2022年广东省茂名市高考数学第一次综合测试试卷（一模）（学生版+解析版）.docx

1、2022年广东省茂名市高考数学第一次综合测试试卷（一模）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|1x3，B1，0，2，3，则AB（）A1，0，2，3B0，3C0，2D0，2，32（5分）已知a，b为实数，且2+bi1+i=a+i（i为虚数单位），则a+bi（）A3+4iB1+2iC32iD3+2i3（5分）下面四个命题中，其中正确的命题是（）p1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；p2：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直；p3：一条直线

2、与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；p4：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行Ap1与p2Bp2与p3Cp3与p4Dp1与p34（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x+y+30平行，则sin-cossin+cos的值为（）A2B-14C2D35（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是（）A若S34，S612，则S929B若a11，q=34，则Sn43anC若a4+a72，a5a68则a1+a106D若a11，a54a3，则an2n16（5分）已知x，y，z均为大于0的实数，且2

3、x3ylog5z，则x，y，z大小关系正确的是（）AxyzBxzyCzxyDzyx7（5分）过三点A（0，0），B（0，2），C（2，0）的圆M与直线l：kxy+22k0的位置关系是（）A相交B相切C相交或相切D相切或相离8（5分）已知f（x）sinx，g（x）ln|x|+（ex）2，则f（x）g（x）0的解集是（）Ax|-1ex0或1ex或2nx（2n+1），nZ，且n0Bx|x-1e或1ex或2nx（2n+1），nZ，且n0Cx|-1ex0或0x1e或2nx（2n+1），nZ，且n0Dx|-1ex0或1ex或（2n1）x2n，nZ，且n0二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每

4、小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，则应从B校中抽取的样本数量为80B6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4x+a，且由样本数据算得x=4，y=3.7，则a=2.1D箱子中有4个红球、2个

5、白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M第一次取到红球，N第二次取到白球，则M、N为相互独立事件（多选）10（5分）如图所示，圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是（）AA1C1E面积的最小值为22B圆柱OO1的侧面积为82C异面直线AD1与C1D所成的角为60D四面体A1BC1D的外接球的表面积为12（多选）11（5分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（）A点P的坐标为（4，4）B|

6、QF|=54CSOPQ=103D过点M（x0，1）作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为：x0x2y+20（多选）12（5分）已知点A是圆C：（x+1）2+y21上的动点，O为坐标原点，OAAB，且|OA|=|AB|，O，A，B三点顺时针排列，下列选项正确的是（）A点B的轨迹方程为（x1）2+（y1）22B|CB|的最大距离为1+2CCACB的最大值为2+1DCACB的最大值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知双曲线C的方程为x24-y2=1，则其离心率为 14（5分）函数f(x)=3sin2x+2cos2x在区间-6，6上的最大

7、值为 15（5分）已知函数f(x)=|log2x|，0x2-x+3，x2，若x1，x2，x3均不相等，且f（x1）f（x2）f（x3），则x1x2x3的取值范围是 16（5分）如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D，E，F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G，H，I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案如图阴影部分，设三角形ADF面积为S1，后续各阴影三角形面积依次为S2，S3，Sn，则S1 ，数列Sn的前n项和Tn 四、解答题：共70分.解答应写出文

8、字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处，小岛B北偏东15距离303-30海里处有一个小岛C（1）求小岛A到小岛C的距离；（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向18（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AE=12CD（1）证明：PCAD；（2）若三角形AED为等边三角形，PAAD6，F为PB上一点，且PF=13PB，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值19（12分）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓

9、球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣（1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计（2）为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2：0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2：1取胜的同学积2分，负的同学积1分其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为p=23

10、，记小强同学所得积分为X，求X的分布列和期望附表P（K2k0）0.500.400.250.1500.1000.050k00.4550.7801.3232.0722.7063.84120（12分）已知数列an，bn满足bn+1=an+4bn5，an+1=5an+bn+16，且a12，b11（1）求a2，b2的值，并证明数列anbn是等比数列；（2）求数列an，bn的通项公式21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F1（1，0），且过点（1，32）（1）求椭圆C的方程；（2）过F1且互相垂直的两条直线l1，l2分别交椭圆C于A、B两点和M、N两点，求|AB|+|MN|的

