第六章IIR滤波器的设计方法课件.ppt

1、2. 2. 用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数 系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择冲响应的系统函数，可根据容限选择IIRIIR或或FIRFIR滤波器。滤波器。逼近逼近在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近逼近就是给定所要求就是给定所要求的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行

2、逼近，最后尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数 ，滤波器的设计实际上，滤波器的设计实际上就是一个数学逼近的问题。就是一个数学逼近的问题。 zH zH3.3.决定决定 的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长）的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长） 因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用一一 个有限精度的运算去实现这个系统函数。选择的结构形式有：级联、并个有限精度的运算去实现这个系统函数。选择的结构形式有：

3、级联、并联联、直接、横截、频率采样型等结构。、直接、横截、频率采样型等结构。 本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递函函 数设计的问题。数设计的问题。 zH说明一下符号表示的含义：说明一下符号表示的含义： DF - DF - 数字滤波器数字滤波器 AF - AF - 模拟滤波器模拟滤波器 时域时域单位脉冲响序列单位脉冲响序列 时域的单位脉冲响应时域的单位脉冲响应 AFAF的采样序列的采样序列 DFDF的传递函数的传递函数 AFAF的传递函数的传递函数 DFDF的频率响应的频率响应 AFAF的频率响应的频率响应 nh

4、thanTha zH aHsjeHjHa6.1 IIR6.1 IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点 nhIIRIIR滤波器的传递函数可以写成滤波器的传递函数可以写成N N阶的有理函数：阶的有理函数： NiiiNiiiNiiiNiiizdzcAzbzazH1110111 滤波器设计的核心是求传递函数滤波器设计的核心是求传递函数 ，而，而 的设计就是确定系的设计就是确定系数数 、 ，或者确定零点，或者确定零点 、极点、极点 ，使得滤波器的，使得滤波器的 满满足给定的性能要求。足给定的性能要求。 zH zH ia ib ic id zHIIR IIR 指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器

5、的指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器的 有无限个离散值。有无限个离散值。一一. IIR. IIR滤波器的一般设计方法：滤波器的一般设计方法：如果在单位圆内处如果在单位圆内处设置一对共轭极点设置一对共轭极点 ，频，频响响在在 将有一峰值。将有一峰值。0jerZ0 极点极点 离单位圆愈远，频响在离单位圆愈远，频响在 处的峰值比较平缓。处的峰值比较平缓。 极点极点 越接近单位圆，频响在越接近单位圆，频响在 处的峰值就越尖锐。处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点向单位圆移动。我们可以通过

6、几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合设计要求的频响。设计要求的频响。0000 同样，如果在单位圆上同样，如果在单位圆上 处设置一个零点，那么频响在处设置一个零点，那么频响在 处会出现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。处会出现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。1jez11.1.累试法累试法 滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。 零、极点累试法在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数零、极点累试法在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数不高的滤波器的设计

7、。不高的滤波器的设计。 就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即得所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即 jeH逼近jdeH2. 2. 最优化设计法最优化设计法最优化设计一般分为两步进行：最优化设计一般分为两步进行：第一步：选择最优化标准或准则第一步：选择最优化标准或准则 例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ50HZ工频干扰，我们工频干扰，我们 可以在可以在 处安排一个零点，处安排一个零点， 就可以滤除掉就可以滤除掉 50H

8、Z50HZ的工频干扰。的工频干扰。1jez,50211HzTTNiiiNiiizbzazH101DFDF的传递函数的传递函数 通过改变通过改变 的系数的系数 、 ，分别计算均方误差，分别计算均方误差 ，经过多，经过多次迭代运算，寻找一组次迭代运算，寻找一组 、 ， 使得使得均方误差均方误差 为最小的最优系为最小的最优系数，数，而完成最优化设计。而完成最优化设计。 zH ia ib E E ia ib第二步：进行迭代运算，确定最优系数第二步：进行迭代运算，确定最优系数 21MijwdjwiieHeHE最小最小选择一种最佳准则，使得选择一种最佳准则，使得 与与 的的均方误差最小均方误差最小或者或者

9、最大最大误差最小误差最小。根据最小二乘法准则，要求根据最小二乘法准则，要求jeHjdeH 3. 3.模仿模拟滤波器的设计模仿模拟滤波器的设计 因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AFAF不仅有简单和严格的设不仅有简单和严格的设计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。 在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高

