概率论多维随机变量及其分布函数课件.ppt

1、 3.1 3.1 二维二维随机变量随机变量一、二维一、二维随机变量随机变量及其分布函数及其分布函数二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布四、两个常用的分布下 页上 页 返 回1. 定义定义一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数若若 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e，设设 X=X(e) 和和 Y=Y(e) 是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做，叫做二维随机向量二维随机向量，或或二维随机变量。二维随机变量。

2、图示图示e )(eY )(eX 下 页上 页 返 回注意事项注意事项(1) 向量向量 (X, Y)是一个整体是一个整体, 其性质不仅与其性质不仅与 X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.(2) 向量向量 (X, Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点从几何上看可以作为一个平面上随机点.2.实例实例实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿区学前儿童的发育情况童的发育情况 , 则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二

3、维随机变就构成二维随机变量量 ( H, W ).下 页上 页 返 回.,),(.的的联联合合分分布布函函数数和和或或称称为为随随机机变变量量的的分分布布函函数数称称为为二二维维随随机机变变量量是是二二元元函函数数YXYX3. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义分布函数的定义则则对对于于任任意意实实数数是是二二维维随随机机变变量量设设,),(yxYX)()(yYxXP ),(yxF,yYxXP (2)分布函数的几何意义分布函数的几何意义xoy),(yx yYxX ,. ),(区区域域内内的的概概率率随随机机点点落落在在如如图图所所示示的的函函数数值值就就是是yxF下

4、 页上 页 返 回),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的, 1),(02o yxF且有且有(3) 分布函数的性质分布函数的性质. 1),(lim),( yxFFyx, 0),(lim),( yxFFyx, y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy下 页上 页 返 回证证,2121yYyxXxP , 0 ,212yYyxX

5、P ,22yYxXP . 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故,211yYyxXP ,12yYxXP ,21yYxXP ,11yYxXP .,),(),0,(),(), 0(),(3o也也右右连连续续关关于于右右连连续续关关于于即即yxyxFyxFyxFyxFyxF ,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有某一二元函数是二维随机变量分布函数某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。该函数具有以上四条性质。可以证明可以证明下 页上 页 返

6、 回(4) 一个重要的公式一个重要的公式(X, Y )yxox1x2y1y2(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)，设：设：2121yyxx 则则 2121yXyxXxP ， 1222yxFyxF， 1121yxFyxF， 下 页上 页 返 回4. n 维随机变量维随机变量 Ee 设是一个随机试验，是其样本空间， 12iiXXeein， ，个个随随机机变变量量是是该该样样本本空空间间上上的的n则则称称 nXXX，21 12nXeXeXee，n为样本空间上的维随机变量维维随随机机向向量量或或 n(2) n维随机变量的联合分布函数维随机变量的联合分布函数(1) 定

7、义定义 ，维实数组维实数组意一意一维随机变量，则对于任维随机变量，则对于任是一个是一个，设设nnxxxnnXXX2121 nxxxF，21 nnxXxXxXP ，2211 nXXXn，维维随随机机变变量量我我们们称称此此函函数数为为21为联合分布函数为联合分布函数.下 页上 页 返 回, ),( 的的分分布布律律变变量量称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机YX二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量1. 定义定义 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无所取的可能值是有限对或无限可列多对限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量为二维离

8、散型随机变量.2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律, ),(YX设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的取取值值为为X, 2, 1, ji，ixxx21的的取取值值为为Y，jyyy21, 2, 1, jipyYxXPijji记记. 的的联联合合分分布布律律和和或或随随机机变变量量YX下 页上 页 返 回二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律也可表示为的联合分布律也可表示为YX12 jyyy12ixxx11121 jppp21222 jppp12 iiijppp3. 联合分布律的性质联合分布律的性质 ; 0 ).1( jiijyYxXPp，. 1 ).2

9、(11 ijijp下 页上 页 返 回.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值在在另一个随机变量另一个随机变量值值四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取在在设随机变量设随机变量YXXYX:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的的正正整整数数取取不不大大于于 ij,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律为为于于是是),(YX例例1解解由乘法公式得由乘法公式得下 页上 页 返 回XY1234123441000188100112