11、取值范围22（12分）已知函数f（x）exax3（1）若x（0，+），f（x）0恒成立，求a的取值范围；（2）证明：当a=23时，f（x）0；（3）证明：当nN*时，1e+2e2+3e3+nen32022年广东省茂名市高考数学第一次综合测试试卷（一模）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|1x3，B1，0，2，3，则AB（）A1，0，2，3B0，3C0，2D0，2，3【解答】解：集合Ax|1x3，B1，0，2，3，AB0，2，3故选：D2（5分）已知a，b为实数，且2+bi1+i=a+i

12、（i为虚数单位），则a+bi（）A3+4iB1+2iC32iD3+2i【解答】解：2+bi1+i=(2+bi)(1-i)(1+i)(1-i)=b+22+b-22i=a+i，则b+22=ab-22=1，解得a=3b=4，故a+bi3+4i故选：A3（5分）下面四个命题中，其中正确的命题是（）p1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；p2：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直；p3：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；p4：一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行Ap

13、1与p2Bp2与p3Cp3与p4Dp1与p3【解答】解：p1：由两个平面平行的性质定理得：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，故p1是真命题；p2：由面面垂直的性质定理得：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，当这条直线不在这两个平面内时，p2错误；p3：由线面平行的性质定理得：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，故p3正确；p4：由线面平行的判定定理得：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，故这条直线在平面内就错了，故p2错误故选：D4（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边

14、与直线2x+y+30平行，则sin-cossin+cos的值为（）A2B-14C2D3【解答】解：因为角的终边与直线2x+y+30平行，即角的终边在直线y2x上，所以tan2，则sin-cossin+cos=tan-1tan+1=-2-1-2+1=3故选：D5（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是（）A若S34，S612，则S929B若a11，q=34，则Sn43anC若a4+a72，a5a68则a1+a106D若a11，a54a3，则an2n1【解答】解：A：数列an为等比数列，S3，S6S3，S9S6成等比数列，即4，8，S912成等比数列，（S912）46

15、4，S928，A错误，B：数列an为等比数列，a11，q=34，则Sn=a1-anq1-q=43an，B正确，C：数列an为等比数列，a5a68，a4a78，又a4+a72，a44，a72或a42，a74，当a44，a72时，q3=-12，则a18，a101，a1+a107，当a42，a74时，q32，则a11，a108，a1+a107，C错误，D：数列an为等比数列，a11，a54a3，q24，q2，an（2）n1，D错误，故选：B6（5分）已知x，y，z均为大于0的实数，且2x3ylog5z，则x，y，z大小关系正确的是（）AxyzBxzyCzxyDzyx【解答】解：x，y，z均为大于0的

16、实数，2x3ylog5z1，z5，x5，y5，设2x3yk（k1），则xlog2k，ylog3k，xylog2klog3k=lgklg2-lgklg3=lgk(lg3-lg2)lg3lg20，xy，zxy，故选：C7（5分）过三点A（0，0），B（0，2），C（2，0）的圆M与直线l：kxy+22k0的位置关系是（）A相交B相切C相交或相切D相切或相离【解答】解：设过三点A（0，0），B（0，2），C（2，0）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则F=04+2E+F=04+2D+F=0，解得D=-2E=-2F=0，圆的方程为x2+y22x2y0，直线l：kxy+22k0过定点（2，2），

17、又22+2222220，点（2，2）在圆上，圆M与直线l：kxy+22k0的位置关系是相切与相交故选：C8（5分）已知f（x）sinx，g（x）ln|x|+（ex）2，则f（x）g（x）0的解集是（）Ax|-1ex0或1ex或2nx（2n+1），nZ，且n0Bx|x-1e或1ex或2nx（2n+1），nZ，且n0Cx|-1ex0或0x1e或2nx（2n+1），nZ，且n0Dx|-1ex0或1ex或（2n1）x2n，nZ，且n0【解答】解：g（x）ln|x|+（ex）2是偶函数，当x0时，g（x）lnx+（ex）2，g（x）=1x+2e2x0在x0恒成立，g（x）在（0，+）单调递增，且g（1e

