第二章-矩阵及其运算习题课课件.ppt

1、矩阵是线性代数中非常重要的理论之一，它贯穿了线性代数内容的始终。其主要内容包括：(E i概念：矩阵,转置矩阵,零矩阵,同型矩阵等线性运算：矩阵的加法,数与矩阵的乘法运算矩阵相乘,方阵的k次幂对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵特殊方阵 三角矩阵,上三角矩阵,下三角矩阵方阵对称矩阵,反对称矩阵矩阵矩阵的行列式,方阵乘积的行列式,(非)奇异矩阵,逆矩阵,伴随矩阵分块矩阵：分块对角矩阵,简单分块矩阵的求逆矩阵的秩：矩阵的k阶子式,满秩矩阵初等矩阵：矩阵的初等变换：, ),( ( ),( ( )j E i kE ij k矩阵的标准形利用初等变换求取逆矩阵,矩阵的秩12345矩阵的乘法：1.当前面的矩阵的列数与

2、后面矩阵的行数相同时才可以相乘；2.矩阵的乘法不满足交换律，即ABBA;3.矩阵的乘法不满足消去律,即当AB=AC时,不一定有B=C 当AB=0时,不一定有A=0或B=0 注：当A为方阵且可逆时,若AB=AC,AB=0,则有B=C,B=0 A0, ,A 4.设 为n阶方阵,当时为整数时，有,.A AAAA可逆阵、转置矩阵、伴随矩阵：1*1AA1.A*AAA EA A11111111112.()()1()()()()()()TTTTTTTTTTABABABABAAAAABB AABB AAAAA113.()()TTAA(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同型型矩矩阵阵 ,(2) 数

3、乘数乘的的每每个个子子块块乘乘需需乘乘矩矩阵阵数数AkAk,(3) 乘法乘法的行的划分相一致的行的划分相一致的列的划分与的列的划分与BA分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算.21sAAAA ,21 sAAAA ,411 srAAA设设rA11sATsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则分分块块对对角角矩矩阵阵 11211sAAAnmrOOOEF 化化为为下下面面形形式式的的矩矩阵阵换换总总可可经经过过若若干干次次初初等等变变矩矩阵阵任任一一个个定定理理 Anm .的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵AF推论推论 如果如果A 为为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则nIF 定理定理 方阵方阵A

4、 A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是存在有限存在有限 个初等方阵个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使求方阵求方阵A 的逆矩阵的方法的逆矩阵的方法 AE 1EA AE1EA 初等初等行行变换变换初等初等列列变换变换1. 构造构造B, 使使 AB=E2. ,11 AAA3.（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩则这个子式的阶数就是矩阵的秩求矩阵的秩的基本方法求矩阵的秩的基本方法（）用初等变换（）用初等变换第一种方法当矩阵

5、的行数与列数较高时，计算量第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则很大，第二种方法则较为较为简单实用简单实用三、关于秩的基本性质三、关于秩的基本性质）；（阶子式不为零，则中有某个若矩阵，因此，超过中非零子式的阶数不会由于ARssAARA)(. 1;min0. 2nmARnmA，）（矩阵，则为若)()(. 4ARARTtARtA）（，则阶子式全为中所有若0可逆矩阵，则为若A0AnARnnA)(. 3非奇异满秩AA）（）（可逆，则、若ARPAQRQP. 6);()(),()(),(max. 7BRARBARBRAR 5., .ABR AR B若则);()()(. 8BRARBA

6、R9.;m nn lR(AB)minR(A),R(B);.10nnnR(B)R(A)O,BAnn则若11.一个矩阵和满秩矩阵相乘，原来矩阵的秩不改变。用初等用初等行行变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，变换化方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵，根据根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解，不等于零或等于零判断原方程组是否有解，如果如果dr+10，则有，则有 r (A) = r，而，而 r (A b) = r+1，即即 r (A) r (A b)，此时，此时(3.1)无解；无解；如果如果dr+1=0，则有，则有r (A) = r (A b) = r，此时，此时(3.1)有解。有解。当当r =

7、n时，有唯一解；当时，有唯一解；当r n时，有无穷多个解。时，有无穷多个解。然后，回代求出解。然后，回代求出解。解线性方程组的步骤是：解线性方程组的步骤是：定理定理3.1 线性方程组有解的充分必要条件是：线性方程组有解的充分必要条件是：r (A b) = r (A)，且当，且当r (A b) = n时有唯一解；时有唯一解；当当r (A b) n时有无穷多解。时有无穷多解。 定理定理3.2 齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 r (A) n.推论：当推论：当m n时，齐次线性方程组有非零解。时，齐次线性方程组有非零解。mAR )(定理定理（1）mAR )(（2）线线性性相相关关向向量量

