第二篇-图论习题课件.ppt
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- 第二 习题 课件
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1、习题课习题课1 1例例1 1 设设d=(d1,d2,d=(d1,d2,dn),dn),其中其中didi为非负整数,为非负整数,i=1,2,i=1,2,n,n。若存在。若存在n n个顶点的个顶点的( (简单简单) )无向图无向图, ,使得顶使得顶点点vivi的度为的度为didi,则称,则称d d是可图解的。下面给出的各序列是可图解的。下面给出的各序列中哪些是可图解的?哪些不是,为什么?中哪些是可图解的?哪些不是,为什么?(1 1)()(1,1,1,2,31,1,1,2,3);); (6 6)()(1,3,3,31,3,3,3););(2 2)()(0,1,1,2,3,30,1,1,2,3,3);
2、();(7 7)()(2,3,3,4,5,62,3,3,4,5,6););(3 3)()(3,3,3,33,3,3,3);); (8 8)()(1,3,3,4,5,6,61,3,3,4,5,6,6););(4 4)()(2,3,3,4,4,52,3,3,4,4,5);();(9 9)()(2,2,42,2,4););(5 5)()(2,3,4,4,52,3,4,4,5);); (1010)(1,2,2,3,4,5(1,2,2,3,4,5)。)。例例2 2 画出具有画出具有 6 6、8 8、1010、2n2n个顶点的三次图;个顶点的三次图; 是否有是否有7 7个顶点的三次图?个顶点的三次图?例例
3、3 3 无向图有无向图有2121条边,条边,1212个个3 3度数顶点,其余顶点的度数顶点,其余顶点的度数均为度数均为2 2,求的顶点数。,求的顶点数。 (p=15)(p=15) 例例4 4 下列各无向图中有几个顶点?下列各无向图中有几个顶点? (1) 16(1) 16条边,每个顶点的度为条边,每个顶点的度为2 2; (2) 21(2) 21条边,条边,3 3个个4 4度顶点,其余的都为度顶点,其余的都为3 3度数顶点;度数顶点; (3) 24(3) 24条边,各顶点的度数相同。条边,各顶点的度数相同。 (1. p=16; 2. p=13; 3. pk=48(1. p=16; 2. p=13;
4、 3. pk=48讨论讨论) )例例5 5 设图设图G G中有中有9 9个顶点,每个顶点的度不是个顶点,每个顶点的度不是5 5就是就是6 6。证明证明:G:G中至少有中至少有5 5个个6 6度顶点或至少有度顶点或至少有6 6个个5 5度顶点。度顶点。例例6 6 有有n n个药箱,若每两个药箱里有一种相同的药,个药箱,若每两个药箱里有一种相同的药,而每种药恰好放在两个药箱中,问药箱里共有多而每种药恰好放在两个药箱中,问药箱里共有多少种药?少种药?例例7 7 设设G G是有个是有个p p顶点,顶点,q q条边的无向图,各顶点的度条边的无向图,各顶点的度数均为数均为3 3。则。则 (1)(1)若若q
5、=3p-6,q=3p-6,证明证明:G:G在同构意义下唯一,并求在同构意义下唯一,并求p,qp,q。 (2)(2)若若p=6p=6,证明,证明:G:G在同构的意义下不唯一。在同构的意义下不唯一。例例8 8 已知已知p p阶阶( (简单简单) )无向图中有无向图中有q q条边,各顶点的度数条边,各顶点的度数 均为均为3 3,又,又2p=q+32p=q+3,试画出满足条件的所有不同,试画出满足条件的所有不同 构的构的G G。例例9 9 9 9个学生,每个学生向其他学生中的个学生,每个学生向其他学生中的3 3个学生各送个学生各送一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自一张贺年卡。确定能否使每个学
