第十二章-圆锥曲线课件.ppt

1、主页主页圆锥曲线圆锥曲线直线与圆锥曲直线与圆锥曲线的位置关系线的位置关系曲线与方程曲线与方程求曲线的方程求曲线的方程画方程的曲线画方程的曲线求两曲线的交点求两曲线的交点双曲线双曲线轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法抛物线抛物线椭圆椭圆定义及标准方程定义及标准方程几何性质几何性质相交相交相切相切相离相离范围、对称性、顶点、焦点、长轴范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴实轴)、短轴（虚轴）、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径中心对称中心对称轴对称轴对称弦长公式()0000

2、()()(22)( , )(22)ababxyaxbyf x yfax by 关关于于点点，对对称称关关于于点点，对对称称点点，点点，曲曲线线曲曲线线，1212112221210()()220()1xxyyABCxyxyyyAxByCAxxB 点点, ,与与点点, ,关关于于直直线线对对称称对称问题对称问题21212211|1|lkxxyyk 主页主页1. 曲线与方程曲线与方程 一般地一般地, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果某曲线如果某曲线C上的上的点与一个二元方程点与一个二元方程f(x, y)=0的实数解建立了如下关系：的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是曲线

3、上点的坐标都是_. . (2)以这个方程的解为坐标的点都是以这个方程的解为坐标的点都是_. .那么这个方程叫做那么这个方程叫做_，这条曲线叫做，这条曲线叫做_. .这个方程的解这个方程的解曲线上的点曲线上的点曲线的方程曲线的方程方程的曲线方程的曲线忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页(1)建系建系建立适当的坐标系建立适当的坐标系.(2)设点设点设轨迹上的任一点设轨迹上的任一点P(x, y).(3)列式列式列出动点列出动点P所满足的关系式所满足的关系式.(4)代换代换依条件式的特点，选用距离公式、依条件式的特点，选用距离公式、 斜率公式等将其转化为斜率公式等将其转化为x, y的方程式

4、的方程式,并化简并化简.(5)证明证明证明所求方程即为符合条件的动点证明所求方程即为符合条件的动点 轨迹方程轨迹方程.2.求动点的轨迹方程的一般步骤求动点的轨迹方程的一般步骤忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页 (2)两条曲线有交点的两条曲线有交点的_条件是它们的方条件是它们的方程所组成的方程组有实数解程所组成的方程组有实数解. .可见，求曲线的交点可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题数解问题. . (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的坐标应该

5、是两个曲线方程的_，即两个，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组_，两条曲线就没有交点，两条曲线就没有交点. .公共解公共解无无 解解充充 要要3. 两曲线的交点两曲线的交点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页4. 求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法直接法 (列等式列等式)(2)定义法定义法 (利用圆锥曲线的定义利用圆锥曲线的定义)(3)代入法代入法(又称相关点法或坐标转移法又称相关点法或坐标转移法)(4)消参法消参法(5)几何法几

6、何法 (6)交轨法交轨法忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页圆的方程学习目标（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题主页主页圆的定义：平面内与定点距离等于定长圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定点就是圆心，定长就是半径定长就是半径 问题

7、问题1什么是圆？什么是圆？问题问题2 确定圆需要确定圆需要 哪几个要素？哪几个要素？圆心确定圆的位置半径确定圆的大小问题问题3 圆心为(a,b)，半经为r的方程是什么呢？主页主页探索：圆心是探索：圆心是C(a,b)，半径是，半径是r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？解解：设设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，P=M| |MC|=r(x-a) 2 + (y-b) 2 = r把上式两边平方得：把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2主页主页圆的标准方程圆的标准方程(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2特点：特点：1、 明确给出了圆心坐标和半径。明确给出了圆

8、心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即即a、b、r 3、是关于、是关于x、y的二元二次方程。的二元二次方程。问题问题：观察圆的标准方程的特点有哪些？观察圆的标准方程的特点有哪些？注注:当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2主页主页例例1:试写出下列圆试写出下列圆 (x-1)2+（y-3)2=9的圆心及半径的圆心及半径1、(x-1)2+（y-3)2= -52、(x-1)2+（y-3)2=k变式：下列方程是圆的方程吗？变式：下列方程是圆的方程吗？主页主页例例2:写出圆心在写出圆心在C(

