2022年北京航空航天实验学校高考数学统练试卷（3月份）（学生版+解析版）.docx

1、2022年北京航空航天实验学校高考数学统练试卷（3月份）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个远项中，远出付首题目要求的一项。1（4分）在等差数列an中，若a11，a2+a410，则a20（）A35B37C39D412（4分）在(x-ax)6的展开式中，x4的系数为12，则a的值为（）A2B2C1D13（4分）若函数f（x）=-x2，x02x，x0，则函数f（x）的值域为（）A0，1）B（，0C（，0）（0，1）D（，1）4（4分）下列函数中，同时满足对于定义域内的任意x，都有f（x）f（x）；存在区间D，f（x）在区间D上单调递减的函数是（）AysinxByx3Cy=

2、1x2+1Dylnx5（4分）设a0，b0若3是3a与3b的等比中项，则1a+3b的最小值为（）A43B4+3C4+23D86（4分）已知an是等比数列，Sn为其前n项和，那么“a10”是“数列Sn为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知函数f(x)=sinx-3cosx，若f（x1）+f（x2）0，函数f（x）在（x1，x2）上单调，则|x1+x2|的最小值为（）A2BC23D538（4分）已知非零向量a，b，c共面，那么“存在实数，使得a=c”是“（ab）c=a（bc）成立”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要

3、条件D既不充分也不必要条件9（4分）在平面直角坐标系中，A，B是直线x+ym上的两点，且|AB|10若对于任意点P（cos，sin）（02），存在A，B使APB90成立，则m的最大值为（）A22B4C42D810（4分）已知点M在圆C1：（x1）2+（y1）21上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）21上，则下列说法错误的是（）AOMON的取值范围为-3-22，0B|OM+ON|取值范围为0，22C|OM-ON|的取值范围为22-2，22+2D若OM=ON，则实数的取值范围为-3-22，-3+22二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11（4分）在复平面内，复数zi（a+i）对应的点在

4、直线x+y0上，则实数a 12（4分）已知椭圆C1：x24+y2=1和双曲线C2：x2m2-y2=1(m0)经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|BP|，则椭圆C1的离心率e1 ，双曲线C2的离心率e2 13（4分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，那么ABAF= ；若AD=xAB+yAF，则x+y 14（4分）函数f(x)=sin(2x+3)的最小正周期T ，将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象若函数yf（x）g（x）的最大值为2，则的值可以为 15（4分）已知函数f(x)=ax+1，x0|lnx|，x0，给出下列三

5、个结论：当a2时，函数f（x）的单调递减区间为（，1）；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）；若a1且a0，则bR，使得函数yf（x）b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（10分）在ABC中，a5，b2bc+c225（）求A的大小；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的面积条件：b7；条件：sinB=33；条件：AC边上的高BE=9217（10分）已知三棱锥PABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为

6、边长为2的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：（）证明：平面PAC平面ABC；（）求二面角APCB的余弦值；（）若点M在棱PC上，满足CMCP=，13，23，点N在棱BP上，且BMAN，求BNBP的取值范围18（10分）设函数f（x）alnx+1x，aR（1）设l是yf（x）图象的一条切线，求证：当a0时，l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（2）若函数g（x）f（x）x在定义域上单调递减，求a的取值范围；（3）当a0时，直接写出函数f（x）alnx+1x零点的个数19（10分）已知椭圆C：x24+y23=1（）求椭圆C的离心率和长轴长（）已知直线ykx2与椭圆C有两个

7、不同的交点A，B，P为x轴上一点是否存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由2022年北京航空航天实验学校高考数学统练试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个远项中，远出付首题目要求的一项。1（4分）在等差数列an中，若a11，a2+a410，则a20（）A35B37C39D41【解答】解：等差数列an中，a11，a2+a42a1+4d10，所以d2，则a20a1+19d1+3839故选：C2（4分）在(x-ax)6的展开式中，x4的系数为12，则a的值为（）A2B2C1D

8、1【解答】解：由题设可得：(x-ax)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6r（-ax）r=C6r（a）rx62r（r0，1，6），令62r4，可得r1，由x4的系数为12，可得12=C61（a）6a，解得a2，故选：B3（4分）若函数f（x）=-x2，x02x，x0，则函数f（x）的值域为（）A0，1）B（，0C（，0）（0，1）D（，1）【解答】解：x0时，x20；x0时，02x1，f（x）的值域为：（，1）故选：D4（4分）下列函数中，同时满足对于定义域内的任意x，都有f（x）f（x）；存在区间D，f（x）在区间D上单调递减的函数是（）AysinxByx3Cy=1x2+1Dylnx【