6、生收到的卡均来自其送过卡的相同人?为什么?其送过卡的相同人?为什么?解解: :否,不存在否,不存在9 9(奇数)个顶点的(奇数)个顶点的3 3正则图。正则图。习题课习题课 2 2例例1010 若若G G是一个恰有两个奇度顶点是一个恰有两个奇度顶点u u和和v v的无向图,则的无向图,则 (1 1)顶点)顶点u u与与v v连通;(连通;(2 2)G G连通连通G+uvG+uv连通。连通。例例1 1 设设G G为为p p阶简单无向图,阶简单无向图,p p2 2且且p p为奇数,为奇数,G G和和G G的的补图补图G GC C 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等?中度数为奇数的顶点的个数是否一定
7、相等?试证明你的结论。试证明你的结论。例例2 2 设设V=vV=v1 1,v,v2 2, ,v,vp p ,计算以,计算以V V为顶点集的无向图为顶点集的无向图的个数是多少?的个数是多少?(K(KP P有多少个生成子图有多少个生成子图) )例例3 3 设设V=vV=v1 1,v,v2 2, ,v,vp p,qp(p-1)/2,qp(p-1)/2,计算以,计算以V V为顶为顶点集具有点集具有q q条边的无向图的个数是多少?条边的无向图的个数是多少?例例4 4 设设G G是(是(p,qp,q)图,)图,rqrq,则具有,则具有r r条边的条边的G G的生成的生成子图有多少?子图有多少?答案:答案:
8、 2 2p(p-1)/2 p(p-1)/2 ,C Cq qp(p-1)/2p(p-1)/2 ,C Cr rq q。例例5 5 证明:若无向图证明:若无向图G G是不连通的,则是不连通的,则G G的补图的补图G GC C是连是连通的。(逆命题不成立)通的。(逆命题不成立)例例6 6 将无向完全图将无向完全图K K6 6的边随意地涂上红色或绿色的边随意地涂上红色或绿色, ,证明证明: :无论何种涂法无论何种涂法, ,总有红色的总有红色的K K3 3或绿色或绿色K K3 3。例例7 7 给无向完全图给无向完全图Kp(p7)Kp(p7)的各边随意地涂上红色或的各边随意地涂上红色或绿色,若已知从某点绿色
9、,若已知从某点v v0 0引出的引出的p-1p-1条边中至少有条边中至少有6 6条边条边涂红色,则涂红色,则KpKp存在红色的存在红色的K K4 4或绿色的或绿色的K K3 3。例例8 8 有有1717位学者,每位学者,每2 2位讨论位讨论3 3篇论文中的一篇且仅一篇论文中的一篇且仅一篇,证明:至少有篇,证明:至少有3 3位学者,他们相互讨论的是同一篇位学者,他们相互讨论的是同一篇论文。论文。习题习题3 3例例1 1 设设p p,q q为正整数,则为正整数,则(1 1)p p为何值时,无向完全图为何值时,无向完全图KpKp是欧拉图?是欧拉图?p p为何值为何值时时KpKp为半欧拉图?为半欧拉图
10、?(2 2)p,qp,q为何值时为何值时Kp,qKp,q为欧拉图?为欧拉图? (3 3)p,qp,q为何值时为何值时Kp,qKp,q为哈密顿图?为哈密顿图?(4 4)p p为何值时,轮图为何值时,轮图WpWp为欧拉图?为欧拉图?例例2 2 判断如图所示的图是否为哈密顿图,若是写出哈判断如图所示的图是否为哈密顿图,若是写出哈密顿圈,否则证明其不是哈密顿图。密顿圈,否则证明其不是哈密顿图。abcdefgjhiabcdefghij 例例3 3 给出一个给出一个1010个顶点的非哈密顿图的例子,使得每个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点一对不邻接的顶点u u和和v v,均有,均有degu+
11、degv9degu+degv9。例例4 4 证明:完全图证明:完全图K K9 9中至少存在彼此无公共边的两条中至少存在彼此无公共边的两条哈密顿回路和一条哈密顿路?哈密顿回路和一条哈密顿路?例例5 5 试求试求KpKp中不同的哈密顿圈的个数。中不同的哈密顿圈的个数。例例6 6(1) (1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图;用证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图;用此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 (2) (2) 完全偶图完全偶图K Km,nm,n为哈密顿图的充要条件是什么为哈密顿图的充要条件是什么?例例7 7 菱形菱形1212面体的表面上有无哈密顿回路?
