第二章-生命函数与生命表理论课件.ppt

1、(1) (0)1;S( )Pr()1( ),0.S xXxF x x (2) ( ) 0.S w 寿命的生存函数寿命的生存函数随机变量随机变量X的生存函数的生存函数假定寿命极限为假定寿命极限为w，满足：，满足：Pr()( )( )xXzs xs z新生儿将在新生儿将在x岁至岁至z岁之间死亡的概率岁之间死亡的概率( )1,0100.100 xS xx 例例 假设某人群的生存函数为假设某人群的生存函数为 求：求：（1）刚出生婴儿活过）刚出生婴儿活过60岁的概率；岁的概率；（3）活到）活到40岁的人活不到岁的人活不到70岁的概率；岁的概率；寿命的密度函数寿命的密度函数( )( )( ).f xF x

2、S x 概率意义为在概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；点附近极小区间失效的速率；(1) ( )0;f x 满足属性：满足属性：0(2)( )( ),( )( );xwxf x dxF xf x dxS x0(3)( )1.wf x dx （2）刚出生婴儿在）刚出生婴儿在7080岁间死亡的概率；岁间死亡的概率；( )Pr( ( ),0.TtxF tT xtq t第二节第二节 剩余寿命剩余寿命x岁的人（简记岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命，），继续存活的时间，称为剩余寿命，记作记作T(x) .Pr( ( )()( )()( )txqT xtPr Xxt XxS xS xtS

3、 x剩余寿命分布函数剩余寿命分布函数寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率，寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率，后者是条件概率；后者是条件概率；0(1)( );tqF t特别地特别地.|(3)Pr()()()()( )t uxqtT XtuPr xtXxtu XxS xtS xtuS x 1(2);xxqq记为( )( )Pr( ( )Pr(|)()1( )T xtxtxStT xtXtx XxS xtpqS x 剩余寿命的生存函数剩余寿命的生存函数0(1)( );xpS x特别地特别地.|(3)t uxtxt uxtxux tqpppq1(2);xxpp120( ),

4、0120.10 xS xx例例 假设某人群的生存函数为假设某人群的生存函数为 求：求：（1）39岁的人至少还能再活岁的人至少还能再活45年的概率；年的概率；（2）56岁的人能活过岁的人能活过71岁但活不过岁但活不过84岁的概率岁的概率.00( ( )( )w xoxTtxeE T xt ft dtp dt2220( ( )( ( ) )( ( )2w xotxxVar T xE T xE T xtp dteoxe期望剩余寿命：剩余寿命的期望值期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值均值),简记简记剩余寿命的方差：剩余寿命的方差：剩余寿命的期望和方差剩余寿命的期望和方差04010401)Pr(40|

5、10)2)XXpe，( )(1)0100100 xs xx例例.已知已知 计算：计算：(),( )1,0,1,K XkkT xkk(x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记未来存活的完整年数（整值余寿），简记整值余寿的分布函数整值余寿的分布函数1Pr()Pr( ( )1)kxK XkT xkqPr()Pr( )1)xkK XkkT xkq整值余寿的生存函数整值余寿的生存函数1Pr()Pr( ( )1)kxK XkT xkp整值余寿的密度函数整值余寿的密度函数11xkxkxkxkxkxx kkqqqpppq整值余寿的期望与方差整值余寿的期望与方差11100( )w xw xxkxx kkxkke

6、E K xkpqp 整值剩余寿命的期望值整值剩余寿命的期望值中值余寿中值余寿(m(x)是余寿是余寿T(x)的中值的中值1Pr ( )( )Pr ( )( )2T xm xT xm x整值剩余寿命的方差整值剩余寿命的方差22210( )( )( )(21)kxxkVar K xE KxEK xkpe均匀分布下均匀分布下012xxee0( )()( )( )lim(ln ( )( )( )( )xhS xS xhS xf xS xh S xS xS x 瞬时死亡率，简记瞬时死亡率，简记死亡效力曲线称为死亡效力曲线称为“浴盆曲线浴盆曲线”0( )expxsS xds0expexpx tttxss x

7、xpdsds死亡效力与生存函数关系：死亡效力与生存函数关系：5|5201,.1xtxpqx求例例 设死亡力度设死亡力度死亡效力表示剩余寿命的密度函数死亡效力表示剩余寿命的密度函数( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txtxx ttxx tS xS xtG tqpS xS xtddS xS xtg tG tpdtdtS xS x 0( )( )expxxxsf xS xds例例. 如果如果40岁以前死亡效力恒定为岁以前死亡效力恒定为0.04，40岁之后死亡效力岁之后死亡效力提高到提高到0.06，求，求25岁的人未来的期望存活时间。岁的人未来的期望存活时间。在未来在未来2

8、5年内的期望存活时间年内的期望存活时间1( )1, 0 xxxS xx ( )exp(1)/ln , B0,c1,0 xxxBcS xB ccxDe Moivre模型模型(1729)Gompertze模型模型(1825)( )exp(1)/ln , B0,A-B,c 1,0 xxxA BcS xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxS xkxnknxMakeham模型模型(1860)Weibull模型模型(1939)Halley生命表起源生命表起源lim( )nnkP xn 依概率收敛生命表的理论基础生命表的理论基础生命表的构造生命表的构造1. (0,1,1):xlxw