10、1121210116116116161,jYiXP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 下 页上 页 返 回),0,0(),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(0, 0 YXP28230203CCCC 抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔1, 0 YXP例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠笔支绿色圆珠笔的盒子里的盒子里, 随机抽取两支随机抽取两支, 若若 X、Y 分别表示抽出分别表示抽出的蓝笔数和红笔数的蓝笔数和红笔数,求求 ( X, Y ) 的分布律的分布律.解解 ( X,

11、Y ) 所取的可能值是所取的可能值是,283 28131203CCCC ,143 1, 1 YXP28031213CCCC ,143 抽取一支蓝笔抽取一支蓝笔,一支红笔一支红笔下 页上 页 返 回2, 0 YXP0, 1 YXP0, 2 YXP28032203CCCC ,281 28130213CCCC ,289 28030223CCCC ,283 XY2102833 141 289 2814303 2800012综合之所求分布律为综合之所求分布律为下 页上 页 返 回4. 二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布函数,),(二二维维离离散散型型随随机机变变量量设设YX分分

12、布布律律为为联联合合其其)( ，21 jiyYxXPpjiij的的联联合合分分布布函函数数为为则则),(YX yyxxijjipyxF，),(一般不好写出！一般不好写出！下 页上 页 返 回 ( X, Y ) 的可能取值为的可能取值为),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP),1 , 2().2 , 2(122例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2,从中任取从中任取一个一个, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一个再任取一个, 设每次取球时设每次取球时,各球各球被取到的可能性相等被取到的

13、可能性相等,以以 X, Y 分别记第一次和第二分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字次取到的球上标有的数字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律与的分布律与分布函数分布函数.解解,31, 022211211 pppp故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为XY21213103131下 页上 页 返 回2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21 , 21)2(时时当当 yx,2, 21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 下面求分布函数下面求分布函数

14、.下 页上 页 返 回,21 , 2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(下 页上 页 返 回所以所以( X ,Y ) 的分布函数为的分布函数为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或下 页上 页 返 回练习练习解解联联合合分分布布律律为为设设),(YX.5 . 0| YXP求求取值为取值为的的满足满足),(5 . 0|YXYX (1,1.5);(2,1.5);(2,2.

15、5);(3,2.5);(3,3.5);(4,3.5);5 . 0| YXP1 . 005. 005. 015. 001 . 0 45. 0 下 页上 页 返 回, ),( xxyyijijpyxF离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为. , ,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 说明说明下 页上 页 返 回三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1.定义定义),(),(yxFYX的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量, ),(yxf如如果果存存在在非非负负的的函函数数使得对于任意的使得对于任意的 x,

16、 y有有,dd),(),(vuvufyxFyx ,),(量量是是连连续续型型的的二二维维随随机机变变则则称称YX,),(),(的的概概率率密密度度称称为为二二维维随随机机变变量量函函数数YXyxf.的的联联合合概概率率密密度度和和或或称称为为随随机机变变量量YX,dd),(vuvufyvxu 下 页上 页 返 回. 1),(dd),()2( Fyxyxf.dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf概率为概率为内的内的落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设 ),(,)3(GYXxoyG. ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则有则有连

17、续连续在在若若2.性质性质按定义，概率密度按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：具有以下性质： 在几何上在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式表示空间的一个曲面，上式即表示即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积下 页上 页 返 回.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函数求分布函数其它其它具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量例例4 yxyxyxfyxFdd),(),()1

18、( ., 0. 0, 0),e1)(e1(),(2其他其他得得yxyxFyx解解, 00 yx或或, 0),( yxf; 0),( yxF, 0, 0 yx,e2),()2(yxyxf vuvufyxFyvxudd),(),( vuvufyvxudd),(00 vuxyvude2d00)2( vuxyvudede2002 )e1)(e1(2yx uvO),(yx下 页上 页 返 回,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有XY GxyOyxyxfGdd),( xyyyxde2d0)2( .31 .)2();,

