第五章-数值积分方法课件.ppt

1、 /3/20220e1113ytrrytCdyyyy( )?baIf x dxabf (x)数值积分的应用背景数值积分的应用背景:1) 被积函数的原函数不能表示为初等函数被积函数的原函数不能表示为初等函数2)某些实际问题仅有一些离散函数值某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给无法给 出被积函数表达式出被积函数表达式3) 被积函数过于复杂被积函数过于复杂,难以求得其原函数难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值借助于被积函数在一些点的函数值,推算出满推算出满足一定精度的定积分近似值足一定精度的定积分近似值-数值积分方法数值积分方法预备知识预备知识牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式如果函数如果

2、函数f (x)在区间在区间a, b上连续，且原函数为上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿则可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 ( )( )( )baf x dxF bF a来求定积分。来求定积分。 预备知识预备知识积分中值定理积分中值定理若若f是是a, b上的连续函数，则存在上的连续函数，则存在x xa, b，使，使 ( )( ) ()baf x dxfbax预备知识预备知识广义积分中值定理广义积分中值定理若若f在在a, b上连续，上连续，g在在a, b上可积，且上可积，且g(x)在在a, b上不变号，存在上不变号，存在x x, , x xa, b，使，使 ( ) ( )( )( )bbaaf

3、 x g x dxfg x dxx数值积分问题牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式( )( )( )baf x dxF bF au 找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示 23sin, 1.xxexxu 原函数表达式过于复杂原函数表达式过于复杂 u f(x)是由测量或计算得到的数据表是由测量或计算得到的数据表 32223xx 3332232323616xxxxx2292723ln2233232 2xxxx yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-110( )lim()nbkkankIf x dxf xx数值积分问题01knaxxxxb1kkkxxx

4、10( )()nbkkakIf x dxf xx5.1 插值型求积公式00( )( ) ()( )()( )nnbbnkkkkaakkIflx f x dxlx dI fx f x0( )(),( )( )nbnkkkkakIfA f xAlxfdxI0( )( )( ) ()nnkkkf xL xlx f x( )( )baI ff x dx01knaxxxxbf(x)在这些节点的值在这些节点的值f(xi)，求定积分，求定积分0( )(),nnkkkIfA f x定义定义设有计算设有计算 的求积公式的求积公式( )( )baI ff x dx如其求积系数如其求积系数 ，则称此求，则称此求积公

5、式为插值型求积公式积公式为插值型求积公式. 定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.( ),0,1,2,.bkkaAlx dx kn5.1 插值型求积公式两点公式两点公式 x0=a, x1=b, n=1 1( )( )( )( )xbxaf xL xf af babba001( )2bbaaxbAlx dxdxbaab111( )2bbaaxaAl x dxdxbaba( )( )( )( )2babaI ff x dxf af b( )( )( )2baT ff af b梯形公式：梯形公式：5.1 插值型求积公式一、梯形公式-两点线性插值几何意义：用梯形面几何意

6、义：用梯形面积代替被积函数的曲积代替被积函数的曲边梯形面积边梯形面积梯形公式误差梯形公式误差5.1 插值型求积公式广义积分中值定理广义积分中值定理若若f在在a, b上连续，上连续，g在在a, b上可积，且上可积，且g(x)在在a, b上不变号，存在上不变号，存在x x, , x xa, b，使，使 ( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dxx利用这一定理梯形与曲边梯形面积的对比： 正负决定 三点二次拉格朗日插值积分三点二次拉格朗日插值积分-辛卜生公式辛卜生公式x0 x2x1y=f(x)L2(x)5.1 插值型求积公式辛卜生公式辛卜生公式: 取取x0=a, x1=(a+

7、b)/2, x2=b, n=212000102()()1( )()()6bbaaxxxxAlx dxdxbaxxxx( )( )( )4 ()( )62babaabI ff x dxf aff b( )( )4 ()( )62baabS ff aff b辛卜生公式：辛卜生公式：02111012()()2( )()()3bbaaxxxxAl x dxdxbaxxxx01222021()()1( )()()6bbaaxxxxAlx dxdxbaxxxx5.1 插值型求积公式误差 精度较梯形高yxoy= f(x)ab5.2 复合梯形公式复合梯形公式 分段线性插值分段线性插值-复合梯形法复合梯形法 1

