线性方程组与矩阵秩的若干问题课件.ppt
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- 关 键 词:
- 线性方程组 矩阵 若干问题 课件
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1、引言引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的,它是矩阵的最重要数字特征之一。这里,我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容:矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用;矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。一一. .线性方程组解的判定定理在解析几何线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用中的一个应用m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为:11 11221121 1222221 122(1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 线性方程组(1)的矩阵表示为:Axb
2、其中,111211121222221211121121222212,nnmmmnnmnnmmmnmaaaxbaaaxbaaaxbaaabaaabaaab AxbAA b线性方程组有解的判定定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是()rr AA 这里, 表示矩阵 的秩。特别地, 若 ,则线性方程组(1)有唯一解; 若 ,则线性方程组(1)有无穷多解。()()rrnAA()()rrnAA( )r AA 利用上述定理,可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。 1. 直线与直线的位置关系 设几何空间中两条直线的方程分别为1111122220:0a xb yc zdLa xb yc
3、zd3333244440:0a xb yc zdLa xb yc zd 这样, 与 的位置关系取决于线性方程组 解的情况。记1L2L11112222333344440000a xb yc zda xb yc zda xb yc zda xb yc zd1111111222222233333334444444,abcabcdabcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论: (i) 与 相交1L2L()()3rrAA (ii) 与 重合1L2L()()2rrAA (iii) 与 平行1L2L()2,()3rrAA (iv) 与 异面1L2L()3,()4rrAA 2. 直线与平面的位置
4、关系 设几何空间中直线和平面的方程分别为111122220:0a xb yc zdLa xb yc zd:0axbyczd 记11111112222222,abcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论: (i) 与 相交L()()3rrAA (ii) 在 上L()()2rrAA (iii) 与 平行()2,()3rrAAL 3. 三个平面的位置关系 设几何空间中三个平面的方程分别为22222:0a xb yc zd 记111111122222223333333,abcabcdabcabcdabcabcdAA11111:0a xb yc zd 33333:0a xb yc zd 则
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