19、()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函数求分布函数其它其它具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量例例4解解 0)2(deyyyx 03deyy 03e 31y下 页上 页 返 回的的密密度度函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX例例5解解 其它其它，0201031),(2yxxyxyxf .1 YXP试求概率试求概率x+y=1x=1y=2将将 ( X,Y )看作是平面上随看作是平面上随机点的坐标机点的坐标,),(1GYXYX 1 YXP Gdxdyyxf),( dyxyxdxx)31(21210 102

20、3)213465(dxxxx7265 121yGOx下 页上 页 返 回的的密密度度函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX例例6解解 .0),( ).2( ; ).1(222内的概率内的概率落入圆落入圆试求试求RrryxYXc 其它其它0)(),(22222RyxyxRcyxf1dd),( yxyxf按性质，按性质， 222221RyxdxdyyxRc用极坐标系计算用极坐标系计算 RdRcd020)(1 cR 331 RRc03231212 33Rc 所以，所以，下 页上 页 返 回的的密密度度函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量),(YX例例6解解 .0),( ).2( ;

21、).1(222内的概率内的概率落入圆落入圆试求试求RrryxYXc 其它其它0)(),(22222RyxyxRcyxf 222),(rYXYXP (2) 222),(ryxdxdyyxf 222)(3223ryxdxdyyxRR rdRdR0203)(3 RrRr321322下 页上 页 返 回四、两个常用的分布四、两个常用的分布1. 均匀分布均匀分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二维随机变量若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布. ., 0,),(,1),(其他

22、其他DyxSyxf定义定义中中的的位位置置无无关关在在的的形形状状以以及及而而与与的的面面积积成成正正比比内内的的概概率率与与该该子子区区域域内内任任一一个个子子区区域域并并且且落落在在内内；只只落落在在区区域域我我们们可可以以认认为为随随机机点点上上的的均均匀匀分分布布服服从从区区域域如如果果二二维维随随机机变变量量DDDDDDYXDYX111,),(,),(均匀分布几何意义均匀分布几何意义(几何概型几何概型)下 页上 页 返 回 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布, 其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形

23、区域所围成的三角形区域 .试求试求( X , Y )的分布密度及分布函数的分布密度及分布函数,v,01时时或或当当 yx0),( yxf; 0dd),(),( vuvufyxFxy例例7解解 ., 0,),(,1),(其他其他由由DyxSyxf ., 0,),(, 2),(:其他其他得联合密度得联合密度DyxyxfD,10 , 01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),( 1 uv1 11 yxuvo yxyuyvuvu011011d2dd2dyyx)22( uo1 uv1 1下 页上 页 返 回,1, 01时时当当 xyxvuvufyxFxydd),(),( ;)1(d2d210

24、1 xvuuxuvo1 uv1 1x,10 , 0时时当当 yxvuvufyxFxydd),(),( yyuyvuvu0011011d2dd2duvo1 uv1 11 y;)2(yy ,1, 1时时当当 yxvuvufyxFyxdd),(),( . 1d2d0110 uvu下 页上 页 返 回 . 1, 1, 1, 10, 0,)2(, 1, 01,) 1(, 10, 01,)22(, 0, 1, 0),(2yxyxyyxyxxxyxyyxyxyxF或或所以所以 ( X , Y ) 的联合分布函数为的联合分布函数为下 页上 页 返 回 2222212121212)()(2)()1(21221e

25、121),(yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且均均为为常常数数其其中中),( yx.,),(2121的的二二维维正正态态分分布布服服从从参参数数为为则则称称YX),(),(222121NYX2. 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度记为记为下 页上 页 返 回二维正态分布的图形二维正态分布的图形下 页上 页 返 回精品课件！下 页上 页 返 回精品课件！下 页上 页 返 回1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数.,),(yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数,ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji.),( yyxxijjipyxF3. 二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度.dd),(),(vuvufyxFyx 小结小结4. 均匀分布、二维正态分布均匀分布、二维正态分布