9、存活到存活到x岁的期望个数；岁的期望个数；0( )xllS x2.:txd在在x与与x+t之间死亡的期望人数；之间死亡的期望人数；txxx tdllxd特别：特别：t=1时，记作时，记作3.:txq在在x与与x+t之间死亡概率；之间死亡概率；xq特别：特别：t=1时，记作时，记作txtxxdql4.:txp在在x与与x+t之间存活概率；之间存活概率；( )()Pr(|)( )txS xS xtqXxt XxS x()( )x ttxxlS x tplS x5.:txLx岁的人在岁的人在x与与x+t岁之间生存的总年数；岁之间生存的总年数；7.:xTx岁的人群剩余寿命总和；岁的人群剩余寿命总和；1

10、00w xw xxx tx ttTLldt 特别：特别：t=1时，有时，有11()2xxxLll0ttxx sLlds6.:xm中位死亡率：中位死亡率：x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；岁的人平均每存活一年会发生的死亡数；xxxdmL08.:xex岁人群的平均余寿；岁人群的平均余寿；00w xxxtxxTep dtl9.:xex岁人群的整值余寿；岁人群的整值余寿；1w xx kkxxlel( ):a x平均生存年数：指在年龄平均生存年数：指在年龄xx+1岁之间死亡的人，在这岁之间死亡的人，在这一年中的平均生存时间。一年中的平均生存时间。1( )xxxLla xd)1001 (10000 x

11、lx例已知例已知1）该人群在）该人群在95岁时的期望剩余寿命；岁时的期望剩余寿命；2）该人群在）该人群在95岁时的中位死亡率；岁时的中位死亡率；05959501)2.5;tp dte959519595010022);9xdmLldx选择生命表：选择生命表：一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，一组被保险人的死亡率不仅随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动而且随已投保年限长短变动. xnq编制的生命表称为选择生命表编制的生命表称为选择生命表.把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为称为选择效果明显期选择效果明显期.表示表示x岁加入保险、经过

12、岁加入保险、经过n年在年在x+n岁的死亡概率岁的死亡概率. xnq 1 12 2xxxqqq 若选择期为若选择期为r年，投保期超过年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率年的同一年龄上的死亡概率相等相等.1122x rrx rrx rrxqqqq 终极表：终极表：依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命依据选择效果已经消失后的死亡率资料编制的生命表表.选择和终极表：选择和终极表：选择效果和终极表合在一起选择效果和终极表合在一起.表表2-3例例.假定两位老人今年都是假定两位老人今年都是65岁，甲老人是今年刚刚体检合岁，甲老人是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是格购买的保险，乙老人是10年前

13、购买的保险，至今仍在保障年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用表范围内。使用表2-3的选择的选择-终极生命表估计两位老人分别活终极生命表估计两位老人分别活到到73岁的概率。岁的概率。基本原理基本原理:插值法插值法1）均匀分布假定）均匀分布假定(线性插值线性插值)2）常数死亡力假定）常数死亡力假定(几何插几何插值值)3）Balducci假定假定(调和插值调和插值)10 , ) 1()()1 ()(txtsxsttxs10 , ) 1()()()1(txsxstxstt10 , ) 1()(1)(1txstxsttxs均匀分布假定均匀分布假定(线性插值线性插值)常数死亡力假定常数死亡力假定(几何

14、插值几何插值)Balducci假定假定(调和插值调和插值)函数均匀分布常数死亡力Ballduccixtqxtptxyqx t txpxtq1textq1te1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqte21(1)xxxpqt q1yetxxxtqq11(1)xxqt q1 (1)xxt qtq三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数5 .305025. 5305 . 0,，qq( )(1)0100100 xs xx例例.已知已知 分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：分别在三种非整数年龄假定下，计算下面各值：（补充练习）某人头上仅剩（补充练习）某人头上仅剩3根头发，

15、并且他不再长任何头发。根头发，并且他不再长任何头发。|0.1(1),0,1,2,3.kxqkk（1）每根头发）每根头发(x)未来的死亡服从：未来的死亡服从：（2）头发）头发(x)脱落在每年内服从脱落在每年内服从Balducci假设；假设；（3）三根头发寿命独立。）三根头发寿命独立。求此人在求此人在x+2.5岁成为光头的可能性。岁成为光头的可能性。精品课件精品课件！精品课件精品课件！（补充作业）某先生今年（补充作业）某先生今年25岁，死亡服从岁，死亡服从De Moivre规则，规则，极限年龄为极限年龄为100岁，若他在下一年从事登山运动时，则假设岁，若他在下一年从事登山运动时，则假设他的死亡假设在下一年内变为常值死力为他的死亡假设在下一年内变为常值死力为0.12(只登山一年只登山一年)，则若从事登山运动，他在则若从事登山运动，他在11年内的预期寿命将减少多少时间？年内的预期寿命将减少多少时间？