8、. 等分求积区间，比如取步长等分求积区间，比如取步长 ，分，分a, b为为n等分，分点为等分，分点为 ,k = 0, 1, 2, nbahn0kxxkh2. 在区间在区间 xk, xk+1上求上求 1( )kkxkxIf x dx3. 取和值取和值 ，作为整个区间上的积分近似值，作为整个区间上的积分近似值 10( )nbkakIf x dxI复合梯形公式复合梯形公式 1()()2kkkhIf xf x111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x11( )( )2()( )2nnkkhTff af xf b( )( )( )2baT ff af b误差由各小区间梯形误差累加小区间增多,

9、误差减小控制1()()()()xbxafxLxfafbabbax0 x1x2xkxk+1xn-1xn复合梯形公式复合梯形公式( (节点加密节点加密) ) 1/2x3/2x1/2kx1/2nx1121/210024nnnkkkkkkhTIf xf xf x1/21/2144kkkkkhhIfxfxfxfx1()()()()xbxafxLxfafbabba1/ 2124kkkkhIfxfxfx1()()()()xbxafxLxfafbabba11( )( )2()( )2nnkkhTff af xf b111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x111)00()(2nnnkkkkkhTI

10、f xf x121/20122nnnkkhTTf x )2(2110nknhkhafhT复合梯形公式复合梯形公式( (节点加密节点加密) ) 由 递推逐渐逼近，达到计算精度即停止。条件成立则终止计算并以T2n为定积分 的近似值教材P68-例例5.1(1) 牛顿-莱布尼兹公式0.8670(2) 梯形公式0.75(3) 辛卜生公式0.8775(4) 复合梯形公式T4=0.86175.3 其它复合求积公式其它复合求积公式 借用借用积分中值定理积分中值定理若若f是是a, b上的连续函数，则存在上的连续函数，则存在x xa, b，使得，使得( )( ) ()baf x dxfbax将其用于积分的近似计算

11、，取=b, 得-积分右矩形公式复合右矩形公式复合右矩形公式如在区间a,b内插入节点xj=a+jh(j=0,1,n), h=(b-a)/n得到复合右矩形求积公式复合右矩形求积公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的误差估计)()()(axfafxfx),(bax复合右矩形公式复合右矩形公式复合辛卜生公式复合辛卜生公式 ( )( )4 ()( )62baabS ff aff b记记每2个节点间增加一个中值节点, 节点数由n2n. 节距变为h=(b-a)/2n. )(2122212jjjxxx)()(4)(3)()(2122211222jjjnjnjxxbaxfxfxfhdxxfdxxfjj展开展开

12、, 得得 )(2)(4)()(31121122njjnjjnxfxfbfafhS利用数据表利用数据表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f (xk)43.938463.7647 3.5068 3.2000 2.87642.46002.265492计算积分计算积分12041Idxx104arctg |3.1415926.Ix复合求积方法比较复合求积方法比较 取取n = 8用复合梯形公式用复合梯形公式11( )( )2()( )2nnkkhTff af xf b111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x 8111131(0)222282848253722218483.1

13、3899Tfffffffff=取取n=4, 用复合辛卜生公式用复合辛卜生公式复化求积方法复化求积方法 )(2)(4)()(31121122njjnjjnxfxfbfafhS14159. 3)43()21()41( 2)87()85()83()81( 4) 1 ()0(4201318fffffffffS定义定义如果一个求积公式如果一个求积公式(a)对于次数不超过对于次数不超过m的多项式的多项式均能均能准确准确成立，但至少对一个成立，但至少对一个m+1次多项式次多项式不准不准确确成立，则称该求积公式具有成立，则称该求积公式具有m次代数精度次代数精度。0( )(),( )nbkkakf x dxA

