直线与椭圆的位置关系讲解(全面)分析课件.ppt

1、直线与椭圆的位置关系讲解(全面)分析直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类: 相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点) 直线与椭圆的位置关系的判定代数方法代数方法222201AxByCxyab由方程组20(0)mxnxpm24nmp=00=0方程组有两解两个交点相交方程组有一解一个交点相切方程组无解无交点相离1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法) 联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共

2、点；有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)k-3366-k0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk

3、知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长题型二：弦长公式题型二：弦长公式222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例 2 2: :已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 题型二：弦长公式题型二：弦

4、长公式例例 2 2: :已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 例例3 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例 3 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：

5、利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，2222221211()

6、()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 例例3已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点

7、”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例4、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b=4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4A

8、Bkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 练习练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，25 ） C、 1，25）（25，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦长则弦长 |A

9、B|= _ , DC193622yx1652212 5xym 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭

10、圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:5914

11、0 xy；，求求若若直直线线的的斜斜率率为为两两点点，、于于交交椭椭圆圆的的直直线线若若过过点点AOB221(1)BA 141612P2 Syxl),(.P.xyOABABAOBh|AB|S 21法一：法一：两点的坐标两点的坐标、法二：求出法二：求出BACOBAOCAOBSSS |21|21BAyOCyOC C法三：法三：. ABABP(2)BA 141612P222直直线线的的方方程程所所在在的的中中点点，求求弦弦为为弦弦若若点点两两点点，、于于交交椭椭圆圆的的直直线线若若过过点点 yxl),(.P.xyOABAB的的中中点点为为弦弦点点ABPP.xyOAB联立方程组联立方程组中点坐标中点坐

12、标的方程的方程直线直线l两个顶点两个顶点过椭圆的过椭圆的直线直线 l形形形形数数数数:回顾解题过程回顾解题过程:(1):1lyk xlx若若斜斜率率存存在在，设设，若若斜斜率率不不存存在在，222222(1)(21)422022yk xkxk xkxy (1)(1)112212(,),(,),A xyB xyxx设设则则是是方方程程（1 1）的的解解OAOB OABAB到到中中点点的的距距离离等等于于的的一一半半OAB在在以以为为直直径径的的圆圆上上该条件的代数化：该条件的代数化：方法方法1 1：两点距离公式直译：两点距离公式直译xyOAMN22221122(1)(1)0 xyxy121212

13、12()()(2)()0 xxxxyyyy12121212()()()()2()()0 xxxxkxmkxmkxmkxm12121212()() ()22 ()0 xxxxk xxmk xx1212() ()220 xxk k xxm方法方法2 2：如图，先转化为：如图，先转化为AQM N再代数化为斜率积等于再代数化为斜率积等于1 1xyOAMNQxyOAMNQ12121212yykxx 1212()(2)0 xxyyk12m 12:( 2,0),(2,0)FF解 椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：

14、(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求椭圆方程为：xy122yxbyxm 分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb 则两点的直线可设为：:2,yxmA B解 假设椭圆上存在关于直线对称的两点1122( ,), (,)A x yB xy设两对称点121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由22:30yxbxb消 得2224(3)3120bbb 22b 12xxb已知椭圆已知椭圆 ，（1）求斜率为）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；（2）过）过 引椭圆的割线，求截得弦的中点引椭圆的割线，求截得弦的中点的轨迹方程；的轨迹方程；（3）椭圆上有两点）椭圆上有两点 P、Q ，O 为原点，为原点，且有直线且有直线 OP、OQ 斜率满足斜率满足 ，求线段求线段 中点中点 的轨迹方程的轨迹方程21OQOPkk