12、面体的表面上有无哈密顿回路?例例8 8设设G=(V,E)G=(V,E)是连通图且顶点数为是连通图且顶点数为p,p,最小度数为最小度数为,若若p2p2, ,则则G G中有一长至少为中有一长至少为2 2的路。的路。例例9 9 证明:彼德森图不是哈密顿图。证明:彼德森图不是哈密顿图。例例1010 某工厂生产由某工厂生产由6 6种不同颜色的纱织成的双色布。种不同颜色的纱织成的双色布。双色布中,每一种颜色至少和其他双色布中,每一种颜色至少和其他3 3种颜色搭配。证种颜色搭配。证明明: :可以挑出可以挑出3 3种不同的双色布种不同的双色布, ,它们含有所有它们含有所有6 6种颜色。种颜色。与例与例8 8等
13、价的例题:等价的例题:例例1111 今要将今要将6 6个人分成个人分成3 3组(每组组(每组2 2个人)去完成个人)去完成3 3项项任务,已知每个人至少与其余任务,已知每个人至少与其余5 5个人中的个人中的3 3个人能相互个人能相互合作,问:合作,问: (1)(1)能否使得每组能否使得每组2 2个人都能相互合作?个人都能相互合作? (2)(2)你能给出集中方案?(两种)你能给出集中方案?(两种)例例1212 设设G=(V,E)G=(V,E)是是p(p3)p(p3)个顶点的简单无向图个顶点的简单无向图, ,设设G G中中最长路最长路L L的长度为的长度为l(l2)l(l2),起点与终点分别为,起
14、点与终点分别为u,vu,v,而且而且degu+degvpdegu+degvp。证明:。证明:G G中必有与中必有与L L不完全相同但不完全相同但长度也为长度也为L L的路。的路。例例1313 某公司来了某公司来了9 9名新雇员,工作时间不能互相交谈。名新雇员,工作时间不能互相交谈。为了尽快互相了解,他们决定利用每天吃午饭时间相为了尽快互相了解,他们决定利用每天吃午饭时间相互交谈。于是,每天在吃午饭时他们围在一张圆桌旁互交谈。于是,每天在吃午饭时他们围在一张圆桌旁坐下,他们是这样安排的,每一次每人的左、右邻均坐下,他们是这样安排的,每一次每人的左、右邻均与以前的人不同。问这样的安排法能坚持多久?
15、与以前的人不同。问这样的安排法能坚持多久?例例1414 已知已知a,b,c,d,e,f,g7a,b,c,d,e,f,g7个人中,个人中,a a会讲英语;会讲英语;b b会会讲英语和汉语;讲英语和汉语;c c会讲英语、意大利语和俄语;会讲英语、意大利语和俄语;d d会讲会讲汉语和日语;汉语和日语;e e会讲意大利语和德语;会讲意大利语和德语;f f会讲俄语、日会讲俄语、日语和法语;语和法语;g g会讲德语和法语。能否将他们的座位安会讲德语和法语。能否将他们的座位安排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?例例15 15 设设G G为为p p个顶点的简
16、单无向图。个顶点的简单无向图。 (1) (1) 若若G G的边数的边数q= (p-1)q= (p-1)(p-2)/2+2(p-2)/2+2,证明,证明G G为为哈密顿图。哈密顿图。 (2) (2) 若若G G的边数的边数q= (p-1)q= (p-1)(p-2)/2+1(p-2)/2+1,则,则G G是否是否一定为哈密顿图?一定为哈密顿图?例例16 16 如图所示的图如图所示的图G G是哈密顿图。试证明:若图中是哈密顿图。试证明:若图中的哈密顿回路中含边的哈密顿回路中含边e e1 1,则它一定同时也含,则它一定同时也含e e2 2。例例17 17 已知已知9 9个人个人v v1 1,v,v2
