，aR（1）若f（x）存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若x1，x2（x1x2）是f（x）的两个不同极值点，证明：3lnx1

12、+lnx212022年辽宁省县级重点高中协作体高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）在复平面内，复数Z和Z1=2i1-i（i为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，则复数Z（）A1+iB1+iC1iD1i【解答】解：Z1=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2(-1+i)2=-1+i复数Z和Z1=2i1-i（i为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，Z1+i故选：B2（5分）已知集合Ax|x22x+80，Bx|xa，若ABR，则实数a的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C2，+）D（2，

13、+）【解答】解：集合Ax|x22x+80x|x4或x2，Bx|xa，ABR，a2，实数a的取值范围是（2，+）故选：D3（5分）已知曲线C：x24a+y23a+2=1，则“a0”是“曲线C是椭圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：曲线C：x24a+y23a+2=1为椭圆时，则4a03a+204a3a+2，可得：a0，且a2，所以“a0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件，故选：C4（5分）在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是

14、六棱柱形如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为（）A120cm2B162.7cm2C785.4cm2D1570.8cm2【解答】解：根据正六棱柱的底面边长为7cm，得正六棱柱的侧面积为6718.7785.4，所以至少需要绒布的面积为785.4cm2，故选：C5（5分）函数y=cosxx的图象大致为（）ABCD【解答】解：函数的定义域为x|x0，f（x）=cos(-x)-x=-cosxx=-f（x），则f（x）是奇函数，排除B，当0x2时，f（x）0，排除C，当x0时，由f（x

15、）0，得cosx0，则右侧前3个零点为2，32，52，当32x52时，f（x）0，排除D，故选：A6（5分）习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P=P0ekt（其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量）若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（）（参考数

16、据：log520.43）A9B11C13D15【解答】解：由题意可得，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，P=P0ekt，(1-80%)P0=P0e4k，解得k=-ln54，由0.25%P0=P0ekt，则-ln0.0025=ln54t，t=4ln400ln5=4log54004（2+4log52）14.8815，故整数n的最小值为15411故选：B7（5分）将函数f（x）sinx（0）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位长度，得到函数g（x）的图像，若g（x）在（2，）上单调递减，则实数的取值范围为（）A（0，14B（0，58C14，54D14，58

17、【解答】解：将函数f（x）sinx（0）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到ysin2x，再向左平移8个单位长度，得到函数g（x）的图像，即g（x）sin2（x+8）sin（2x+4），若g（x）在（2，）上单调递减，则g（x）的周期T2（-2），即2，得02，由2k+22x+42k+32，kZ，得2k+42x2k+54，kZ，即2k+42x2k+542，即g（x）的单调递减区间为2k+42，2k+542，kZ，若g（x）在（2，）上单调递减，则2k+4222k+542，2k+14k+58，即2k+14k+58，kZ，当k0时，1458，即的取值范围是14，58，故选：D

18、8（5分）设函数f(x)=2x+lnx，x（0，6），f（x）的图像上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线分别为l1，l2，且x1x2，l1，l2在y轴上的截距分别为b1，b2，若l1l2，则b1b2的取值范围是（）A(23-ln2，2)B(ln2-23，1+ln2)C(23-ln2，0)D（1+ln2，2）【解答】解：f(x)=2x+lnx，x（0，6），f（x）=-2x2+1x，曲线yf（x）在点A（x1，y1）处切线的斜率为-2x12+1x1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为-2x22+1x2，又这两条切线互相平行，则-2x12+1x1=-2x22+1x2，整理得1x1+1

19、x2=12；1x2=12-1x1且0x1x26，1612-1x11x1，则141x113，即x1（3，4），设在点A（x1，f（x1）处的切线方程为y（2x1+lnx1）（-2x12+1x1）（xx1），在点B（x2，f（x2）处的切线方程为y（1x2+lnx2）（-2x22+1x2）（xx2），令x0，则b1=4x1+lnx11，b2=4x2+lnx21，b1b24（1x1-1x2）+lnx1lnx24（2x1-12）ln1x1+ln（12-1x1），令t=1x1，则g（t）4（2t-12）lnt+ln（12-t）（14t13），g（t）8-1t-112-t=16t2-8t+12t2-t=(

20、4t-1)22t2-t0，g（t）在区间（14，13）上递减，得g（13）g（t）g（14），即23ln2g（t）0故b1b2的取值范围是（23ln2，0），故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（）A总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长

