第八章z变换课件.ppt
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- 第八 变换 课件
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1、本章的主要内容本章的主要内容lz变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换lz变换的收敛域变换的收敛域l逆逆z变换变换lz变换的基本性质变换的基本性质lz变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系l利用利用z变换解差分方程变换解差分方程l离散系统的系统函数离散系统的系统函数l序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换第一节第一节 引言引言一、一、Z变换方法的发展历史变换方法的发展历史l1730年,英国数学家棣莫弗(De Moivre 1667-1754)将生成函数(generation function)的概念引入概率理论中。l19世纪拉普拉斯(P.S.Laplace)至20世纪的沙尔(H.L.S
2、eal)等人贡献。l20世纪50,60年代z变换成为重要的数学工具。lz变换的地位与作用:类似于连续系统中的拉普拉斯变换。二、二、z变换的引入变换的引入l借助于抽样信号的拉氏变换引出。借助于抽样信号的拉氏变换引出。l连续因果信号连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样,则抽样信号经均匀冲激抽样,则抽样信号xs(t)的的表示式为:表示式为: 0( )( )( )() ()sTnx tx ttx nTtnT两边取拉氏变换两边取拉氏变换000( )( )() ()ststssnX sx t e dtx nTtnTe dtz变换的引入变换的引入l积分与求和的次序对调积分与求和的次序对调sTze引入一个新的引
3、入一个新的复变量复变量z000( )()()()stsnnTsnX sx nTtnT e dtx nT e100( )()( )( )TnnnnX zx nT zX zx n z 令第二节第二节Z变换定义、变换定义、典型序列的典型序列的z变换变换一、一、Z Z变换定义变换定义Z变换定义变换定义Z序列的 变换:-nZx(n)x(n)zn双边 变换 X(z)=Z-0nZx(n)x(n)znX(则其单边 变换z) =Zx(n)设 某 序 列 为ZZZ:非因果序列也有一定应用, 着重单边变换分析同时 适当兼顾双边变换变换的应用分析。ssejz其 中 复 变 量 ,;-1x(n)z也 称的, X(z 是
4、的 幂 级 数 或生 成 函 数)洛 朗 级 数Z变换定义变换定义二、二、 典型序列的典型序列的Z变换变换 ( )2u n单位阶跃序列 ( )3nu n 斜变序列 )1(n单位样值序列1 Z1,1zz zZ21,1zz zZn0( )n1n0( )u n1 ( )na u n4 单边指数序列 0sin(5)nu n单边正弦序列 0020012sin2 cos1,1jjzzjzezezzz zZzza Z典型序列的典型序列的Z变换变换 0cos(6)nu n单边余弦序列 0002012(cos)21cos,1jjzzz ez ez zzz zZ典型序列的典型序列的Z变换变换第三节第三节Z变换的收
5、敛域变换的收敛域一、一、 Z变换的收敛域变换的收敛域收敛域(ROC:region of convergence):收敛域的说明: 变换中序列与变换式、收敛域对应; 变换中序列与变换式、收敛域双边不唯单边唯一一对应。x(n), zz对任意给定的有界序列使级数收敛其 变换定义式的所有 值集合级数收敛的充分条件:,limnnn=-n+1n比值判定法(a1): 设一个正项级数a令a其11则当时,级数收敛;当时,级数发散。 -nn=-x(n)zZ变换的收敛域变换的收敛域,limnnn=nn-(2): 设一个正项级数a令根值a判定法其11则当时,级数收敛;当时,级数发散。p.52 8-1(常用序列的收敛域
6、参见表)Z变换的收敛域变换的收敛域举例举例8.1( )x n解:为双边序列( )( )(1),0,znnx na u nb unbaab 已知序例、求其 变换并确定其收敛域-n0Zx(n)zn若求单边变换 X(z)=nn00( )(1)nnnna u n zb unzX(z)=n0nna z=z当za时,X(z)=z-aa8.1收敛域为以零点为圆心、 为半径的园外部分 (如例图所示)举例举例8.10jIm(z)Re(z)a图8.1序列单边Z变换的收敛域-nZx(n)zn若求双边 变换 X(z)=nn( )(1)nnnna u n zb unzX(z)=1nn0nnnna zb z=n001nn