9、1, 3),半径是半径是3的圆的方程的圆的方程变变4：求圆心仍在：求圆心仍在(1,3)，且和直线，且和直线3x-4y-6=0相切相切的圆的方程的圆的方程 变变3：直线：直线x+y = 4和和x-y = -2均过圆心，半径为均过圆心，半径为3的圆的方程的圆的方程变变1：求圆心在：求圆心在( 1, 3 )又过点又过点( 1, 6)的圆的方程的圆的方程变变2：已知两点：已知两点A(1, 9)、B(1, -3), 求以求以AB为直径为直径的圆的方程的圆的方程变变5：与坐标轴都相切，且圆心在直线：与坐标轴都相切，且圆心在直线2x-3y+5=0上的圆的方程上的圆的方程主页主页点点 与圆与圆 的位置关系：的

10、位置关系：点点 与圆心与圆心 (a,b)的距离为的距离为d= ,圆的半径为圆的半径为r，点在圆上点在圆上:d=r点在圆内点在圆内:点在圆外点在圆外:0dr(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2),(00yx),(00yx2020byax主页主页例例3:(1)判断下列点与圆判断下列点与圆(x-3) 2 + (y4) 2 = 25的位置关系的位置关系(1)P(1,-4) (2)Q(0,0) (3)M(1,2)主页主页PCrP在圆在圆C的内部的内部则则P(1,1)C(a,-a)rx xy yo o11a 即即22(1)(1)2aa11a 分析：分析：(1,1)P22()()4x ay aa在圆

11、在圆C:C:的内部，的内部，的取值范围是的取值范围是 则则(2)(2)如果如果主页主页3 变变1:若点若点(1, )在圆在圆(x-m) 2 + (y- m) 2 = 4 m2的外部，求实数的外部，求实数m的取值范围的取值范围3 变变2:若经过点若经过点P(5a+1,12a)可以作出圆可以作出圆 的两条切线的两条切线,求实数求实数a的取值的取值范围范围1122yx131131aa或主页主页当当D2+E24F=0时，方程表示一个点（时，方程表示一个点（ ）当当D2+E24F0时，方程表示以（时，方程表示以（ ）为）为圆心、圆心、 为半径的圆为半径的圆.x2 + y2 + Dx + Ey + F =

12、 0(1)问题问题1:形如形如(1)的方程都表示圆吗的方程都表示圆吗?2,2EDFED421222,2ED主页主页圆的一般方程圆的一般方程:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 022(DE4F0)主页主页例例4:下列方程表示圆吗？下列方程表示圆吗？若表示圆，求圆心、半径若表示圆，求圆心、半径 04122xyx 064322222yxyx20 , 2r，圆心故不表示圆012449422FED主页主页 求圆心在直线求圆心在直线x2y30上，且过点上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程的圆的标准方程【思路点拨】【思路点拨】解答本题可以先根据所给条件确解答本题可以先根据所给条件

13、确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解定系数法求解变式训练变式训练1求圆心在求圆心在x轴上轴上,且过点且过点A(5,2)和和B(3，2)的圆的标准方程的圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程主页主页圆的一般方程圆的一般方程若已知条件与圆心、半径无直接关系，一般用圆的若已知条件与圆心、半径无直接关系，一般用圆的一般方程，再用待定系数法求出系数一般方程，再用待定系数法求出系数D、E、F. 已知已知ABC的三个顶点为的三个顶点为A(10,13)、B(2，3)、C(2,1),若若AB、BC、AC的中点分别为的中点分别为P、Q、R，求过，求过P、

14、Q、R三点的圆的方程三点的圆的方程变式训练变式训练2已知已知ABC的三个顶点分别为的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)求其外接圆的一般求其外接圆的一般方程式方程式主页主页 已知圆已知圆C：(x3)2(y4)21，点，点A(1,0),B(1,0)，点，点P在圆上运动，求在圆上运动，求dPA2PB2的最的最值及相应的点值及相应的点P的坐标的坐标灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思灵活选择圆的两种方程，同时结合数形结合的思想能有效找到解题的捷径想能有效找到解题的捷径圆的方程的综合应用圆的方程的综合应用主页主页主页主页0 12222babyax 0 12222babxay图图