9、解答】解：对于A，ysinx为奇函数，满足，且在区间（2，）上单调递减，满足，故A符合题意；对于B，yx3为奇函数，满足，但在R上单调递增，不满足，故B不符合题意；对于C，y=1x2+1为偶函数，不满足，故C不符合题意；对于D，ylnx为非奇非偶函数，不满足，故D不符合题意故选：A5（4分）设a0，b0若3是3a与3b的等比中项，则1a+3b的最小值为（）A43B4+3C4+23D8【解答】解：3是3a与3b的等比中项，3a3b（3）2，a+b1a0，b0，1a+3b=（a+b）（1a+3b）4+ba+3ab4+2ba3ab=4+23，当且仅当b=3a时取等号1a+3b的最小值为4+23故选：

10、C6（4分）已知an是等比数列，Sn为其前n项和，那么“a10”是“数列Sn为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当a10时，若q0，因为若an0则an+10，即SnSn+1，显然Sn不是递增函数；若数列Sn为递增数列，则SnSn10，Sn+1Sn0，即an0，an+10，所以q=an+1an0，而a1=anqn-10，所以“a10”是“数列Sn为递增数列”的必要不充分条件故选：B7（4分）已知函数f(x)=sinx-3cosx，若f（x1）+f（x2）0，函数f（x）在（x1，x2）上单调，则|x1+x2|的最小值为（）A2BC

11、23D53【解答】解：f(x)=sinx-3cosx=2sin（x-3），设A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），因为f（x）在（x1，x2）上具有单调性，且f（x1）+f（x2）0，则线段AB的中点为函数f（x）的对称中心，即有x1+x22=k+3，kZ，所x1+x22k+23，易知最小值在k0时取得，此时|x1+x2|的最小值为23，故选：C8（4分）已知非零向量a，b，c共面，那么“存在实数，使得a=c”是“（ab）c=a（bc）成立”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由非零向量a，b，c共面且a=c，可得（ab）c=（cb）

12、c=c（cb）=a（bc），当ab且bc时满足（ab）c=a（bc）=0成立，又因为非零向量a，b，c共面，所以一定存在实数，使得a=c当b与c不垂直时，bc0，因为（ab）c=a（bc），所以a=abbcc，令abbc=，所以一定存在实数，使得a=c“存在实数，使得a=c”是“（ab）c=a（bc）成立”的充分必要条件故选：C9（4分）在平面直角坐标系中，A，B是直线x+ym上的两点，且|AB|10若对于任意点P（cos，sin）（02），存在A，B使APB90成立，则m的最大值为（）A22B4C42D8【解答】解：由已知可得点P（cos，sin）（02）在单位圆O：x2+y21上，因为AP

13、B90，所以点P在以AB为直径的圆上，因为|AB|10所以半径为5，所以点P到AB中点C的距离为5，所以圆O上任意点P，总能找到一点C，使|CP|5，且点C在直线x+ym上，当x0时，ym，所以m为直线x+ym在y轴上的截距，m最大，即直线x+ym的截距最大，直线越往上，因为对于任意点P（cos，sin）（02），存在A，B使APB90成立，所以圆O上的点到直线x+ym的最大距离不能超过5，而圆O上的点到直线x+ym的最大距离为圆心O到直线x+ym的距离d加圆O的半径1，即d+15，d4，所以|m|24，所以m42，所以m的最大值为42故选：C10（4分）已知点M在圆C1：（x1）2+（y1）

14、21上，点N在圆C2：（x+1）2+（y+1）21上，则下列说法错误的是（）AOMON的取值范围为-3-22，0B|OM+ON|取值范围为0，22C|OM-ON|的取值范围为22-2，22+2D若OM=ON，则实数的取值范围为-3-22，-3+22【解答】解：M在圆C1上，点N在圆C2上，MON90，OMON0，又OM2+1，ON2+1，当OM=2+1，ON=2+1时，OMON取得最小值（2+1）2cos322，故A正确；设M（1+cos，1+sin），N（1+cos，1+sin），则OM+ON=（cos+cos，sin+sin），|OM+ON|22coscos+2sinsin+22cos（）

15、+2，0|OM+ON|2，故B错误；两圆外离，半径均为1，|C1C2|22，22-2|MN|22+2，即22-2|OM-ON|22+2，故C正确；2-1|OM|2+1，2-1|ON|2+1，当OM=ON时，2-12+1-2+12-1，解得3223+22，故D正确故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11（4分）在复平面内，复数zi（a+i）对应的点在直线x+y0上，则实数a1【解答】解：在复平面内，复数zi（a+i）1+ai对应的点（1，a）在直线x+y0上，1+a0，解得a1故答案为：112（4分）已知椭圆C1：x24+y2=1和双曲线C2：x2m2-y2=1(m0)经过C1的左