10、通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率变换完成要求设计的滤波器。率变换完成要求设计的滤波器。 即即: : 利用模拟滤波器设计数字滤波器，利用模拟滤波器设计数字滤波器，首先利用模拟滤波器的现成结果，首先利用模拟滤波器的现成结果，在在S S平面设计出符合要求的模拟滤波平面设计出符合要求的模拟滤波器的传递函数器的传递函数 ，再通过一定的，再通过一定的映射关系，得到数字滤波器的传递映射关系，得到数字滤波器的传递函数函数 。 sHa zH 在进行在进行IIR IIR 数字滤波器的设计时，数字滤波器的设计时， 要逼近要逼近

11、模拟模拟原型低通原型低通滤波器，滤波器，模拟低模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性以幅度平方函数来表示模特性。幅度幅度平方函数可表示为：平方函数可表示为：二二. . 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法 jSaaaaasHsHjHjHjH21 1巴特沃思滤波器（巴特沃思滤波器（butterworthbutterworth） 最平响应滤波器最平响应滤波器 巴特沃思低通滤波器的巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：幅度平方函数定义为： NCNaaajjjHjHjH2*2111N 为为整数，

12、表示滤波器的阶次；整数，表示滤波器的阶次； 为截止频率。为截止频率。 c当当=0 时，时，当时，有当时，有 又称为又称为滤波器的滤波器的3bB3bB带宽（或半功率点）。带宽（或半功率点）。 102jHac212CajH当当 时，时，当当 时，时， 又称为滤波器的又称为滤波器的3bB3bB带宽带宽 0巴特沃斯低通滤波器的巴特沃斯低通滤波器的特点：特点： 在在 处，即靠近零频处，衰减为处，即靠近零频处，衰减为0 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具，所以巴特沃斯滤波器通带内具 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。 巴特沃思巴特沃思低通滤波器低

13、通滤波器没有有限零点没有有限零点, ,零点出现在零点出现在 处，它属于处，它属于“全极全极 点型滤波器点型滤波器”。02 2切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 (chebychev)(chebychev) 切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数 CNaCjH22211其中：其中： 表示通带波纹大小，是小于表示通带波纹大小，是小于 1 1的正数，的正数， 越大，波纹越大。越大，波纹越大。 为滤波器的截止频率，但为滤波器的截止频率，但 并不是并不是3db3db带宽）。带宽）。ccdBHHHHdB2102min2maxminmax101

14、log10log10log203带宽 为为N N阶切比雪夫多项式，定义为：阶切比雪夫多项式，定义为：NC11coscos11CCCCCchNchNNC 切比雪夫低通滤波器的特点：切比雪夫低通滤波器的特点：1)1) 通带内等起伏，通带外衰减快；通带内等起伏，通带外衰减快；2)2) 由于过渡带较窄，因此相位特性较差。由于过渡带较窄，因此相位特性较差。 3 3考尔滤波器考尔滤波器(cauer)(cauer)2211jKjHa 112222nSSSSSBsK 考尔滤波器的特点：考尔滤波器的特点：1)1) 通带内、外都是等起伏。通带内、外都是等起伏。2)2) 由于过渡带较窄，因此相位特性较差。由于过渡带

15、较窄，因此相位特性较差。四四S S平面到平面到Z Z平面的映射变换平面的映射变换 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递函数递函数 设计数字滤波器的传递函数设计数字滤波器的传递函数 ，即，即 sHa zH sHa通过变换 zH 这种变换归根结底是一个由这种变换归根结底是一个由S S平面到平面到Z Z平面的变换，并且通常是复平面的变换，并且通常是复变函数的映射变换，这种变函数的映射变换，这种映射变换映射变换应该满足应该满足两个基本的要求两个基本的要求： 的频响应该模仿的频响应该模仿 的频响的频响 即要求即要求 zH

16、sHa是因果稳定的映射是因果稳定的映射 指指 的因果稳定性通过映射后，的因果稳定性通过映射后， 仍保持因果稳定。仍保持因果稳定。 sHa zH6.5 6.5 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应不变法。不变法。 1.1. 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 模拟模拟 系统系统 txta thsHaa tythaa dthxthtxaaaaLTILTI系统特性可以完全由它的冲