15、 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM1.1.椭圆的椭圆的定义定义一、基础知识一、基础知识主页主页标准方程图 象范 围对 称 性顶点坐标焦点坐标半 轴 长焦 距a,b,c关系离 心 率22221(0)xyabab22221(0)xyabba|x| a,|y| b|x| b,|y| a关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。轴成轴对称；关于原点成中心对称。（ a ,0 ）,(0, b)（ b ,0

16、）,(0, a)( c,0)(0, c)长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.焦距为焦距为2c;a2=b2+c2cea2、椭圆的简单几何性质、椭圆的简单几何性质主页主页) 0( 12222babxay3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程:012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：1.1.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :2.2.椭圆的普通方程椭圆的普通方程: :nmnmnymx且、, 0122sincossincosbxaybyax或考点一、考点一、椭圆的定义与方程求法椭圆的定义与方程求法二、考点剖析二、考点剖析主页主页（3）定量定量:解方程得系数解方程得系数（

17、1）定位）定位:确定焦点的位置确定焦点的位置椭圆的方程求法：待定系数法椭圆的方程求法：待定系数法（2 2）定型）定型: :选择选择适当的方程适当的方程: :主页主页求椭圆的方程。且经过两点，点，以坐标轴为对称轴、已知椭圆的中心在原求椭圆的方程。，且经过点、已知椭圆的焦点为、请求出椭圆的方程例),2,3(),1 ,6(2),0 ,5()0 , 2(),0 , 2(1121121PPPFF例题选讲例题选讲.2)0 , 2(3倍，求椭圆的标准方程是短轴长的，其长轴长、椭圆的一个顶点为A主页主页134.12736.143.12736.)() 3, 0(21122222222yxDyxCyxBxyAFe

18、的椭圆标准方程为，一个焦点是、离心率牛刀小试牛刀小试 A主页主页1416.14.11216.134.)(0152:2122222222222yxDyxCyxByxAxyxCx程为半径，则椭圆的标准方的它的长轴长等于圆，且轴上的椭圆离心率为、已知焦点在A主页主页。方程为，则该椭圆的标准，焦距为若离心率为轴上，点，焦点在、已知椭圆的中心在原_8213y1486422yx主页主页(0,4) (1,2)。的取值范围是上的椭圆的，则轴表示焦点在、已知方程_14422mxmyx._131522的取值范围是轴上的椭圆，则表示焦点在、已知方程mymymx主页主页椭圆的离心率和焦半径公式椭圆的离心率和焦半径公式

19、ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。（1）离心率的取值范围：）离心率的取值范围： 0e 1（2）e 越接近越接近 1椭圆就越扁，椭圆就越扁，e 越接近越接近 0，椭圆就越圆，椭圆就越圆002100P,P),(exaFexaFyxPx轴上的椭圆上点若焦点在（3）焦半径公式）焦半径公式主页主页。横坐标是的离的两倍，则点的距离是它到右焦点距上，它到左焦点在椭圆、点例_1925222PyxP1225主页主页牛刀小试牛刀小试22221,1(0),_21522.1. 21.222xyABCababABCABCD 、如图、 、 分别为的

20、顶点与焦点，若则该椭圆的离心率为ACBA主页主页121220_1.(0,1).(0, 222.(0,).,1)22FFMF MFMABCD 、已知 、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C主页主页31,_RT ABCABACCABAB、如图中，以点 为一个焦点作一个椭圆，使该椭圆的另一个焦点在边上，且该椭圆过 、 两点，则该椭圆的焦距为。26主页主页24y21212x4、已知椭圆=1的左,右焦点分别F ,F，9点P在椭圆上，当 FPF为钝角时,点P的横坐标的取值范围是_.)552,552(主页主页29y21212x5、已知椭圆=1的左,右焦点分别F ,F ,16点P

21、在椭圆上，若P,F ,F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离_. 9/4主页主页633(0, )227.xeP、设椭圆的中心在原点，长轴在 轴上，离心率，已知点到椭圆上的点的最远距离为，求椭圆的方程2214xy主页主页考点三、直线与椭圆的位置关系考点三、直线与椭圆的位置关系主页主页判别式法与交点个数判别式法与交点个数判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的这是求解直线与二次曲线有关问题的通法通法。0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）看）看主页主页A（x1,y1）判别式法与弦长公式判别式法与弦长公式（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未