17、2, ,v,v9 9,其中,其中v v1 1和两个人握过手,和两个人握过手,v v2 2,v,v3 3,v,v4 4,v,v5 5各和各和3 3个人握过手,个人握过手,v v6 6和和4 4个人握过手,个人握过手,v v7 7,v,v8 8各和各和5 5个人握过手,个人握过手,v v9 9和和6 6个人握过手。证明个人握过手。证明: :这这9 9个人中一定可以找出个人中一定可以找出3 3个人互相握过手。个人互相握过手。例例1818某次会议有某次会议有2020人参加,其中每个人都至少有人参加,其中每个人都至少有1010个朋友,这个朋友,这2020人围一圆桌入席,要想使与每个人相人围一圆桌入席,要
18、想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能?根据什么?邻的两位都是朋友是否可能?根据什么?例例1919 设设G G是一个有是一个有p(p3)p(p3)个顶点的连通图。个顶点的连通图。u u和和v v是是G G的两个不邻接的顶点的两个不邻接的顶点, ,并且并且degu+degvpdegu+degvp 。证明:。证明:G G是哈密顿图是哈密顿图G+uvG+uv是是哈密顿图。哈密顿图。第六章第六章 树和割集树和割集( (习题课习题课1)1)例例1 1 若无向图若无向图G G中有个中有个p p顶点,顶点,p-1p-1条边,则条边,则G G为树。这为树。这个命题正确吗?为什么?个命题正确吗?为什么?例例2
19、2画出具有画出具有4 4、5 5、6 6、7 7个顶点的所有非同构的无向树。个顶点的所有非同构的无向树。例例3 3 设无向图设无向图G G是由是由K(K2)K(K2)棵树构成的森林,至少在棵树构成的森林,至少在G G中添加多少条边才能使中添加多少条边才能使G G成为一棵树?成为一棵树?例例4 4 设设T T是一棵树,是一棵树,T T有有3 3个度为个度为3 3顶点,顶点,1 1个个2 2度顶点,度顶点,其余均是其余均是1 1度顶点。则度顶点。则(1)(1)求求T T有几个有几个1 1度顶点?度顶点?(2)(2)画出满足上述要求的不同构的两棵树。画出满足上述要求的不同构的两棵树。例例5 5 设树
20、设树T T中有中有2n2n个度为个度为1 1的顶点,有的顶点,有3n3n个度为个度为2 2的顶点,的顶点,有有n n个度为个度为3 3的顶点,则这棵树的顶点,则这棵树T T有多少个顶点和多少条有多少个顶点和多少条边?边?例例6 6设设T T是一棵树且是一棵树且(T)(T)k k ,证明,证明:T:T中至少有中至少有k k个度个度为为1 1的顶点。的顶点。例例7 7证明证明: :恰有两个顶点度数为恰有两个顶点度数为1 1的树必为一条通路。的树必为一条通路。 例例8 8(1)(1)一棵无向树有一棵无向树有nini个度数为个度数为i i的顶点的顶点,i=1,2,i=1,2,k,k。n2,n3,n2,
21、n3,.nk.nk均为已知数,问均为已知数,问n1n1应为多少?应为多少?(2)(2)在在(1)(1)中,若中,若nr(3nr(3r rk)k)未知,未知,nj(jnj(jr)r)均为已知均为已知数,问数,问nrnr应为多少?应为多少?例例9 9 设无向图设无向图G G中有中有p p个顶点,个顶点,q-1q-1条边,则条边,则G G为连通图为连通图当且仅当当且仅当G G中无回路。中无回路。 例例1010设设G G是一个是一个(p,q)(p,q)图图, ,证明证明: :若若q qp,p,则则G G中必有圈。中必有圈。例例1111设设d1,d2,d1,d2,dp,dp是是p p个正整数个正整数,p
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