第四节陪集与拉格朗日定理课件.ppt
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- 第四 节陪集 拉格朗日 定理 课件
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1、第四节第四节 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理一、陪集及其性质 1陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群,aG.令Ha=ha | hH称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例 设A=1,2,3,f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中f1=,, f2=,f3=,, f4=,f5=,, f6=,令G=f1, f2, , f6,则G关于函数的复合运算构成群. 考虑G的子群H=f1, f2. 做出H的全体右陪集如下: Hf1=f1f1, f2f1=f1, f2=H,Hf2=f1f2, f2f2=f2, f1=H Hf3=f1f3, f2f3=f3, f5,Hf4=
2、f1f4, f2f4=f4, f6Hf5=f1f5, f2f5=f5, f3, Hf6=f1f6, f2f6=f6, f4 Hf1=Hf2,Hf3=Hf5,Hf4=Hf6. 2陪集的基本性质陪集的基本性质 定理11.8 设H是群G的子群,则 (1)He = H (2)aG有aHa. 定理11.9 设H是群G的子群,则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb定理11.10 设H是群G的子群,在G上定义二元关系R:a,bG, R ab1H 则R是G上的等价关系,且aR = Ha.证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG,aa1 = eH R对称性. 任取a,bG,则 R ab1H (ab
3、1) 1H ba1H R 传递性. 任取a,b,cG,则 RR ab1Hbc1H ac1H R下面证明:aG,aR = Ha. 任取bG,baR R ab1H Ha=Hb bHa推论 设H是群G的子群,则 (1)a,bG,Ha = Hb 或 HaHb = (2)Ha | aG = G 定理11.11 设H是群G的子群,则 aG,H Ha 类似地,也可以定义H的左陪集的左陪集,即aH = ah | hH,aG 关于左陪集有下述性质: (1)eH = H (2)aG,aaH (3)a,bG,abH b1aH aH=bH (4)若在G上定义二元关系R, a,bG,R b1aH 则R是G上的等价关系,
4、且aR = aH. (5)aG,H aH 例题:设G为模12加群, 求 在G中所有的左陪集.解: = 0, 3, 6, 9, 的不同左陪集有3个,即 0+ = , 1+ = 4+ = 7+ = 10+ = 1, 4, 7, 10 , 2+ = 5+ = 8+ = 11+ = 2, 5, 8, 11.对于有限群G,子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身.任选元素aGH,求Ha, 作为第二个右陪集. 任选元素bG(HHa), 做第三个陪集Hb.任选元素cG(HHaHb), 做第四个右陪集,. 依次做下去,由于G是有限群,经过有限步就可以得到G的全体右陪集. 分析:求
5、群的所有陪集的方法,以右陪集为例加以说明.二、拉格朗日定理及其应用 1拉格朗日定理及其推论 证 设R是G中的一个等价关系,所以由定理11.10知,R必将G划分成不同的等价类a1R,a2R, ,ak R,使得G = Ha1Ha2Har|G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har|由定理11.11知,HaiH ,所以|Hai| = |H|m,i = 1,2,k, 得 n|G| = |H|k = mk从而 m|n定理11.12 (Lagrange)设G是有限群,H是G的子群,|G|=n, |H|=m, 则m|n推论1 设G是n阶群,则aG,|a|是n的因子,且有an = e. 推论2 对
6、阶为素数的群G,必存在aG使得G = .证 任取aG,是G的子群,的阶是n的因子. 是由a生成的子群,若|a| = r,则 = a0=e,a1,a2,ar1即的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子.从而an = e.证 设|G| = p,p是素数. 由p2知G中必存在非单位元. 任取aG,a e,则是G的子群. 根据拉格朗日定理,的阶是p的因子,即的阶是p或1.显然的阶不是1,这就推出G = 2拉格朗日定理的应用实例 命题:如果群G只含1阶和2阶元,则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素,有a1 = a. 任取x,yG,则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx, 因此G是Abel
7、群. 证 1阶群是平凡的,显然是阿贝尔群. 2,3和5都是素数,由推论2它们都是单元素生成的群. 都是Abel群.设G是4阶群. 若G中含有4阶元,比如说a,则G=.由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元,G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群. 例 证明阶小于6的群都是Abel群.本节内容及要求 熟悉陪集的定义和性质 熟悉拉格朗日定理及其推论,学习使用该定理解决简单的问题第五节第五节 正规子群与商群正规子群与商群一、正规子群的定义与实例一、正规子群的定义与实例 1正规子群的定义正规子群的定义 2正规子群的实例正规子群的实例二、正规子群的判别法二、正规子群的判别法 1正规