22、知数）消去一个未知数（3）利用弦长公式）利用弦长公式:|AB| =22121214kxxx x（）12122114yyy yk2（） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端点端点坐标坐标，一般由，一般由韦达定理韦达定理求得求得 |x1-x2 | 与与 | y1-y2|通法通法B（x2,y2） = 设而不求设而不求主页主页A（x1,y1）点差法与斜率公式点差法与斜率公式B（x2,y2）0y112222122221222222221221byaxxbyaxbyax、0()(2212122121byyyyaxxxx）（即为中点）为原点、MO(022abkkOMAB主页

23、主页21 xyx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根， 则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)例题讲解例题讲解., 2421322求证直线与椭圆相交与椭圆知直线、已例yxxy主页主页例例3、 求直线求直线y=x- 被椭圆被椭圆x2+4y2=2 所截的弦长所截的弦长|AB|.2121 xyx2+4y2=2解：联立方程组解：联立方程组消去消去y01452 xx- (1)12124515xxxx 由韦达定理得由韦达定理得2|1|ABABkxx221)4ABABkxxx x（利用弦长公式求解：利用弦长公式

24、求解：主页主页双曲线的性质双曲线的性质( (一一) )主页主页222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2aa0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴e主页主页ace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2( 5 )的双曲线是等轴双曲线离心率2e主页主页xyo的简单几何性质二、导出双曲线)0, 0( 12222bab

25、xay-aab-b（1）范围）范围:ayay,（2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称（3）顶点）顶点: (0,-a)、(0,a)（4）渐近线）渐近线:xbay（5）离心率）离心率:ace 主页主页小小 结结ax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象主页主页法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定

26、系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy 主页主页法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去主页主页1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应的双曲线的应用用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线。轴

27、上的双曲线。2222222222222211,1.xyxyabmmcxymcm2、与共焦点的椭圆系方程是双曲线系方程是主页主页2231492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。. 1916, 91625, 4455, 1505. 5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由1, 1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与主页主页 4. 求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。 解

28、：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21FF 双曲线的焦点在 轴上，且xc2 2双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 bacabab33822222，而， 解出解出2622ba， 双曲线方程为xy22621 主页主页12 byax222（ a b 0）12222 byax( a 0 b0) 222 ba(a 0 b0) c222 ba(a b0) c椭椭 圆圆双曲线双曲线方程方程a b c关系关系图象图象yXF10F2MXY0F1F2 p小小 结结主页主页渐近线渐近线离心率离心率顶点顶点对称性对称性范围范围 准线准线|x| a,|y|

29、b|x| a，y R对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b(-a,0) (a,0)实轴：实轴：2a虚轴：虚轴：2be =ac( 0e 1 )ace=(e1)无无 y = abxcax2cax2主页主页 主页主页椭圆、双曲线的第二定义：椭圆、双曲线的第二定义：与一个与一个定点定点的距离和一条的距离和一条定直线定直线的距离的比的距离的比是常数是常数e的点的轨迹的点的轨迹.MFl0e 1lFMe1(2) 当当e1时，是双曲线时，是双

30、曲线;(1)当当0e0)=2px(p0)的的几何性质几何性质1. 范围范围因为因为 p 0 y2=2px 0 0 x所以所以即抛物线在即抛物线在y轴右侧，且向右上方和轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸右下方无限延伸2. 对称性对称性图像沿图像沿x轴折叠，两部分重合或用轴折叠，两部分重合或用-y 代代 y，方程不变方程不变所以，抛物线关于所以，抛物线关于x轴对称轴对称轴轴：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴轴主页主页3. 顶点：顶点： 抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点在方程在方程中，令中，令x=0, 则则所以，抛物线的顶点为原点所以，抛物线的顶点为原点