17、激响应决系统特性可以完全由它的冲激响应决定定 数字数字系统系统 nxn nhzH nynh Kknhkxnhnx脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一样。即：在采样点上完全一样。即：nThnha单位脉冲响应不变法的单位脉冲响应不变法的设计思想设计思想是：是： 使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。 sHa 1L tha采样 nhnTha 变换Z zH2 2脉冲响应不变法设计的系统的频率响应脉冲响应不变法设计的系统的频率响应模拟系统频响模拟系统频响数字系统频响数字系统频

18、响 jHa thFTajeHjeZnhZ)(对模拟信号对模拟信号 txa理想采样 txa 1L tha naanTttxtx dtetxsXstaa拉氏变换拉氏变换 ntsadtenTttxnsnTaenTx如果如果nTxnxa)( nnnanZnTxZnxzX当当 时，时， STeZ sXeXaST采样序列的采样序列的Z Z变换等于序列的拉氏变换变换等于序列的拉氏变换 是是采样信号的拉氏变换与采样序列的采样信号的拉氏变换与采样序列的Z Z变换之间的映射关系变换之间的映射关系STeZ 理想采样的频谱理想采样的频谱 majSaamTjjXTsXjX21采样信号的频谱就是采样信号在采样信号的频谱就

19、是采样信号在虚轴上的拉氏变换虚轴上的拉氏变换 是模拟信号的频谱是模拟信号的频谱 以以 采样频率采样频率 为周期的周期延拓为周期的周期延拓jXajXaTS2或或 jeeZaeXzXjXTjTj理想采样信号的频谱是单位圆上的理想采样信号的频谱是单位圆上的Z Z变换它也等于数字信号的频谱。变换它也等于数字信号的频谱。 因此，我们可以得到采样序列因此，我们可以得到采样序列 的频谱的频谱 与原信号与原信号 的的频频谱谱 之间的映射关系为：之间的映射关系为：)(nx txajXajeXmajmTjjXTeX21 上式表明：上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，当采用脉冲响应不变法将

20、模拟滤波器变换为数字滤波器时，它实际上是它实际上是完成了完成了由由S S平面平面到到Z Z平面平面的的映射映射，我们利用以上关系同样可，我们利用以上关系同样可以得到数字滤波器的频响以得到数字滤波器的频响 与模拟滤波器的频响与模拟滤波器的频响 之间的之间的关系关系：jeHjHamaTmajTmjHTmTjjHTeH2121)(时表达式表明：表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响， 为模拟滤波器频响为模拟滤波器频响 的周期重复的周期重复, ,是以是以 为周期的周期延。为周期的周期延。jeHjHas需要强调指出，在周期重复模拟滤

21、波器频响的过程中所存在的问题：需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：首先分析一下首先分析一下 和和 以及以及 的关系：的关系： jeHjHajHa 注意：注意：我们原本是让我们原本是让 来模拟来模拟 ，但实际中由于，但实际中由于 ， 所以所以 模拟的是采样信号的频谱模拟的是采样信号的频谱 ， 的映射关系反映的映射关系反映 的是的是 和和 周期延拓后与周期延拓后与 之间的对应关系，而并不是之间的对应关系，而并不是 和和 之间的关系。之间的关系。jeHjHa nThnhajeHjHaSTeZ jeHjHajHajeHjHa 如果模拟信号不充分带限，这种周期重复就不可避免的存在

22、着如果模拟信号不充分带限，这种周期重复就不可避免的存在着频率混叠问题，如下图所示。频率混叠问题，如下图所示。 只有当信号是带限信号，并且满足只有当信号是带限信号，并且满足 、 或或时，这时数字滤波器的频响时，这时数字滤波器的频响 在折叠频率以内才能不失真的重在折叠频率以内才能不失真的重现模拟滤波器的频响现模拟滤波器的频响 。即。即jHamS2TmmjeHjHTTjHTeHaaj11 但是任何一个实际的模拟滤波器都不可能但是任何一个实际的模拟滤波器都不可能完全是带限的，所以不可避免的要出现混叠现象。完全是带限的，所以不可避免的要出现混叠现象。 如果模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减如果模拟滤波器频