14、f xa定理定理 对于求积公式对于求积公式(a)具有具有m次代数精度的充分必要条次代数精度的充分必要条件为该公式对件为该公式对 f(x)=1, x, . xm 精确成立精确成立，而对，而对f(x)=xm+1，不精确成立。，不精确成立。5.4 数值积分公式的代数精度求代数精度的阶数求代数精度的阶数-确定以下求积公式的代数精度确定以下求积公式的代数精度5.4 数值积分公式的代数精度)()(2)(bfafabdxxfba111( )( 1)2 (0)(1)2f x dxfff?阶代数精度阶代数精度1阶代数精度阶代数精度111( )( 1)4 (0)(1)3f x dxfff( )( )4 ()( )

15、62baabS ff aff b?阶代数精度阶代数精度5.4 数值积分公式的代数精度证明代数精度的阶数证明代数精度的阶数0( )()0,1,2.nbkkakf x dxA f xkn若求积节点若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有任意选取，则求积公式中含有2n+2个待个待定参数定参数xk和和Ak (k=0,1,n),适当选取这些参数，可使求适当选取这些参数，可使求积公式具有积公式具有2n+1次代数精度，称这种用次代数精度，称这种用n+1个求积节点个求积节点而具有而具有2n+1次代数精度的求积公式为次代数精度的求积公式为高斯求积公式高斯求积公式，n+1个节点为个节点为高斯点高斯点。5.4 高斯

16、求积公式对于插值型求积公式例例 ：求形如：求形如 111100)()()(xfAxfAdxxf的两点高斯求积公式。的两点高斯求积公式。 100111( )()()f x dxA f xA f x11( )( 1)(1)f x dxff梯形公式：梯形公式：高斯公式：高斯公式：对求积公式中的四个待定系数对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取，适当选取，使求积公式对使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3 都准确成立都准确成立 3次代数精度次代数精度5.4 高斯求积公式111100)()()(xfAxfAdxxf01001 122001 133001 120230AAA

17、 xAxA xAxA xAx5.4 高斯求积公式)31()31()(11ffdxxf31,31, 11010 xxAA111100)()()(xfAxfAdxxf求三点高斯求积公式求三点高斯求积公式高斯公式：高斯公式：对求积公式中的对求积公式中的6个待定系数个待定系数A0, A1, A2, x0, x1 , x2，使求积公式对使求积公式对f (x) = 1, x, x2, x3, x4, x5都准确成立都准确成立 代数精度阶数代数精度阶数(2n+1)=55.4 高斯求积公式)()()()(221100 xfAxfAxfAdxxfban+1个求积节点数为个求积节点数为3n=2)515(95)0(

18、98)515(95)(11fffdxxf得三点高斯求积公式得三点高斯求积公式:111100)()()(xfAxfAdxxf5.4 高斯求积公式高斯求积公式在定积分高斯求积公式在定积分 中的应用中的应用badxxf)(构造对应函数构造对应函数x(t)=k+jt, 使使x(-1)=a且且x(1)=b 得得 k=(a+b)/2, j=(b-a)/2，相应有，相应有tabbatx22)(dtabdx2)232()232(2)22(2)(11ababfababfabdtbatabfabdxxfba)31()31()(11ffdxxfP75. 例5.6(1) 梯形公式0.75(2) 辛卜生公式0.8775

19、(3) 复合梯形公式T4=0.8617求二重积分的四点高斯求积公式求二重积分的四点高斯求积公式(了解了解)其中:将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中3. 用用n=8的复合梯形求积公式，计算积分的复合梯形求积公式，计算积分 220 xnIedx并与精确值(I = 0. 88208139)比较。(计算中保留6位小数) 881701. 0)47()23()45() 1 ()43()21()41( 2)2()0(41218fffffffffT2. 习题五习题五 5.8, P80作 业1. P78，实验五，实验五 5.1, 积分区间改成积分区间改成2,3. (增加增加(5)用两点高斯求积公式用两点高斯求积公式）