8、组组mA ,:21;0 ,221121 mmmxxxxxx 使使得得存存在在不不全全为为零零的的);,( ,021mAAx 其中其中有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组线性无关线性无关向量组向量组mA ,:21; 00212211 mmmxxxxxx必有必有，若若 );,( ,021mAAx 其其中中只只有有零零解解齐齐次次线线性性方方程程组组向向量量组组中中向向量量个个数数 向向量量组组中中向向量量个个数数 定理定理. ,: , (1) 1121也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若 mmmBA . 2 时时一一定定线线性性相相关关于于向向量量个个数数

9、小小当当维维数数维维向向量量组组成成的的向向量量组组，个个）（mnnm.,:,: (3) 121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示由由向向量量组组必必能能向向量量则则线线性性相相关关向向量量组组而而线线性性无无关关设设向向量量组组AbbBAmm ), 2 , 1)(,(21njaaanjjjjn,21. 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa(4)(4)设设n n 个个n n 维维则向量组则向量组线性相关的充分必要条件是：线性相关的充分必要条件是：齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构nnmijxxxxaAAx21)(01如果如果v1, v2是是Ax =

10、0的两个解，则的两个解，则v1 + v2也是它的解。也是它的解。2如果如果v是是Ax = 0的解，则的解，则cv也是它的解也是它的解(c为常数为常数)3如果如果v1, v2, , vs都是都是Ax = 0的解，则其线性组合的解，则其线性组合 c1v1 + c2v2 + + csvs 也是它的解，其中也是它的解，其中c1, c2, , cs都是任意常数。都是任意常数。如果如果 v1, v2, , vs 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0的解向量组的一个的解向量组的一个极大无关组极大无关组，则称，则称v1, v2, , vs是方程组的一个是方程组的一个基础解系基础解系。如果齐次线性方程

11、组如果齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵的系数矩阵A的秩数的秩数r(A) = r n，则方程组的基础解系存在，且每，则方程组的基础解系存在，且每个基础解系中，恰含有个基础解系中，恰含有n r 个解。个解。如如果果基基础础解解系系的的称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2(21线线性性表表出出的的任任一一解解都都可可由由tAx 的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.21是任意常数其

12、中t,k,kk现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax

13、= b与它的导出组与它的导出组Ax = 0的解之间的解之间有下列有下列性质性质：1如果如果u1是是Ax = b的一个解，的一个解，v1是是Ax = 0的一个解，的一个解， 则则u1+v1也是也是Ax = b的一个解；的一个解；2如果如果u1, u2是是Ax = b的两个解，则的两个解，则u1 - u2是其导出组是其导出组 (Ax = 0)的解。的解。 定理定理 如果如果u1是非齐次线性方程组的一个解，是非齐次线性方程组的一个解， v是其导出组的全部解，则是其导出组的全部解，则u = u1 + v是是 非齐次线性方程组的全部解。非齐次线性方程组的全部解。习题11*12,3,43.AAAAAA例：

14、若n阶矩阵A的行列式为求，1*.A例2：设A为n阶可逆矩阵，求41100.010 ,.002kAAAA例3： 设求473,8(3).P例 ：573,13(3).P例 ：*1121345.201AA例6：求矩阵A=的伴随矩阵和逆矩阵1200011007,.00140012AA例 ：设求0101110111,20,.10153BAXBXX例 ：已知A=且求矩阵973,12.P例 ：873,14.P例 ：510010111,010,010 ,.001001APPBBPAA例 ：设其中求 及3134 ,2.nAAEAE AE例 ：已知 阶方阵 满足证明均可逆14n例 ：证明任一 阶方阵均可表示为一个对

15、称矩阵与一个反对称矩阵之和.1274,17.P例 ：1573,10.P例 ：1674,22.P例 ：1774,23.P例 ：0,kA 设设例例1818证明证明 121.kEAEAAA 方法三方法三0kA 2211kkkEEAAAAAAA 2211kkkEAAAAAAA 21kEAEAAA 21kEA EEA AEA AEA A 121.kEAEAAA 方法一方法一kEAE 21kEAEAAA 121.kEAEAAA 方法二方法二0kA kEEA 21kEAEAAA 121.kEAEAAA m n19m,ab0c00dr(B)=nr(AB)=mTr Amn BnA AABB例 ：设A的秩为 阶方阵，则下列各式结论正确的是：、A的任一一个m阶子式不为0、当时，必有、当时，有例20：P113，8方法一：利用定理3.9 ：向量组B（t个向量）有A（s个向量）线性表示，st 则B线性相关方法二：利用定理3.6 ：线性相关的充要条件是至少一个向量是其余向量的线性组合方法三：线性相关的定义21(1)例 ：P113,1622(5)例：P114,17239例：P114,1244 20(1)例：P11 ,精品课件精品课件！精品课件精品课件！25例：P113,15