23、响在折叠频率以上衰减的愈快，则混叠失真就愈小。因此，脉冲响应不的愈快，则混叠失真就愈小。因此，脉冲响应不变法只适用于带限模拟滤波器。对于带阻和高通变法只适用于带限模拟滤波器。对于带阻和高通滤波器，由于它们高端频率不衰减，因此高频分滤波器，由于它们高端频率不衰减，因此高频分量将完全混叠在低频响应中，从而使整个频响产量将完全混叠在低频响应中，从而使整个频响产生失真。如果设计的高通和带阻滤波器要采用脉生失真。如果设计的高通和带阻滤波器要采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，先滤除掉高于折叠频率以上的频一保护滤波器，先滤除掉高于折叠频率

24、以上的频带，然后再使用脉冲响应不变法将其转换为数字带，然后再使用脉冲响应不变法将其转换为数字滤波器。滤波器。3 3模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法脉冲响应不变法要经历以下四个过程：脉冲响应不变法要经历以下四个过程： sHa tha1L采样 nhnTha 变换Z zH NiiiNiiiasbsasH101用部分分式展开NiiiSSA11L NitSiatueAthi1对对 进行采样，使得数字滤波器的单位脉冲响应序列进行采样，使得数字滤波器的单位脉冲响应序列 tha NinTSiNiTnSianueAnueAnThnhii11（1 1）（2 2）（3 3）4 4对脉冲响应不变法的修正对

25、脉冲响应不变法的修正数字域频响与模拟信号采样后的频谱关系是：数字域频响与模拟信号采样后的频谱关系是：majTmjHTeH21上式中频响上式中频响 与与T T成反比，通常为了减小脉冲响应不变法的混叠失成反比，通常为了减小脉冲响应不变法的混叠失真，一般选择较高的采样频率，于是采样周期真，一般选择较高的采样频率，于是采样周期T T就会比较小，如果就会比较小，如果T T很很小，数字滤波器的增益就会很高，而我们一般希望小，数字滤波器的增益就会很高，而我们一般希望 的增益能与采的增益能与采样频率无关（与样频率无关（与T T无关）。因此，在实际应用中，脉冲响应不变法要无关）。因此，在实际应用中，脉冲响应不变

26、法要稍做一下修改。稍做一下修改。jeHjeH令令 ，则，则 nThTnha NiTiSizeTAzH111majTmjHeH2)(这样，数字滤波器的增益就不会随采样频率的变化而变化。这样，数字滤波器的增益就不会随采样频率的变化而变化。 NiTiSzeAizH111比较第（比较第（1 1）步和第（）步和第（4 4）步）步S S平面的每一个极点平面的每一个极点 Z Z平面是极点平面是极点 ； 与与的系数是相同的。因此，只要知道极点的系数是相同的。因此，只要知道极点 就可以直接就可以直接得到得到 ，而而不必求解第不必求解第(2)(2)、(3)(3)步。也就是说我们可以：步。也就是说我们可以： 变换到

27、 zH sHa zHTiSieZ iSiS（4 4）从模拟域从模拟域 直接映射到数字域直接映射到数字域)(nh 变换Z NiiiaSSAsH1 NiTSizeAzHi111下面我们举例说明脉冲响应不变法的应用：下面我们举例说明脉冲响应不变法的应用： 例例 ：已知：已知AFAF的系数函数的系数函数 用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系数函数用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系数函数 sHa22basas zH解：解： jbasjbassHa2121模拟滤波器在模拟滤波器在 处处有一个有一个零点；在零点；在 处有一对共轭极点。处有一对共轭极点。aSOjbaSP 11121121zeeTze

28、eTzHjbTaTjbTaT2211cos21cos1zezbTeTbTezTaTaTa TbjTaTjbTaTaeezeezbTezzcos数字域中数字域中 有两个零点有两个零点 和和 ，有一对共轭极点，有一对共轭极点 。可见，脉冲响应不变法。可见，脉冲响应不变法对零点没有一一对应的关系。对零点没有一一对应的关系。0ZbTeZTacosTbjTaeeZ zH从幅频特性频谱图中可从幅频特性频谱图中可以看出：由于频谱混叠以看出：由于频谱混叠带来明显的失真。很显带来明显的失真。很显然，然， 在在 处比处比 在在 处下降处下降的慢，这主要是因为的慢，这主要是因为“混叠混叠”造成的。混叠造成的。混叠的