18、）0，当x（，-1e）（1e，+）时，g（x）0，当x（-1e，0）（0，1e）时，g（x）0，当x（2n，2n+），nZ时，f（x）0，当x（2n+，2n+2），nZ时，f（x）0，不等式f（x）g（x）0等价于f(x)0g(x)0或f(x)0g(x)0，不等式f（x）g（x）0的解集为：x|-1ex0或1ex或2nx（2n+1），nZ，且n0故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）下列说法正确的是（）A为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动

19、的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，则应从B校中抽取的样本数量为80B6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是y=0.4x+a，且由样本数据算得x=4，y=3.7，则a=2.1D箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M第一次取到红球，N第二次取到白球，则M、N为相互独立事件【解答】解：对于选项A，采用分层抽样的方法从该地区A、B、C、D四个学校中抽取一个容量

20、为400的样本进行调查，A、B、C、D四校人数之比为7：4：3：6，故应从B校中抽取的样本数量为40047+4+3+6=80，故正确；对于选项B，至少取到1件次品的概率为22+412162=35=0.6，故正确；对于选项C，线性回归方程是y=0.4x+a，且x=4，y=3.7，a=3.70.442.1，故正确；对于选项D，M、N不是相互独立事件，故错误；故选：ABC（多选）10（5分）如图所示，圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是（）AA1C1E面积的最小值为22B圆柱OO1的侧面积为82C异面直

21、线AD1与C1D所成的角为60D四面体A1BC1D的外接球的表面积为12【解答】解：对于选项A，因为A1C1与BD垂直，则当点E为点O时，A1C1E面积取最小值，且最小值为12222=22，即选项A正确；对于选项B，由题意有圆柱的底面半径为2，高为2，则圆柱OO1的侧面积为222=42，即选项B错误；对于选项C，因为C1BAD1，则异面直线AD1与C1D所成的角的平面角为DC1B，又DC1B为正三角形，即异面直线AD1与C1D所成的角为60，即选项C正确；对于选项D，正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线长为23，则四面体A1BC1D的外接球的直径为23，则四面体A1BC1D的外接球的表面积

22、为12，即选项D正确，故选：ACD（多选）11（5分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（）A点P的坐标为（4，4）B|QF|=54CSOPQ=103D过点M（x0，1）作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为：x0x2y+20【解答】解：对于A，|PF|5，由抛物线的定义可得，yp+15，解得yp4，xp2=4yp=16，且P是抛物线C上第一象限的点，故点P的坐标为（4，4），故A正确，对于B，lPF 的直线方程为：y=34x+1，联立y=34x+1x2=4y，

23、解得Q（1，14），由两点之间的距离公式可得，|QF|=54，故B正确，对于C，SOPQ=12|OF|xp-xQ|=1215=52，故C错误，对于D，设A（x1，y1），B（x2，y2），y=14x2，y=12x，MA切线方程为y-y1=x12(x-x1)，即y-y1=x12x-x122，x12=4y1，y=x12x-y1，把点M（x0，1）代入y=x12x-y1得，x0x12y1+20，同理x0x22y2+20，即A（x1，y1），B（x2，y2）两点满足方程x0x2y+20，所以AB的方程为：x0x2y+20，故D正确故选：ABD（多选）12（5分）已知点A是圆C：（x+1）2+y21上的

24、动点，O为坐标原点，OAAB，且|OA|=|AB|，O，A，B三点顺时针排列，下列选项正确的是（）A点B的轨迹方程为（x1）2+（y1）22B|CB|的最大距离为1+2CCACB的最大值为2+1DCACB的最大值为2【解答】解：如图，过O点作ODAB，且ODAB，则点C（1，0），设点A（x0，y0），设xOA，则xOD-2，设|OA|a，所以x0acos，y0asin，所以，xDacos（-2）asiny0，yDasin（-2）acosx0，即点D（y0，x0），因为OB=OA+OD=（x0+y0，y0x0），设点B（x，y），可得x=x0+y0y=y0-x0，解得x0=x-y2y0=x+y