7、nnna zbz=举例举例8.1zz当a z b时,X(z)=z-az-b8.2收敛域为以零点为圆心、 内/外半径a/b的园环形 (如例图所示)举例举例8.10jIm(z)Re(z)a图8.2序列双边Z变换的收敛域b二、几类序列的二、几类序列的Z变换收敛域变换收敛域1、有限长序列、有限长序列此序列只在有限的区间有限的区间(n1n n2)具有非零非零的有限值,此时,Z变换为:1)n10时,除z=及z=0外,X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为:21-nx(n)znnn X(z)=0z 几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2)n10时,除z=0外,X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为:0
8、z 所以,有限长序列的z变换收敛域至少为:0z 且有可能包括z=或z=0点。几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2、右边序列、右边序列此序列是有始无终的序列,即当(nn1时x(n)=0),此序列的Z变换为:1-nx(n)znn X(z)=1limlimnxnR - nnn 根 据 根 值 判 别 法 :x ( n ) z 1即 : zx ( n )几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域看出:11xxRR 则 该 级 数 收 敛 .其 中是 级 数 的z收 敛 半 径 .可见:右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。1xRz1)如果n1 0,则收敛域包括z=。即收敛域为2)如果n10
9、,则收敛域不包括z=。即收敛域为1xR n2时,x(n)=0),此序列的Z变换为:2-nx(n)znn X(z)=22xxRR 其 收 敛 域 为 : 则 该 级 数 收 敛 .其 中是 级 数z的 收 敛 半 径 .几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2-nx(n)znn 推 导 : X(z)=2lim1limnxnR 22mnm=-nn=-nnnn若 令 m=-n,上 式 变 为 :X(z)=x(-m)z即 X(z)=x(-n)z根 据 根 值 判 别 法 :x(-n)z1即 : zx(-n)几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2xR 可见,左边序列的收敛域是半径为的圆内部分.
10、20 xRz1)如果n2 0,则收敛域不包括z=0。即收敛域为2)如果n2 0,则收敛域包括z=0。即收敛域为2xR z2xR z几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域4、双边序列、双边序列双边序列是从n=- 延伸到n=+ 的序列,此序列的Z变换为:1-n-n-n0 x(n)zx(n)zx(n)znnn X(z)=双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2xRx1 可见,双边序列的收敛域是以半径为R 和之间的圆环部分.2112120,xxxxxxRRRRRR 其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. 则该级数收敛.其中R,N(z),D(z)按z的降
11、幂排列若收敛域是zR,N(z),D(z)按z的升幂排列再用长除法,便可得到x(n).举例举例8.3 2( ),1,z(1)zX zzz已知求其逆 变换x n221111212123232224232363zzzzzzzzzzzzzzzz-1-2-3解:举例举例8.31230( )23nnX zzzznz得到:x(n)=nu(n) 112111( )1 2zzzX zzz另:和情况下,的逆变换x n部分分式3)展开法: N z设X(z数)=有理D z XXz=Rzkrz对因果序列 z为的收敛域, 需保证在处收敛。111111rrrrkkkkbb zbzb zaa zaza z 00=逆逆Z Z变
12、换变换则(1)当X(z)仅含一阶极点时 mmm=0Az-zk部分分式展开先X zz zXzzm一其中为的阶极点, zzXzzmmmz=A =z-逆逆Z Z变换变换 mm=0mAz-zkz再X z查表p.60=每个分式对应的序列举例举例8.5 22( ),1,z1.50.5zX zzzz已知求其逆 变换x n2( )10.5zX zzz解:(一阶级点)12( )10.5X zAAzzz先 10.52;1XzzXzz 1z=2z=其中A =z-1A =z-0.52( )10.5zzX zzz 1,z 即x n 为因果序列 u nnx n = 2-0.5举例举例8.5作业作业lP103l8-4,8-
13、5,8-6第五节第五节 z变换的基本性质变换的基本性质一、一、 Z变换的基本性质变换的基本性质 线性性:1212( )( )( )( )(),),)yybny nX zY zRzaRRaRb 1x12x2则 x其中:R =max(RR =min(RZ( )( )( )( )nX znY z x1x2y1y2若x(R z Ry(R z RZZ注:如果线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能注:如果线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能扩大。扩大。举例举例8.6( )(1)nna u na u nz求序列的 变换.( )()(1)()zzzu nzazaau nzaza nn解:已知 x