16、顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|BP|，则椭圆C1的离心率e132，双曲线C2的离心率e22【解答】解：椭圆中a2，b1，所以c=3，离心率e1=32，A（2，0），B（0，1），直线AB的方程为：y=12x+1因为|AB|BP|，所以B为AP的中点，设P（x，y），则x-22=00+y2=1，解得x=2y=2，即P（2，2），双曲线的渐近线方程为y=1mx，点P在渐近线上，所以2=2m，得m1，双曲线中a1，b1，c=2，即双曲线的离心率e2=2，故答案为：32，213（4分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，那么ABAF=-12；若AD=xAB+yAF

17、，则x+y4【解答】解：如图，BAF120，ABAF1，ABAF=|AB|AF|cos120=-12，又AD=2(AB+AF)=2AB+2AF=xAB+yAF，根据平面向量基本定理，x2，y2，x+y4故答案为：-12，414（4分）函数f(x)=sin(2x+3)的最小正周期T，将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象若函数yf（x）g（x）的最大值为2，则的值可以为2【解答】解：函数f(x)=sin(2x+3)的最小正周期T=22=，将函数f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到函数g（x）sin（2x+2+3）的图象若函数yf（x）g（x）sin（2x+3

18、）sin（2x+2+3）的最大值为2，则当 sin（2x+3）1时，sin（2x+2+3）1，则 2（2k1），kZ令k1，可得=2，故答案为：；215（4分）已知函数f(x)=ax+1，x0|lnx|，x0，给出下列三个结论：当a2时，函数f（x）的单调递减区间为（，1）；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）；若a1且a0，则bR，使得函数yf（x）b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正确结论的序号是【解答】解：对于，当a2时，函数yax+1在（，0单调递减，y|lnx|在（0，1）上单调递减，但是函数f（x）在（，1）不单调递减因此错误；对于，因为y|l

19、nx|0，当a0时，x0，y1，此时函数的最小值为0；当a0时，yax+1在（，0上单调递增，没有最小值，且x是，y；当a0时，yax+1在（，0上单调递减，最小值为1，所以函数f（x）的最小值为0；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+），正确；对于，令f（x）b0，即当x0时，ax+1b；当x0时，|lnx|b；不妨设x10x2x3，若函数有三个零点，则x1=b-1a0，x2eb，x3eb，则x2x31令x1=b-1a=-1，可得b1aa0时，b1a0，则三个零点x1x2x310a1时，1b1a0，则三个零点x1x2x31综上可得：正确故答案为：三、解答题共4小题，共40分。解答

20、应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（10分）在ABC中，a5，b2bc+c225（）求A的大小；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的面积条件：b7；条件：sinB=33；条件：AC边上的高BE=92【解答】解：（）因为a5，b2bc+c225，所以b2+c2bca2，所以b2+c2a2bc，由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，因为A（0，），所以A=3（）若选，b7，则727c+c225，即c27c+240，因为（7）2424470，所以方程无解，不符合题意；若选，sinB=33，由正弦定理可知asinA=

21、bsinB，即532=b33，解得b=103，所以（103）2-103c+c225，即9c230c1250，解得c=10+1066，或10-1066（舍去），所以SABC=12bcsinA=1210+106610332=253+75218；若选，AC边上的高BH=92，在RtABH中sinA=BHAB，所以AB=BHsinA=9232=33，即c33，所以b233b+2725，即b233b+20，解得b=33+192，或33-192，所以ABC存在两解，不符合题意17（10分）已知三棱锥PABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为2的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在

22、三棱锥PABC中：（）证明：平面PAC平面ABC；（）求二面角APCB的余弦值；（）若点M在棱PC上，满足CMCP=，13，23，点N在棱BP上，且BMAN，求BNBP的取值范围【解答】（本题满分14分）证明：（）证法一：设AC的中点为O，连接BO，PO由题意PA=PB=PC=2，PO1，AOBOCO1因为 在PAC中，PAPC，O为AC的中点所以 POAC，因为 在POB中，PO1，OB1，PB=2所以 POOB因为 ACOBO，AC，OB平面ABC所以 PO平面ABC因为 PO平面PAC（4分）所以 平面PAC平面ABC证法二：设AC的中点为O，连接BO，PO因为 在PAC中，PAPC，O