25、2，因为点A在圆（x+1）2+y21上，所以（x0+l）2+y02l，将x0=x-y2y0=x+y2代人方程（x0+l）2+y02l可得（x-y2+l）2+（x+y2）2l，整理可得（x+l）2+（y1）22，所以A是错的；所以CB的最大距离为1+2，B是对的；设CAO，090，CACB=CA（CA+AB）=CA2+CAAB=1+|CA|AB|cos（90）1+|OA|sin1+2cossin1+sin22，所以CACB的最大值为2，故C是错的，D是对的故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知双曲线C的方程为x24-y2=1，则其离心率为52【解答】解：双曲

26、线C的方程为x24-y2=1，可得a2，b1，则c=a2+b2=5所以双曲线的离心率为：e=52故答案为：5214（5分）函数f(x)=3sin2x+2cos2x在区间-6，6上的最大值为 3【解答】解：函数f(x)=3sin2x+2cos2x=3sin2x+cos2x+12sin（2x+6）+1，又x-6，6，所以2x+6-6，2，则当2x+6=2，即x=6时，函数f（x）取最大值3，故答案为：315（5分）已知函数f(x)=|log2x|，0x2-x+3，x2，若x1，x2，x3均不相等，且f（x1）f（x2）f（x3），则x1x2x3的取值范围是 （2，3）【解答】解：f（x）的大致图象

27、如图所示：不妨设x1x2x3，由图可得f（x1）f（x2）f（x3）（0，1），即|log2x1|log2x2|x3+3（0，1），所以log2x1log2x2，即log2x1+log2x20，所以log2x1x20，所以x1x21，由x3+3（0，1）得x3（2，3），所以x1x2x3（2，3）故答案为：（2，3）16（5分）如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D，E，F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G，H，I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图

28、案如图阴影部分，设三角形ADF面积为S1，后续各阴影三角形面积依次为S2，S3，Sn，则S1334，数列Sn的前n项和Tn4331（716）n【解答】解：设正三角形ABC的边长为a1，后续和正三角形的边长依次为a2，a3，an，由题意知a14，an=(14an-1)2+(34an-1)2-214an-134an-1cos60=74an1，anan-1=74，由于Sn=1234an14ansin60，Sn1=1234an114an1sin60，所以SnSn-1=（anan-1）2=716，S1=12344144sin60=334，于是数列Sn是以334为首项，716为公比的等比数列，Tn=334

29、1-(716)n1-716=4331（716）n，故答案为：334；4331（716）n四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处，小岛B北偏东15距离303-30海里处有一个小岛C（1）求小岛A到小岛C的距离；（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向【解答】解：（1）由题意知，AB60，BC=303-30，ABC（18075）+15120，在ABC中，由余弦定理知，AC2AB2+BC22ABBCcosABC602+（303-30）2260（303-30）（-12

30、）5400，所以AC=5400=306，故小岛A到小岛C的距离为306海里（2）由余弦定理知，AB2AC2+BC22ACBCcosACB，所以602（306）2+（303-30）22306（303-30）cosACB，所以cosACB=22，因为ACB（0，），所以ACB45，所以BAC180（ABC+ACB）180（120+45）15，由751560，知游船航行的方向是北偏东6018（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AE=12CD（1）证明：PCAD；（2）若三角形AED为等边三角形，PAAD6，F为PB上一点，且PF=13PB，

31、求直线EF与平面PAE所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：PA平面ABCD，AD平面ABCD，PAAD，AE=12CD，E为CD的中点，CAEECA，EADEDA，CAE+ECA+EAD+EDA，CAE+EAD=2，ACAD，PAACA，PA，AC平面PAC，ADPC（2）以A为坐标原点，分别以AC，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，三角形AED为等边三角形，PAAD6，F为PB上一点，且PF=13PB，CD12，AC63，A（0，0，0），B（63，6，0），C（63，0，0），D（0，6，0），P（0，0，6），FE=（3，5，-4），AP=（0，0，6），AE=（63，6，

32、0），设平面PAE的一个法向量为n=（x，y，z），则nAP=6z=0nAE=63x+6y=0，取x1，得n=（1，-3，0），设直线EF与平面PAE所成角为，则直线EF与平面PAE所成角的正弦值为：sin|cosFE，n|=|3-53|2211=331119（12分）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣（1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女