31、（一个）（一个）4. 离心率：离心率：抛物线上的点到焦点与准线距离的比抛物线上的点到焦点与准线距离的比由定义，由定义，e =15. 渐近线：渐近线： 抛物线虽然向右上方和右下方无限延伸，抛物线虽然向右上方和右下方无限延伸，但不能象双曲线一样无限接近某一直线但不能象双曲线一样无限接近某一直线所以，抛物线无渐近线所以，抛物线无渐近线y=0思考：思考：抛物线的形状与何有关？抛物线的形状与何有关？主页主页例例4、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM抛物线抛物线 (p.0)

32、上任意一点上任意一点Ppxy22),(00yx到焦点的到焦点的距离（称为焦半经）距离（称为焦半经） 2|0Px等于等于课堂练习课堂练习3 主页主页1. 抛物线抛物线 y2 = 2px ( p0 ) 上一点上一点M到焦点的距离是到焦点的距离是 a ( a ),则点则点M到准线的距离是到准线的距离是 , , 点点 M的的横坐标是横坐标是 . .2paa 2p2. 抛物线抛物线y2 =12x上与焦点的距离等上与焦点的距离等于于9的点的坐标是的点的坐标是 . .)26, 6( 课堂练习课堂练习3主页主页( (一一) )、复习题组训练、复习题组训练 （1）已知点）已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线

33、的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。 22(0)ypx p（2）抛物线）抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|= ， 则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 。 24yx4 342（3）已知直线）已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、B两两点，那么线段点，那么线段AB的中点的中点 坐标是坐标是 。24yx(4,2)主页主页yxoC 题后反思题后反思：刚才我们知道线段：刚才我们知道线段AB垂直垂直X轴，那么当一条直线轴，那么当一条直线 过焦点过焦点F并且垂直并且垂直x轴，那么得到的线段轴，那么得到的线段CD有多长呢？有多长呢？D。F2CDP 连结这两点的线段叫做抛物

34、线的连结这两点的线段叫做抛物线的通径通径，它的长为它的长为2P.设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是:22(0)ypx p易知易知C(P/2,P),D(P/2,-P)主页主页主页主页（一）弦长与焦点坐标之间的关系（一）弦长与焦点坐标之间的关系642-2-4-651015FOABB1A1AAyx ,BByx ,由数形结合和抛物线定义可知由数形结合和抛物线定义可知pxxABpxpxABBBAABFAFBABA22如图：抛物线的焦点在如图：抛物线的焦点在x轴上：轴上：y若焦点在若焦点在轴上，则轴上，则AB pyyBAxy主页主页例例1. . 斜率为斜率为1的直线经过抛物线的直线经过抛物线y2 =

35、4x 的焦点的焦点, ,与抛物线相交于两点与抛物线相交于两点A、B, , 求线求线段段AB的长的长. .l lXyFAOB例题讲解例题讲解 主页主页例题讲解例题讲解 分析分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。 解法一：如图解法一：如图822，由抛物线的标准方程可知，抛，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线），所以直线AB的方程为的方程为y=x1. 将方程将方程代入抛物线方程代入抛物线方程y2=4x,得

36、得（x1）2=4x 化简得化简得x26x1=0设设A(x1,y1),B(x2,y2)得：得：x1+x2=6 , x1x2=1 . 将将x1+x2,x1x2的值分别代入的值分别代入弦长公式弦长公式22122114)(|kxxxxAB82436主页主页 分析分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将系，利用抛物线定义将AB转化成转化成A、B间的间的焦点弦（两焦点弦（两个焦半径的和），从而达到求解目的个焦半径的和），从而达到求解目的.例题讲解例题讲解 同理同理, 12xBBBF于是得于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x22.于是于是

37、 |AB|=6+2=8解法二：在图解法二：在图822中，由抛物线的定义可知，中，由抛物线的定义可知，|AF|=. 12|,11xpxAAAA而说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率少了运算量，提高了解题效率. 由方程由方程x26x1=0，根据根与，根据根与系数关系可以得系数关系可以得 x1+x2=6主页主页例例1：长为：长为10的弦经过抛物线的弦经过抛物线)0(22ppxy的焦点弦交抛物线的焦点弦交抛物线 于于),(),(2211yxByxA如果如果821 xx则抛物线的方程是则抛物线的方程是 xy42 642-2