29、主要原因是由于模拟的主要原因是由于模拟信号频域的不充分带限。信号频域的不充分带限。 jeHjHaT5 5脉冲响应不变法的特点脉冲响应不变法的特点 脉冲响应不变法是一种时域设计法，数字滤波器是从时域进行模仿。脉冲响应不变法是一种时域设计法，数字滤波器是从时域进行模仿。 即即 。 nThnha但是但是S S平面平面 Z Z平面的零点并没有这种单值映射的关系平面的零点并没有这种单值映射的关系这种时域模仿使得这种时域模仿使得S S平面的极点平面的极点 Z Z平面的极点为平面的极点为 iS 变换到TiSieZ sHa tha1L采样 nhnTha 变换Z zH脉冲响应不变法设计思想是脉冲响应不变法设计思

30、想是但我们可以直接从但我们可以直接从 得到得到 NiiiaSSAsH1 NiTSizeAzHi111频率坐标是线性变换频率坐标是线性变换 即即 。因为模拟和数字频率之间的变换关系是线性的，因为模拟和数字频率之间的变换关系是线性的，所以可以设所以可以设 计出满足线性相位的滤波器。只要不发生混叠，变换后数字滤波器的频响计出满足线性相位的滤波器。只要不发生混叠，变换后数字滤波器的频响 可以不失真的恢复出模拟滤波器的频响。可以不失真的恢复出模拟滤波器的频响。TjHeHajT或或注意：数字域的频响特性都是以注意：数字域的频响特性都是以 为周期的周期函数，为周期的周期函数，其特性对称于折叠频率，因此，其特

31、性对称于折叠频率，因此， 由由 是是 的镜像，通常数字滤波器的频率特性我们只考虑的镜像，通常数字滤波器的频率特性我们只考虑 范围的特性即可。范围的特性即可。2200 脉冲响应不变法最大的缺点是有频响的混叠，所以只能模仿带限的频响。脉冲响应不变法最大的缺点是有频响的混叠，所以只能模仿带限的频响。 因此，对衰减特性很好的低通或带通，频响混叠小。对于高通和带阻滤波因此，对衰减特性很好的低通或带通，频响混叠小。对于高通和带阻滤波 器，由于高端频率不衰减，所以要加保护滤波器滤掉高于折叠频率以上的器，由于高端频率不衰减，所以要加保护滤波器滤掉高于折叠频率以上的 部分，再用脉冲响应不变法转化成数字滤波器。部

32、分，再用脉冲响应不变法转化成数字滤波器。 脉冲响应不变法的最大缺点是产生混叠失真。产生的主要原因是由于脉冲响应不变法的最大缺点是产生混叠失真。产生的主要原因是由于S S平面到平面到Z Z平面的变换关系平面的变换关系 不是单值的，而是多值的映射关系，由于不是单值的，而是多值的映射关系，由于S S平面的多平面的多值性造成频率的交叠，产生混叠现象。为了克服这一缺点，我们有必要寻求值性造成频率的交叠，产生混叠现象。为了克服这一缺点，我们有必要寻求S S平面与平面与Z Z平面的单值的映射关系。平面的单值的映射关系。 下面我们就介绍另外一种变换方法下面我们就介绍另外一种变换方法 双线性变换法。双线性变换法

33、。STeZ 6.76.7 双线性变换法双线性变换法 为了寻求为了寻求S S平面与平面与Z Z平面的一一对应关系，我们先把平面的一一对应关系，我们先把S S平面压缩到平面压缩到某一个中介的某一个中介的 平面的横带内（宽度从平面的横带内（宽度从 到到 ），然后把此横），然后把此横带再变换到整个带再变换到整个Z Z平面，这时平面，这时S S平面与平面与Z Z平面就建立了一一对应的单值平面就建立了一一对应的单值的映射关系，可以消除混叠现象。如下图所示：的映射关系，可以消除混叠现象。如下图所示：1STT1. 双线性变换法双线性变换法 为了完成从为了完成从 这样一个变换过程，我们寻找它们的这样一个变换过程