33、合计（2）为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2：0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2：1取胜的同学积2分，负的同学积1分其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为p=23，记小强同学所得积分为X，求X的分布列和期望附表P（K2k0）0.500.400.250.1500.1000.050k00.4550.7801.3232.0722.7063.841【解答】解：有兴趣没兴趣合计男 85 15 100女 80 20 100合计

34、165 35200K2=200(8520-8015)210010016535=2002310.866，故没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关；（2）由题意可知随机变量X的取值为0，1，2，3，P（X0）=1313=19；P（X1）C 21(23)1(1-23)2=427；P（X2）=C21(1-23)(23)2=827；P（X3）=(23)2=49；故X的分布列为： X 01 2 3 P 19 427 82749 E（X）019+1427+2827+349=562720（12分）已知数列an，bn满足bn+1=an+4bn5，an+1=5an+bn+16，且a12，b11（1

35、）求a2，b2的值，并证明数列anbn是等比数列；（2）求数列an，bn的通项公式【解答】（1）证明：a12，b11，b2=a1+4b15=2+415=65，a2=16(5a1+b2)=2815bn+1=an+4bn5，an+1=16(5an+bn+1)=26an+4bn30，an+1-bn+1=26an+4bn30-an+4bn5=23(an-bn)，anbn 是a1b11为首项，23为公比的等比数列（2）由（1）知anbn是a1b11为首项，23为公比的等比数列，an-bn=(23)n-1，an=bn+(23)n-1，bn+1=an+4bn5=15bn+(23)n-1+4bn，bn+1-b

36、n=15(23)n-1当n2时，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=1+15(23)0+(23)n-2=1+151-(23)n-11-23=85-35(23)n-1，当n1时，b11也适合上式；所以数列bn的通项公式为bn=85-35(23)n-1，数列an的通项公式为an=bn+(23)n-1=85+25(23)n-121（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点为F1（1，0），且过点（1，32）（1）求椭圆C的方程；（2）过F1且互相垂直的两条直线l1，l2分别交椭圆C于A、B两点和M、N两点，求|AB|+|MN|的取值范围【解答】解：（1

37、）由题意，c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a24，b23椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）当直线AB，MN有一条斜率不存在时，|AB|+|MN|4+37当AB斜率存在且不为0时，设方程为yk（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）联立y=k(x+1)x24+y23=1，消去y整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120x1+x2=-8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-8k23+4k2)2-44k2-123+4k2=12(1+k2)3+4k2把-1k代入上式，得|MN|=12(1+k2)4+

38、3k2，|AB|+|MN|=84(k2+1)2(4+3k2)(3+4k2)，设tk2+1（k0），t1，|AB|+|MN|=84-1t2+1t+12，t1，设g（t）=-1t2+1t+12=-(1t-12)2+494，t1，令m=1t，则m=1t（0，1），g（m）=-(m-12)2+494（0m1），12g（m）g（t）494，48784g(t)7，|AB|+|MN|487，7）综上所述，|AB|+|MN|的取值范围是487，722（12分）已知函数f（x）exax3（1）若x（0，+），f（x）0恒成立，求a的取值范围；（2）证明：当a=23时，f（x）0；（3）证明：当nN*时，1e+2

39、e2+3e3+nen3【解答】解：（1）x（0，+），f（x）0恒成立aexx3=g（x），g（x）=ex(x-3)x4，可得函数g（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增，函数g（x）在x3时取得极小值，g（3）=e327，a的取值范围是（，e327（2）证明：当a=23时，要证明f（x）0，即证明x3ex32，令h（x）=x3ex，x（0，+），h（x）=3x2-x3ex=-x2(x-3)ex，可得：x（0，3）时，h（x）0，此时函数h（x）单调递增；x（3，+）时，h（x）0，此时函数h（x）单调递减x3时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（3）=27e3，e318，h（3）=27e32718=32，因此x3ex32，结论成立（3）证明：由（2）可得：xex32x23x(x+1)=3（1x-1x+1），令xn，当nN*时，1e+2e2+3e3+nen3（1-12）+（12-13）+（1n-1n+1）3（1-1n+1）3，当nN*时，1e+2e2+3e3+nen3