38、-4-651015FOABB1A1),(11yx),(22yx主页主页练习练习1 过抛物线过抛物线xy42的焦点作直线交的焦点作直线交抛物线于抛物线于,6),(),(BABBAAxxyxByxA且则则ABA、4B、6C、8D、12练习练习2 （思考题）将（思考题）将上题中的抛物线改为上题中的抛物线改为6,42BAxxxy答案如何？答案如何？CAB642-2-4-651015FOABB1A1),(AAyx),(BByx8xy主页主页（二）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系（二）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系如图，由梯形中位线定理和抛物线定义可知如图，由梯形中位线定理和抛物线定义可知ABMMB

39、FAFBBAAMM2122 此关系式与抛物线焦点位置有关吗此关系式与抛物线焦点位置有关吗AABBMMxyOF无关无关主页主页例例6. 求证求证: : 以抛物线的焦点弦为直径的圆以抛物线的焦点弦为直径的圆 与与 抛物线的准线相切抛物线的准线相切. .A1M1B1AXyOFBl lM例题讲解例题讲解 主页主页例例3：定长为：定长为6的弦经过抛物线的弦经过抛物线xy42的焦点的焦点一直线一直线l：方程为：方程为2x，记弦的中点为，记弦的中点为,M则则M到直线到直线l的距离是的距离是 xyMOF2x主页主页例例7. 在抛物线在抛物线y2 = 2x上求一点上求一点P, 使使P到焦点到焦点F与与到点到点A

40、 ( 3,2 )的距离之和最小的距离之和最小. .PQl lAXyOF例题讲解例题讲解 主页主页主页主页 三、巩固练习三、巩固练习 2.2.抛物线的一条弦所在直线是抛物线的一条弦所在直线是 , ,且弦的中点的横且弦的中点的横坐标为坐标为-3,-3,则此抛物线的方程为则此抛物线的方程为 . .3.3.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点 , ,作互相垂直的两条焦点弦作互相垂直的两条焦点弦 则则 的 最 小 值的 最 小 值为为 . .52 xyxy42FCDAB|CDAB kABkxyxy则所得弦长截直线抛物线,53|24. 124xy4216主页主页 二、典型例题二、典型例题),0 , 8(322得

41、焦点坐标为由解：xy ，、设),(),(2211yxCyxB),0 , 8(),8 , 2(三角形重心是A.822.038,83221212121yyxxyyxx，即).4,11(中点为故BC,32,32222121xyxy又),(32)(212121xxyyyy. 4BCk. 0404 yxBC方程为故得又由.32, 04042xyyx. 084, 0100222xx. 0404 yxBC所在直线的方程为故.),8 , 2(322所在直线方程物线的焦点，求三角形的重心恰好是抛上，顶点的三个顶点都在抛物线BCAxyABC例例1.1. .)8 , 2(ABCFyxo主页主页.;, 4|42轴的最

42、短距离离中点求弦来表示试用两点，且、相交于与抛物线若直线xMABbkABBAyxbkxy),(),(,:2211yxByxAbkxyAB、设直线解：.044,422bkxxyyxbkxy得消去由44)(1.4,42122122121xxxxkbxxkxx.1122kkb化简得.|, 0yyyxM故的绝对值，由轴的距离为该点纵坐标到显然点111112111111282)(82222222221221222121kkkkkkbkxxxxxxyyy.0,11122”号成立时“即当且仅当kkk例例2.2.ByoxA主页主页例例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两

43、个顶点在抛物线另外两个顶点在抛物线 上，上，求这个三角形的边长。求这个三角形的边长。22(0)ypx pyxoAB解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形OAB的顶的顶点点A、B在抛物线上，且坐标分别在抛物线上，且坐标分别为（为（x1,y1)、(x2,y2),则则 ，2112ypx2222ypx又又|OA|=|OB|，所以，所以x12+y12=x22+y22即即 ：x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,主页主页yxo(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.ABX10，X20，2p0,X1=x2. 由此可得由此可得|y1|=|y2|,，即线段，即线段AB关于关于x轴对称。因为轴对称。因为x轴垂直轴垂直于于AB，且，且 ，所以所以 30Aox113sin303yx 211,2yxp112 3 ,| 24 3 .yp AByp