34、，我们寻找它们的 映射关系映射关系: :平面平面平面ZSS1 虚轴虚轴 轴平面jS 压缩到横带内轴的平面TTjS,11这个映射可以通过正切变换来实现：这个映射可以通过正切变换来实现： 21Ttg验证：验证： 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， T12tg001T12tg 的映射关系：的映射关系：平面平面1SS 21Ttg 221222211111TjtheeeeTtgjjTjTjTjTj由由 得到得到 把此关系解析延拓（扩大）到整个把此关系解析延拓（扩大）到整个S S平面平面令令 ， ，则，则Sj11SjTSTSTSTSTSTSeeeeeeTSthS11111111222221TS

35、TSeeS1111得到得到 的映射关系的映射关系平面平面1SS 映射到映射到 平面S平面Z将标准变换关系将标准变换关系 代入代入 ，从而得到从而得到 到到 的双线性的双线性变换的单值映射关系变换的单值映射关系TSeZ1TSTSeeS1111平面S平面ZSSZZZS111111现在来验证上式中现在来验证上式中S S和和Z Z的变换关系是否满足的变换关系是否满足“映射变换映射变换”的两个总要求的两个总要求：j与Z平面的关系S平面虚轴) 1 (将将 、 代入双线性映射关系代入双线性映射关系 中，中， jeZ T11111ZZSjTtgjtgjeeSjj22111 通过验证证实：通过验证证实：S S平

36、面虚轴平面虚轴( ( ) Z) Z平面的单位圆平面的单位圆 上，上，表明整个虚轴是单值的对应于单位圆的一周。因此双线性变换确实消除了脉表明整个虚轴是单值的对应于单位圆的一周。因此双线性变换确实消除了脉冲响应不变法所存在的混叠误差，所以它的逼近是良好的。冲响应不变法所存在的混叠误差，所以它的逼近是良好的。j 映射到jeZ 验证验证S S平面与平面与Z Z平面是平面是否是因果和稳定的否是因果和稳定的jSjjSSZjs11112222)(1)(1jjZ当当 时，时， ，S S左半平面左半平面 Z Z平面的单位圆内平面的单位圆内 ; ;当当 时，时， ，S S平面虚轴平面虚轴 Z Z平面的单位圆上平面

37、的单位圆上 ; ;当当 时，时， ，S S右半平面右半平面 Z Z平面的单位圆外平面的单位圆外 。01Z 映射到01Z 映射到01Z 映射到通过验证得到以下结论：通过验证得到以下结论： 如果模拟滤波器是稳定的，通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也如果模拟滤波器是稳定的，通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也 一定是稳定的。一定是稳定的。 如果给定模拟滤波器的传递函数如果给定模拟滤波器的传递函数 ，变量，变量S S与与Z Z之间有简单的代数关之间有简单的代数关 系，只要用代数置换就可以得到数字滤波器的传递函数。系，只要用代数置换就可以得到数字滤波器的传递函数。 sHa1111)()(1111z

38、zHsHzHaSaZZ说明说明 在本教材种，引入在本教材种，引入变换常数变换常数C C ，主要是为了使模拟滤波器的频率特性，主要是为了使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率处有对应关系，通常与数字滤波器的频率特性在不同频率处有对应关系，通常C=2/TC=2/T 。因此，。因此，模拟滤波器和数字滤波器特定频率之间的关系有：模拟滤波器和数字滤波器特定频率之间的关系有：2 2双线性变换的频率响应双线性变换的频率响应 S S平面到平面到 平面虚轴的映射关系为：平面虚轴的映射关系为：1S 21TtgC模拟域与数字域的频率关系为：模拟域与数字域的频率关系为： 221tgCTtgC 可以看出

39、：可以看出：模拟域与数字域的频率变换关系不是线性的，而是非线性关系模拟域与数字域的频率变换关系不是线性的，而是非线性关系。221ctgCTtgCc双线性变换的映射关系为：双线性变换的映射关系为：SCSCZZZCS1111数字滤波器的频响数字滤波器的频响)2(2tgCjHjHeHatgCaj 没有频谱混叠没有频谱混叠 双线性变换的最大优点是避免了频响的混叠效应，因为双线性变换的最大优点是避免了频响的混叠效应，因为S S平面的虚轴单值平面的虚轴单值 对应着对应着Z Z平面单位圆的一周。从它们的频率变换关系平面单位圆的一周。从它们的频率变换关系 中清楚的看出，当中清楚的看出，当 时，终止在折叠频率时