8、子群的判定定理正规子群的判定定理 2正规子群的判别实例正规子群的判别实例三、商群 1. 商群定义及其实例商群定义及其实例 2. 商群的求解商群的求解第五节第五节 正规子群与商群正规子群与商群一、正规子群的定义与实例一、正规子群的定义与实例1正规子群的定义正规子群的定义定义11.10设H是群G的子群. 如果aG都有Ha=aH,则称H是G的正规子群,记作H G.任何群G都有正规子群,因为G的两个平凡子群,即G和e,都是G的正规子群. 如果G是Abel群,G的所有子群都是正规子群. 2正规子群的实例正规子群的实例例例 设A=1, 2, 3,f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中 f1=,
9、f2=,f3=, f4=,f5=, f6=,令G=f1, f2, , f6,则G关于函数的复合运算构成群. G的全体子群是: H1 = f1, H2 = f1, f2, H3 = f1, f3, H4 = f1, f4,H5 = f1, f5, f6, H6 = G H1, H5和H6是G的正规子群,而H2, H3和H4不是正规子群. 二、正规子群的判别法二、正规子群的判别法1正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群,N G gG,nN有gng1N.定理11.14 设N是群G的子群,N G gG有 gNg1=N 2正规子群的判别实例 例 设N G,若G的其他子群都不与N等势,则N
10、G. 证 任取gG,易证gNg1是G的子群,下面证N gNg1. nN,令f(n) = gng1,则f:N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2,即f是单射. gng1gNg1,nN,f(n) = gng1 ,f是满射. 从而N gNg1. 根据已知条件,必有gNg1 = N. 所以N G.三、商群1. 商群定义及其实例 商群定义:设G是群,N是G的正规子群,令G/N是N在G中的全体右陪集(或左陪集)构成的集合,即G/N = Ng | gG在G/N上定义二元运算如下:对于任意的 Na, NbG/N,Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群,称为G的
11、商群.例 设是整数加群,令3Z = 3z | zZ 则3Z是Z的正规子群. Z关于3Z的商群 Z/3Z = 0, 1, 2其中 i = 3z+i | zZ,i = 0, 1, 2且Z/3Z中的运算如下表所示.例题设为模18加群,求商群Z18/, /. 解:解: = 0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14. = 0, 3, 6, 9, 12, 15 = 0, 9Z18/ = , 1+, 其中1+ = 1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15,运算表为 1+ 1+ 1+ 1+ 2.商群的求解商群的求解/ = , 3+, 6+其中 3+ = 3, 12, 6+
12、= 6, 15. 运算表为 说明:求解商群的方法:商群G/ N = Ng | g G .先计算子群N求所有陪集的集合G/N, 对于有限群,|G/N| = |G| / |N|. 若商群为有限群,给出运算表;若商群为无限群,给出运算表达式本节内容及要求 正规子群的判别定理和方法 商群的定义和实例 会判别和证明子群的正规性会判别和证明子群的正规性 了解商群的概念了解商群的概念第六节第六节 群的同态与同构群的同态与同构一、同态映射的定义一、同态映射的定义二、典型同态映射的实例二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质三、同态映射的性质 1同态映射保持元素的对应性同态映射保持元素的对应性 2同态映射保持
13、子群的对应性同态映射保持子群的对应性 3有关同态核的性质有关同态核的性质 4 4同态基本定理同态基本定理第六节第六节 群的同态与同构群的同态与同构一、同态映射的定义 1. 定义11.11 设G1,G2是群,:G1G2,若a,bG1都有(ab)= (a)(b) 则称是群G1到G2的同态映射,简称同态.abcacbcG1G2f(a)=f(b)f(c)f(a)f(c)=f(b)f(c)定义11.12 设:G1G2是群G1到G2的同态. (1)若 :G1G2是满射,则称为满同态,这时也称G2是G1的同态像。 (2)若 :G1G2是单射的,则称为单同态. (3)若 :G1G2是双射的,则称为同构,记作G
14、1 G2. (4)若G1=G2,则称是群G的自同态. 类似的可以定义满自同态、单自同态和自同构.2. 特殊同态的分类:满同态、单同态、同构二、典型同态映射的实例二、典型同态映射的实例 例(1)G1=是整数加群,G2=是模n的整数加群. 令 :ZZn,(x) = (x)mod n 则是G1到G2的满同态. x,yZ有(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n(y)mod n = (x)(y)(2)设G=是模n整数加群,可以证明恰有n个G的自同态,即p:ZnZn, p (x) = (px)mod n,p = 0,1,n1 例 (3)设G1=是实数加群,G2=是非零实数乘法群. 令:
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