特征值及特征向量课件.ppt

1、-1-怎么理解怎么理解 线性线性Ax+b 代数代数在数域中研究问题在数域中研究问题-2- 代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程

2、称为线性个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。 线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。简单的线性问题。-3- 线性代数线性代数作为独立的分支直到作为独立的分支直到2020世纪才形成，然世纪才形成，然而它的历史却非常久远。而它的历史却非常久远。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作国古代的数学著作九章算术九章算术方程方程章中，已经章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于作了比较完整的叙述，其中所

3、述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在入，行列式和矩阵在1819世纪期间先后产生，为处世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。的发展。-4- 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因

4、此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。构成了线性代数的中心内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和理论化问题，它比较容易处理。同时也是理论物理和

5、理论化学所不可缺少的代数基础知识。学所不可缺少的代数基础知识。-5- 因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。应用真的那么广泛吗？应用真的那么广泛吗？证据之一：证据之一：The Matrix-6-快速处理问题快速处理问题 把教四把教四A楼的人员分布楼的人员分布 把教四把教四A楼的每一层的人员总数楼的每一层的人员总数 教四教四A楼的楼的AX01房间的人数总数房间的人数

6、总数 用计算机怎么算用计算机怎么算-7-本课程本课程 线索：线性方程组线索：线性方程组 核心概念：矩阵核心概念：矩阵-8-Matlab 矩阵处理比较容易矩阵处理比较容易 如果有时间的话，可以在课堂演示给大家如果有时间的话，可以在课堂演示给大家-9-10- nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组它的解取决于系数它的解取决于系数( ,1,2,)ijai jn和常数项和常数项kb nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211故对线性方程组的故对线性方程组的研究可转化为对这研究可转化为对这张表的研

7、究。张表的研究。引例引例1-11-引例引例2 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城四城市之间开辟了若干航线市之间开辟了若干航线 ,如图所示如图所示的四城市间的航班图的四城市间的航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B。ABCD四城市间的航班图情况常用以下表格来表示四城市间的航班图情况常用以下表格来表示:0010D1001C0101B0110ADCBA 到站到站 发站发站1表示有航班表示有航班,0表示没有航班表示没有航班-12-线性代数研究对象线性代数研究对象线性方程组线性方程组线性代数研究工具线性代数研究工具矩阵矩阵线性代数研究方法线性代

8、数研究方法矩阵的初等变换矩阵的初等变换-13-14- 同学们可以理解矩阵为：同学们可以理解矩阵为：“简洁而不简单简洁而不简单”-15- 为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。排成排成，；，个数个数由由),21,21(njmianmij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩矩阵阵。简简称称列列矩矩阵阵行行称称为为nmnm ,。或或或或可简记为可简记为矩阵矩阵nmijnmijAaAaAA )()(列的数表列的数表行行的的nm A元素。元素。简称简称列的元素列的元素行第行第的第的第称为矩阵称为矩阵),(,jij

9、iAaij-16-(1) 11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。 (2) 行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阶方阵或阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 naaaA,21 称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。 ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。(4) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 maaaA21-17-(5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。(6) 矩阵矩阵 111

10、E(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7) 矩阵矩阵 nD 21称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作),diag(21nD -18-设设 ，如果，如果qpijnmijbBaA )(,)(qnpm ,(此时称此时称A与与B是是) 且且), 1;, 1(njmibaijij 则称则称 ，记作，记作 A = B。 0000 000000问问： 与与 相等吗？相等吗？-19- 称矩阵的下面三种变换为称矩阵的下面三种变换为(1) 交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为jirr (2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk (3

11、) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为记为jirkr 类似定义三种类似定义三种jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的-20-jirr jirr ikrirk1jikrr jikrr 初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换-21-及及( (行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”) 书书P5 定义定义4 0000100021200211 00000000002100010230行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵-22-行最简阶梯形

12、矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201 00000000002100010210（1）台阶左下方元素全为零；）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形 (1)(2)(3) + (4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。-23- 书书P6 定理定理1.1.1 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 例例1 34330

13、63550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 为什么这样做为什么这样做-24- 00000310000111041211 0000031000301104010143rr 342rr 21rr 32rr 31000620000111041211-25-(等价关系等价关系) 如果矩阵如果矩阵A经过经过有限有限次次初等变换初等变换变成矩阵变成矩阵B，就称，就称矩阵矩阵A与与B等价，记作等价，记作 。BA 等价满足：等价满足：(1)自反性：自反性：(2) 对称性：对称性：(3) 传递性：传递性：AA ABBA

14、CACBBA ,-26-作业作业 P7 4, 5-27-28-3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法讨论有讨论有n个未知数个未知数m个方程的线性方程组个方程的线性方程组 是否有解？是否有解？ 若有解，解是否唯一？若有解，解是否唯一？ 如何求出所有的解？如何求出所有的解？ mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111-29-若若B=(b1, b2, bm)TO，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组若若B=(b1, b2,， bm)TO，即：即： 则称则称(2)为为(1)对应的对应的齐次线性方程组齐次线性方程组（或（或(

15、1)的导出组的导出组） ) 1 (22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa) 2(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa-30-) 1 (22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵-31-解线性方程组解线性方程组解解互换互换(1)与与(2)的的位置得位置

16、得 例例1 )3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx )3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx 241412114212-32-(2)-(1)2, (3)-(1)4(3)-(2) 2414421-21211 2-4-3-022-3-0121121rr 131242rrrr 24442212321321321xxxxxxxxx 243223123232321xxxxxxx-33-(3) (-1/2)消元过程结束，消元过程结束，以下过程称为以下过程称为“”。 4222312332321xxxxxx 4-2-0022-3-0121123rr

17、 210022-3-01211 213r 222312332321xxxxxx-34-(2) (-1/3) 2233221xxxx 21002-0103-011 312r(1)-(3)2，(2)+(3)2 2100603-03-011322312rrrr 26333221xxxx-35-所以，消元法所以，消元法增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1) (2)原方程组的解为：原方程组的解为： 221321xxx21002-0101-00

18、121rr 221321xxx-36-解线性方程组解线性方程组 73526332132132xxxxxxx解：解：增广矩阵增广矩阵 703151216330A 例例2 7031633051-2121rr -37-5121 6330703113rr 5121 633021102331rr 5121 63300000312 r5121 21100000212rr 1301 21100000同解方程组同解方程组1331 xx 232 xx即即1331 xx232 xx，令令kx 3则原方程组的解为则原方程组的解为 kxkxkx321213有何特点？有何特点？-38- 1543322324112134

19、31432143214321xxxxxxxxxxxxxxx解：解： 154013322324111211311 200000012000651011311同解方程组最后一个方程同解方程组最后一个方程0= -2是矛盾方程，是矛盾方程，所以方程组无解。所以方程组无解。 例例3特点特点-39- 例例4求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:-40- 00003/42101221 00

20、003/42103/520123rr 212rr 000046301221231r 写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项: 432431342352xxxxxx有何特点？有何特点？-41-2413,cxcx 令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解 2413212211342352cxcxccxccx通解通解其中其中21,cc为任意实数。为任意实数。我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书书P12-15，我们将在后面的章节中学习。，我们将在后面的章节中学习。-42-作业作业 P16 1(2),2(2)