线性代数第一章习题课课件.ppt
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- 线性代数 第一章 习题 课件
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1、. ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一
2、列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行)余子式与代数余子式)余子式与代数余子式.,)1(1 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素;记;记的余子式,记作的余子式,记作阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素列划去后,留下来的列划去后,留下来的行和第行和第所在的第所在的第阶行列式中,把元素阶行列式中,把元素在在
3、aAMAManjianijijijjiijijijij )关于代数余子式的重要性质)关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 ., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式,换成常数项换成常数项列列中第中第)是把系数行列式)是把系数行列式(其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxab
4、xaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值., 0., 22112222212111212111唯一唯一那么它一定有解,且解那么它一定有解,且解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必为零必为零解,则它的系数行列式解,则它的系数行列式解或有两个不同的解或有两个不同的如果上述线性方程组无如果上述线性方程组无定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程
5、组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系数行列式必为零它的系数行列式必为零组有非零解,则组有非零解,则如果上述齐次线性方程如果上述齐次线性方程定理定理定理定理一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算(证明)行列式二、计算(证明)行列式三、克拉默法则三、克拉默法则用定义计算(证明)用定义计算(证明)例例1用行列式定义计算用行列式定义计算?)(,321523114212)(33dxxfdxxxxxxf关键要求出关键要求出x的三次方及四次方系数的三次方及四次方系数-3及及2利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德
6、利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn ,于是得到,于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子,若提取各行的公因子,递升至递升至而是由而是由变到变到序排列,但不是从序排列,但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnn
7、nn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式,由阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin评注评注本题所给行列式各行(列)都是某元本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德
8、蒙行列式用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列,得得将将第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子,得提取第一列的公因子,得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列,得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列,倍倍加加到到第第列列的的列列,将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(
9、11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(评注评注本题利用行列式的性质,采用本题利用行列式的性质,采用“化零化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行(列)及含零较多化零时一般尽量选含有的行(列)及含零较多的行(列);若没有,则可适当选取便于化零的行(列);若没有,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为化为1 1;若所给行列式中元素间具有某些特点,则;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应
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