21、BB校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长CA校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数DB校学生做作业时长分布更接近正态分布【解答】解：由直方图可知，A校学生做作业时长大部分在12小时，而B校学生做作业时长大部分在2.53小时，故A正确，C错误，B校有学生做作业时长小于1小时的，而A校有学生做作业时长超过5小时的，故B错误，B校学生做作业时长分布相对A校更对称，故D正确故选：AD（多选）10（5分）若ab0，则下列结论正确的是（）Aa3b0Ba+b0Ca（ab）0Dba+ab2【解答】解：A、若ab0，则a3b0，正确；B、若ab0，当a5，b1，则a+b40，错误；C、若a

22、b0，a（ab）a2ab0，正确；D、若ab0，当a1，b1，则ba+ab=-1+（1）20，错误；故选：AC（多选）11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，且ABBF2=BF2F2A=F2AAB，则下列说法正确的是（）AA，B两点不可能同在C的左支上BABF2为直角三角形C若|BF1|AF1|，则|AF1|2aD若x轴上存在点D满足BD+3F2A=0，则C的离心率为7【解答】解：由ABBF2=BF2F2A，得BF2 (AB+AF2)=0，记线段BF2的中点为E，则BF (AB+AF2)=2BF

23、2AE=0，所以直线AE是线段BF2的垂直平分线，所以|AB|AF2|，同理可证得|AB|BF2|，所以ABF2为等边三角形，画图可知，此时A，B 不可能同在 C 的左支上，A项正确，B项错误；如图所示，若|BF1|AF1|，则点A在线段BF1上，|BF1|BF2|BF1|BA|AF1|2a，C项正确；不妨设点A在点B的左侧，设|F1F2|2c，因为BD+3F2A=0，所以BD/F2A，所以F1AF2F1BD，所以|F2D|4c，在等边三角形ABF2中，设|AF2|BF2|AB|m，则|BD|=3m，|AF1|=m2，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a，所以m-m2=2a，即m4a，因为

24、ABF2是等边三角形，所以F2BDAF2B60，在F2BD中，cosF2BD=|BF2|2+|BD|2-|F2D|22|BF2|BD|=m2+9m2-16c22m3m=12，化简可得7m216c2，由可得c2a2=7，所以e=7，D项正确；故选：ACD（多选）12（5分）红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化如图所示，正五边形ABCDE的边长a1，正五边形A1B1C1D1E1边长为a2，正五边形A2B2C2D2E2边长为a3，依次下去，正五边形An1Bn1Cn1Dn1En1边长为an，记ACE，则下列结论中正确的是（）Aan是公长对3-52的等比数列Ban是公比为5-12的等比数列Cco

25、s=5+14D对任意R，cos+cos（+2）+cos（+4）+cos（+6）+cos（+8）0【解答】解：由正五边形的性质得ACE=5，所以D1AC1，作AD1C1的角平分线D1M，取D1C1中点N，连接AN，则AND1C1，所以AD1MC1D1M，所以MD1MAD1C1令MD1MAD1C11，MC1x，则C1MC1D1=C1D1AC1，所以1x（x+1），解得x=5-12，所以cosC1=cos2=C1NC1A=5-14，所以cos2=12(1+cos2)=125+34=5+38=25+616=(5+14)2，所以cos=5+14，故C选项正确；因为a21，ABEC1AE，所以ABBE=A

26、C1AE，即a125+12+a2=5+12a1，所以a12=(5+2)(5+1)2=7+352，所以(a2a1)2=27+35=2(7-35)4=(3-52)2，即q=3-52，故A选项正确，B选项错误；由于5，则102，所以cos+cos（+2）+cos（+4）+cos（+6）+cos（+8）cos+cos（+2）+cos（+4）+cos（4）+10+cos（2）+10cos+cos（+2）+cos（+4）+cos（4）+cos（2）cos+2coscos4+2coscos2cos（1+2cos4+2cos2）cos1+2（2cos221）+2cos2cos（4cos22+2cos21）=c

27、os4(5-14)2+5-12-1=0，故D选项正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知：AB=（6，1），BC=（4，k），CD=（2，1），若A，C，D三点共线，则k4【解答】解：AC=AB+BC=（6，1）+（4，k）（10，1+k），A，C，D三点共线，1012（1+k）0，解得k4故答案为：414（5分）已知定义在R上的函数f（x）不是常值函数，且同时满足：f（2+x）f（2x）；对任意x1R，均存在x2R使得f（x1）2f（x2）成立；则函数f（x）（x2）2（写出一个符合条件的答案即可）【解答】解：由f（2+x）f（2x） 知：f（x） 关