23、为AC的中点，所以 POAC，因为 PAPBPC，POPOPO，AOBOCO所以POAPOBPOC所以POAPOBPOC90所以 POOB因为 ACOBO，AC，OB平面ABC所以 PO平面ABC因为 PO平面PAC（4分）所以 平面PAC平面ABC证法三：设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC中，PAPC，所以 POAC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB因为 在OAB中，OAOB，Q为AB的中点所以 OQAB因为 在PAB中，PAPB，Q为AB的中点所以 PQAB因为 PQOQQ，PQ，OQ平面OPQ所以 AB平面OPQ因为 OP平面OPQ所以 OPAB因为 ABACA，AB，AC平面A

24、BC所以 PO平面ABC因为 PO平面PAC（4分）所以 平面PAC平面ABC解：（）由PO平面ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1）由OB平面APC，故平面APC的法向量为OB=(0，1，0)由BC=(1，-1，0)，PC=(1，0，-1)设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则由nBC=0nPC=0得：x-y=0x-z=0令x1，得y1，z1，即n=(1，1，1)cosn，OB=nOB|n|OB|=131=33由二面角APCB是锐二面角，所以二面角APCB的余弦值为33（9分）（）设BN=BP

25、，01，BM=BC+CM=BC+CP=(1，-1，0)+(-1，0，1)=(1-，-1，)，AN=AB+BN=AB+BP=(1，1，0)+(0，-1，1)=(1，1-，)，令BMAN=0得（1）1+（1）（1）+0即=1+=1-11+，是关于的单调递增函数，当13，23时，14，25，所以BNBP14，25（14分）18（10分）设函数f（x）alnx+1x，aR（1）设l是yf（x）图象的一条切线，求证：当a0时，l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（2）若函数g（x）f（x）x在定义域上单调递减，求a的取值范围；（3）当a0时，直接写出函数f（x）alnx+1x零点的个数【解答】证明：

26、（1）当a0时，f(x)=1x，x0，f(x)=-1x2，设f（x）图象上任意一点P(x0，1x0)，切线l斜率为k=f(x0)=-1x02，过点P(x0，1x0)的切线方程为y-1x02=-1x02(x-x0)，令x0，解得y=2x0，令y0，解得x2x0，切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12|2x0|2x0|=2，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；解：（2）由题意，函数g（x）的定义域为（0，+），g（x）在（0，+）上单调递减，g(x)=ax-1x2-10在（0，+）上恒成立，即当x(0，+)，ax+1x恒成立，a(x+1x)min当x(0，+)，x+1x2，当且仅当x1时取等号，

27、当x1时，(x+1x)min=2，a2，a的取值范围为（，2（3）0ae时，f（x）零点个数为0；ae，f（x）零点个数为1；ae时，f（x）零点个数为2，显然x1不是f（x）的零点，f(x)=0alnx+1x=0a=-1xlnx，令h(x)=-1xlnx，x0 且x1，则h(x)=1+lnx(xlnx)2，h(x)0x(1e，1)(1，+)，h(x)0x(0，1e)，h（x）在(0，1e)单调递减，在(1e，1)，(1，+)单调递增，在（0，1）时，h（x）有极小值h(1e)=e；在（1，+）时，h（x）0，h（x）如图：所以0ae时，零点个数为0；ae，零点个数为1；ae时，零点个数为21

28、9（10分）已知椭圆C：x24+y23=1（）求椭圆C的离心率和长轴长（）已知直线ykx2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点是否存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（）椭圆C：x24+y23=1可得a2，c1，故离心率为12，长轴长为4；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程有y=kx-2x24+y23=1，消去y并整理可得，（3+4k2）x216kx+40，由韦达定理有，x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，y1+y2=k(x1+x2)-4=-123+4k2，

29、y1y2=(kx1-2)(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=12-12k23+4k2，设线段AB的中点为Q，则由中点坐标公式有Q(8k3+4k2，-63+4k2)，直线AB的垂直平分线方程为y+63+4k2=-1k(x-8k3+4k2)，令y0，得x=2k3+4k2，假设存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则P(2k3+4k2，0)，且PAPB=0，又PA=(x1-2k3+4k2，y1)，PB=(x2-2k3+4k2，y2)，PAPB=x1x2-2k3+4k2(x1+x2)+4k2(3+4k2)2+y1y2=43+4k2-32k2(3+4k2)2+4k2(3+4k2)2+12-12k23+4k2=-48k4+48(3+4k2)2=0，k41，解得k1，当k1时，P(27，0)，当k1时，P(-27，0)综上，存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，且当k1时，P(27，0)，当k1时，P(-27，0)