14、(n)=ay(n)=a( )(1)1zu nu n nnx(n)=aa线性叠加后,序列的线性叠加后,序列的z变换收敛域扩大到全平面。变换收敛域扩大到全平面。举例举例8.70( )cosh() ( )zx nnu n已知双曲余弦序列求其 变换0001cosh2nnnee解:000000( ),;( ),nznzzu nzzzu nzzeeeeee 00011cosh( )( )( )22nnnu nu nu nee000002011( )22sinh2 cosh1max(,)zzX zzzzzzzeeee 线性性举例举例8.7Z变换的基本性质变换的基本性质( )( )nXz 双 边若 xZ 2
15、时域平移性:()( )mmznX z 双边则xZ( ) ( )( ),( )n u nX zx n 单边若x为双边序列Z10() ( )( )(mmkknu nX zmzx k z 单边则xZ1() ( )( )(mkkmnu nX zmzx k z单边xZ21() ( )( )2( 1)( 2)zz xxnu nX z 单边如 xZ举例举例8.80.05( )10.05( )(1)(0.9)zY zzzY zzz-1已知差分方程表示式y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)边界条件y(-1)=0,用z变换方法求系统响应y(n).解:对方程式两端分别取z变换,Y(z)-0.9z举例举例8
16、.80.50.4510.9( ) 0.45(0.9)0.5 ( )nzzzzy nu n 部分分式展开: 从本题可以看出用从本题可以看出用z变换求解差分方程的方法。它只变换求解差分方程的方法。它只需用到需用到z变换的两个性质。即线性性和平移性。变换的两个性质。即线性性和平移性。( )( )nX z 若 xZ 3 z域微分性:( )( )( )( )mmnX znXdzdzdzdzznn 则xxZZZ变换的基本性质变换的基本性质可见可见:时域序列时域序列乘乘n等效于等效于z域中求导域中求导且且乘以乘以(-z).举例举例8.9( )1( )zzu nznz 已知:求斜变序列nu的 变换.2( )(
17、)11zdzzu nzdz zz 解:n( )1zzu nz 解: u nz2求序列n的 变换22( )1zdzn u nzdzz 1ddzzzdzdzz 341zzz举例举例7.3 4 z域尺度变换性:( )( )nX zz 12xx若 x, RRZ( )nzzaaanX 12xx则x, RRZZ变换的基本性质变换的基本性质可见可见x(n)乘以指数序列等效于乘以指数序列等效于z平面尺度展缩。平面尺度展缩。( )nnXazaaz 12xx例:x, RRZ( 1)nnXzz 12xxx, RRZ0020(cos)cos() ( )2 cos1zz zwnu nzzw 解: u nzn0求序列co
18、s(n)的 变换.可得:举例举例8.100020(cos)os() ( )2cos1znzzwcnu nzzw 1z1(0)limlim( )lim1()(zznxxzznzXX则初值终值n x(n)收敛X(z)仅当时或在单位圆内才可应极点用终值定理( )( )( )nX zn 单边若x,x为因果序列Z 5 极值性:Z变换的基本性质变换的基本性质max(),min();11221xh2xh一般RR ,RRR,R但当零点与极点相抵时收敛域扩大。 6 时域卷积定理:( )( )( )( )nX zzh nH zz 1212xxhh若 x, RR, RRZZ 2( )( )( )nnX zH zz
19、1则xh,RRZZ变换的基本性质变换的基本性质 2( ),( ),1( )( )( )()zzzx nX Zzazazh nH ZzbzbzazbzY zX z H zzazbab zazb 解: nn已知x n =a u(n), h n =b u(n)求此两序列的卷积举例举例8.1111() ( )nnabu n1其逆变换为 y(n)=a-b ( ),11zzx nX Zzz 解: nn-1已知x n =u(n), h n =a u(n)-au(n-1)求此两序列的卷积 1( )zzzh nH zzzaza 线性、时移性1,zzaza举例举例8.12 1( )( )( )1zzzy nY z
20、H z X zzza ,zzaza举例举例8.12( )na u n其逆变换为 y(n)= ,H(z)1H(z)zaX zaX z的极点被的零点抵消;时的收敛域扩大( )( )( )( )nX zzh nH zz 1212xxhh若 x, RR, RRZZ 7 z域卷积定理: 1211( )( )1122CCzvv dvnnXHzXH v v dvjvjv 则 xh或ZZ变换的基本性质变换的基本性质z1122xhxh收敛域为:R RR R 12zzXvHXH vCvvC其中分别为与或与收敛域重叠部分内逆时针旋、转的围线;z1122xhxhR R收敛域重叠R部R分即Z变换的基本性质变换的基本性质
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