28、于 x2 对称，由对任意 x1R，均存在 x2R 使得f（x1）2f（x2）成立知：函数值域为（，0或（0，+）或全体实数，f（x）（x2）2符合要求故答案为：（x2）2（答案不唯一）15（5分）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育馆胜利开幕冬奥会期间，北京市758个城市志愿者站点全部“开门迎客”，保障了北京冬奥会顺利举行现将含甲、乙、丙在内的6位志愿者分配到3个服务站点参加服务，要求每位志愿者只能去1个站点，每个站点至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有 114种（用数字作答）【解答】解：由题意可得分配方案共有3种：2，2，2；1，2，

29、3；1，1，4对于方案2，2，2：有C22C42C22A22A33=18种；对于方案1，2，3：有C22C31C32A33+C22C43A33=78种；对于方案1，1，4：有C22C32A33=18种甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有18+78+18114种故答案为：11416（5分）若四棱锥PABCD的各顶点都在同一个球O的表面上，PB底面ABCD，PB2，ABCD1，AD2BC22，BCAD，则球O的体积为 7143【解答】解：设球心O到平面ABCD的距离为h，AD，BC的中点分别为F，E，由已知条件得，四边形ABCD所在的截面圆的圆心G必在线段EF的延长线上，因为G

30、AGB，所以AF2+GF2BE2+EG2，所以(2)2+GF2=(22)2+(22+GF)2，解得GF=22，GA=AF2+GF2=102，因为OPOA，所以GA2+OG2=GB2+(PB-OG)2，因为GAGB，所以OG=PB2=1，所以球O的半径为GA2+OG2=(102)2+12=142，所以球O的体积为43(142)3=7143故答案为：7143四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）记数列an的前n项和为Sn，a17，a26，an+1kan+1（nN+，kR）（1）证明数列an为等差数列，并求通项公式an；（2）记Tn|a1|+|a2

31、|+|a3|+|an|，求Tn【解答】（1）证明：当n1时，有a2ka1+1，即67k+1，解得k1，所以an+1an1，即数列an是公差为1的等差数列，故an7+（n1）1n8（2）解：由（1）知，ann8，当0n7时，an0；当n8时，an0，所以当0n7时，Tn|a1|+|a2|+|an|（a1+a2+an）=-(-7+n-8)n2=-n(n-15)2；当n8时，Tn|a1|+|a2|+|a3|+|an|（a1+a2+a7）+（a8+a9+an）S7+（SnS7）Sn2S7=n(n-15)2-27(7-15)2=12n2-152n+56，故Tn=-n(n-15)2，0n712n2-152

32、n+56，n818（12分）设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，（sinBsinC）b（ac）（sinA+sinC）（）求角A的大小；（）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分设角A的角平分线交BC边于点D，且AD1，求ABC面积的最小值；设点D为BC边上的中点，且AD1，求ABC面积的最大值【解答】解：（）asinA=bsinB=csinC，且（sinBsinC）b（ac）（sinA+sinC），（bc）b（ac）（a+c），即b2+c2a2bc，cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A（0，），A=3（）若选AD平分BAC，BAD=CAD=12B

33、AC=6，SABD+SACDSABC，12ABADsinBAD+12ACADsinCAD=12bcsinA，即csin6+bsin6=bcsin3，c+b=3bc，由基本不等式可得：3bc=b+c2bc，bc43，当且仅当b=c=233时取“”，SABC=12bcsinA=34bc33，即ABC的面积的最小值为33若选因为AD是BC边上的中线，在ADB中由余弦定理得cosADB=(a2)2+12-c22a21，在ADC中由余弦定理得cosADC=(a2)2+12-b22a21，cosADB+cosADC0，a22+2=b2+c2，在ABC中，A=3，由余弦定理得a2b2+c2bc，由得4bcb

34、2+c2，4bcb2+c22bc，解得bc43，当且仅当b=c=233时取“”，所以SABC=12bcsinA=34bc33，即ABC的面积的最大值为3319（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，且ABADABC是底面O的内接正三角形，P为线段DO上一点，PODO，PA平面PBC（1）求的值；（2）求PB与平面PEC所成角的正弦值【解答】解：（1）由题设，ABC为等边三角形，设AB1，则AO=BO=CO=2332=33，AE=2AO=233，DO=AD2-AO2=63，PO=DO=63，PA=PC=PB=PO2+AO2=232+13，PA平面PBC，则PAPC，且

35、PAPB，由PA2+PB2AB2，得232+13+232+13=1，解得=12（2）过O作ONBC交AB于点N，PO平面ABC，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，E(-33，0，0)，B(-36，12，0)，C(-36，-12，0)，P(0，0，66)，PC=(-36，-12，-66)，PB=(-36，12，-66)，PE=(-33，0，-66)设平面PCE的一个法向量为m=(x，y，z)由mPC=0，mPE=0，得-36x-12y-66z=0，-33x-66z=0，令x1，得z=-2，y=33m=(1，33，-2)设PB与平面PEC所成角为，则