40、，终止在折叠频率 处，故不会有高于折叠频率的分量出现，避免了由频处，故不会有高于折叠频率的分量出现，避免了由频 响产生的混叠失真，但双线性变换虽然避免了频响混响产生的混叠失真，但双线性变换虽然避免了频响混 叠，但却是以牺牲相位特性为代价换取的。叠，但却是以牺牲相位特性为代价换取的。 和和 的关系是非线性变换的关系是非线性变换2tgC 如果模拟系统是按时延设计的线性相位的模拟滤波器，经过双线性变换如果模拟系统是按时延设计的线性相位的模拟滤波器，经过双线性变换后，数字滤波器将得不到这种线性相位特性，所得到的数字系统的相位不再后，数字滤波器将得不到这种线性相位特性，所得到的数字系统的相位不再保持线性

41、相位特性。保持线性相位特性。3 3双线性变换的优缺点双线性变换的优缺点 数字频率和模拟频率之间的关系数字频率和模拟频率之间的关系是是上式说明，经过上式说明，经过 的频率变换后，的频率变换后，DFDF的频响的频响 等于等于AFAF的频响的频响 。2tgCjeHjHa 例例 ：模拟系统中三阶切比雪夫低通滤波器（：模拟系统中三阶切比雪夫低通滤波器（Chebyshev)Chebyshev)从图中可以从图中可以看出在靠近看出在靠近截止频率处截止频率处有频率畸变有频率畸变。 模拟滤波器截止频率为模拟滤波器截止频率为 ，对应的，对应的数字域频率为数字域频率为 ，而经过双线而经过双线性变换后数字域的频率是性变

42、换后数字域的频率是 ， 。可见，经过非线性可见，经过非线性变换以后，在截止频率处的频率特性发生了畸变。因此，如果要求相位和频变换以后，在截止频率处的频率特性发生了畸变。因此，如果要求相位和频率是线性关系，就不能采用双线性变换法。率是线性关系，就不能采用双线性变换法。 cTcccctg12cc 双线性变换适合分段常数幅频响应的滤波器，而实际中大多数滤波器双线性变换适合分段常数幅频响应的滤波器，而实际中大多数滤波器均为分段常数响应滤波器，如典型的低通、高通、带通、带阻滤波器均为分段常数响应滤波器，如典型的低通、高通、带通、带阻滤波器都是具有分段常数响应的滤波器，所谓都是具有分段常数响应的滤波器，所

43、谓分段常数响应的滤波器指分段常数响应的滤波器指在通在通带内要求逼近一个衰减为带内要求逼近一个衰减为0 0的常数，阻带内要求逼近一个衰减为的常数，阻带内要求逼近一个衰减为 的常的常数，所以我们完全可以采用双线性变换。双线性变换所引起的频率畸数，所以我们完全可以采用双线性变换。双线性变换所引起的频率畸变只是出现在数字滤波器靠近截只止频率处。这种畸变完全可以通过变只是出现在数字滤波器靠近截只止频率处。这种畸变完全可以通过预畸变加以校正。预畸变加以校正。 首先对模拟滤波器的临界频率事先加以预畸变，让首先对模拟滤波器的临界频率事先加以预畸变，让 ，也，也就就是使是使 通过双线性变换后正好映射到所需的位置

44、上去。通过双线性变换后正好映射到所需的位置上去。2cctgC2cctgC 设计简单设计简单 双线性变换是双线性变换是IIRIIR滤波器设计中使用最普遍、最有成效的一滤波器设计中使用最普遍、最有成效的一 种设计方法。由于种设计方法。由于S S与与Z Z之间是简单的代数关系，因此传递函数可之间是简单的代数关系，因此传递函数可 以通过代数置换得到。即以通过代数置换得到。即 11111111ZZHsHzHaSaZZTcc5 . 021cCtg2cctgcctg12ccTcc 正好映射到所需的位置上。正好映射到所需的位置上。c6.11 6.11 原型变换原型变换 模拟滤波器已经形成了许多成熟的设计方法，

45、每种滤波器都有一套准确的模拟滤波器已经形成了许多成熟的设计方法，每种滤波器都有一套准确的计算公式和大量的归一化的设计表格和曲线。所以在模拟滤波器的设计中只计算公式和大量的归一化的设计表格和曲线。所以在模拟滤波器的设计中只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通、带阻滤波器。模拟滤波器的这一套方法可以通过上述讨论通、高通、带通、带阻滤波器。模拟滤波器的这一套方法可以通过上述讨论的两种变换法而应用于数字滤波器的设计。的两种变换法而应用于数字滤波器的设计。下面我们讨论各种滤波器设计的问题：下面我

46、们讨论各种滤波器设计的问题： 一低通滤波器的设计步骤（由模拟低通到数字低通的设计）一低通滤波器的设计步骤（由模拟低通到数字低通的设计） 确定数字滤波器的性能要求（容限），确定各临界频率确定数字滤波器的性能要求（容限），确定各临界频率 的值。的值。c 将数字域将数字域 映射到模拟域映射到模拟域c2cctgC通过变换关系c把把DFDF的性能要求转换为相应的样本的的性能要求转换为相应的样本的AFAF的性能要求，得到模拟滤波器的临界频率的性能要求，得到模拟滤波器的临界频率c 按照临界频率按照临界频率 的要求设计模拟滤波器的传递函数的要求设计模拟滤波器的传递函数 通过脉冲响应不变法或者双线性变换，将通过

47、脉冲响应不变法或者双线性变换，将 c sHa sHa 转换为 zH 例例6.1 6.1 要求用脉冲响应不变法及双线性变换设计一个要求用脉冲响应不变法及双线性变换设计一个三阶三阶ButterworthButterworth低通低通 滤波器。设采样周期滤波器。设采样周期 ( (即采样频率即采样频率 ) )，3dB3dB截止频率截止频率sT250ZSkHf4ZCkHf1解：第一步解：第一步: : 的设计的设计 ButterworthButterworth滤波器的传递函数为：滤波器的传递函数为： sHa 22111NNCaaajjHsHs Hs 三阶三阶ButterworthButterworth滤波

48、器滤波器N=3N=3，有，有2N=62N=6个极点，分布在个极点，分布在半径为半径为 的圆上，将的圆上，将S S平面分成平面分成6 6等份。为了保证设计等份。为了保证设计的系统是稳定的，的系统是稳定的， 的极点应该取的极点应该取S S左半平面的极点，左半平面的极点，因此，因此，S S左半平面的传递函数左半平面的传递函数 是是c 2sHa sHa 10NKKNCaSSsH其中：其中： 21212NKjCKeS1,1,0NK当当N=3N=3时，可直接确定三阶时，可直接确定三阶ButterworthButterworth滤波器的传递函数滤波器的传递函数 为：为： sHa 32323jeCSjeCSC

49、SCsaH322211CCCSSS第二步：变换法设计滤波器第二步：变换法设计滤波器 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 将将 用部分分式展开为：用部分分式展开为： sHa 2316323163jcSjecjcSjeccScsaH 将将 直接变换为数字滤波器的传递函数：直接变换为数字滤波器的传递函数： sHa 6633113131112211jjTTcceeTcTcjjeZTTcceZeZH z 6633113131112211jjcceeccjjeZcceZeZH z将上式中共轭复根合并得：将上式中共轭复根合并得： 22121123cos21623cos26cos231 ZeeZeZZeCCCCCC

50、CCzH 其中其中数字滤波器的截止频率为数字滤波器的截止频率为 可以看出可以看出 只与只与临界频率临界频率 与采样频率与采样频率 的相对值的相对值 有关，而与有关，而与 、 的绝对大小无关，所以只要的绝对大小无关，所以只要 一定，所设计的数字滤波器则具有同一个传递一定，所设计的数字滤波器则具有同一个传递函数，这个结论适用于所有的数字滤波器。函数，这个结论适用于所有的数字滤波器。SCCCCffTfT22 zHCfSfSCffSCffSfCf 例例6.2 6.2 1kHz 1kHz 4kHz 4kHz 则在数字域中的则在数字域中的 1MHz 1MHz 4MHz 4MHz 设计是相同的。设计是相同的