36、sin=|cosPB，m|=|PBm|PB|m|=-36+36+3322103=55故PB与平面PEC所成角的正弦值为5520（12分）为积极响应国家强化稳就业号召，我国某世界500强企业加大招聘力度，在秋季招聘结束后，又面向应届大学毕业生全面启动了2022年春季校园招聘活动招聘方式分笔试、面试这两环节进行，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，且这几个环节能否过关相互独立现M大学有甲、乙、丙三名应届硕士研究生报名参加了该企业的春季校园招聘，并已通过该企业的资料初审笔试环节设置A，B两个科目，其中甲通过A，B科目测试的概率分别为23，34，乙通过A，B科目测试的概率分别为34，

37、45，丙通过A，B科目测试的概率与乙相同面试环节中各人通过面试的概率均为23（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率；（2）该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元，参加了面试的同学再奖励100元丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确；（3）记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望【解答】解：设事件A表示甲通过笔试，事件B表示乙通过笔 试，事件C表示丙通过笔试，则P(A)=2334=12，P(B)=P(C)=3445=35，（1）甲、乙、丙

38、三人中恰有一人笔试合格的概率为P=P(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =12(1-35)2+(1-12)35(1-35)2=825（2）若这三名同学获得180元的总奖金，则表明他们三人都末进人面试，故所求的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(1-12)(1-35)2=225，若这三名同学获得总奖金为480 元，则表明他们三人都进入了面试，故所求的概率为P2P（ABC）=P(A)P(B)P(C)=123535=950因为P1P2，所以丁同学的说法错误（3）甲被录取的概率为P3=233423=13，乙被录取的

39、概率为P4=344523=25，丙被录取的概率为P5=P4=25由题意可知，X的取值范围为0，1，2，3，P(X=0)=(1-13)(1-25)2=625，P(X=1)=13(1-25)2+(1-13)25(1-25）2=1125，P(X=2)=1325(1-25)2+(1-13)2525=415，P(X=3)=132525=475，所以X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 625 1125 415 475所以数学期望E(X)=0625+11125+2415+3475=171521（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点（m，0）且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两

40、点（1）当k2且p2m时，|AB|15，求抛物线C的方程；（2）已知横坐标为-p2的点D在直线l上，若对任意正数m，FAFB=|FD|2cosAFB恒成立，求k的值【解答】解：（1）由已知可设直线l：y2（x-p2），且点（m，0）为抛物线的焦点，则联立方程y2=2pxy=2(x-p2)，整理可得：4x26px+p20，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=32p，则|AB|AF|+|BF|x1+x2+p=52p15，解得p6，故抛物线方程为y212x；（2）因为FAFB=|FD|2cosAFB，故|FA|FB|FD|2；设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2=2pxy

41、=k(x-m)，消去y可得k2x22（k2m+p）x+k2m20，显然k0，因为m0，p0，故0，而x1+x2=2m+2pk2，x1x2=m2，故D（-p2，-k(m+p2)），从而|FD|2p2+k2(m+p2)2，由抛物线定义可知，|FA|x1+p2，|FB|=x2+p2，故|FA|FB|（x1+p2）（x2+p2）x1x2+p2(x1+x2)+p24=（m+p2)2+p2k22+p2k2，由|FA|FB|FD|2，得(m+p2)2+p2k2=p2+k2(m+p2)2，即（k2-1)(m+p2)2+p2k2=0(m+p2)2+p2k20，因为(m+p2)20，p2k20，故k21，解得k1

42、22（12分）已知函数f（x）xlnxax3x，aR（1）若f（x）存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若x1，x2（x1x2）是f（x）的两个不同极值点，证明：3lnx1+lnx21【解答】解：（1）由题意f（x）lnx3ax0在x0时有解，即3alnxx2，令g（x）=lnxx2，则g(x)=1-2lnxx3，当0xe时，g（x）0，g（x）单调递增，当xe时，g（x）0，g（x）单调递减，当x=e时，g（x）maxg（e）=12e，所以3a12e，所以a16e，故a的取值范围为a|a16e；（2）由题意的，x1，x2是f（x）lnx3ax20的两根，即lnx1-3ax12=0lnx2-3ax22=0，联立，得3a=lnx1-lnx2x12-x22，要证3lnx1+lnx21，由代入即证9ax12+3ax221，由代入得，lnx1-lnx2x12-x22（3x12+x22）1，因为x1x2，等价于lnx1x2x12-x223x12+x22=(x1x2)2-13(x1x2)2+1，令t